Kansrekening: 7 volledige snelle feiten

De kansrekening is voortgekomen uit het concept van risico nemen. er zijn tegenwoordig veel complicaties die voortkomen uit het kansspel, zoals het winnen van een voetbalwedstrijd, het spelen van kaarten en het gooien van een munt of het gooien van een dobbelsteen. 

Kansrekening wordt in veel verschillende sectoren gebruikt en de plooibaarheid van waarschijnlijkheids theorie levert gereedschappen voor bijna zoveel verschillende eisen. Hier gaan we de waarschijnlijkheidstheorie en enkele steekproeven bespreken met behulp van enkele fundamentele concepten en resultaten.

WILLEKEURIGE EXPERIMENTEN:

"Willekeurig experiment is een soort experimenten waarbij het resultaat niet kan worden voorspeld."

VOORBEELDRUIMTE: 

De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment wordt de steekproefruimte genoemd, deze wordt meestal aangeduid met S en alle testresultaten zouden een steekproefpunt zijn.
Bijv.: Denk aan het willekeurige experiment van 2 munten tegelijk gooien. Er zijn 4 resultaten die een steekproefruimte vormen, aangeduid met, S = {HH, TT, HT, TH}

TRAIL & EVENEMENT:

Elke niet-lege deelverzameling van A van de bemonsteringsruimte S wordt een gebeurtenis genoemd. Overweeg het experiment om een ​​munt te gooien. Als we een munt gooien, kunnen we een kop (H) of een staart (T) vinden. Hier is het gooien van een munt het spoor en het krijgen van een kop of een staart is een gebeurtenis.

SAMENGESTELDE EVENEMENTEN: 

Gebeurtenissen die zijn verkregen door twee of meer basisgebeurtenissen te combineren, worden samengestelde gebeurtenissen of opsplitsbare gebeurtenissen genoemd.

UITPUTENDE EVENEMENTEN:

Het totale aantal haalbare resultaten van elk parcours wordt uitputtende gebeurtenissen genoemd.

Bijv .: Bij het gooien van een dobbelsteen zijn de mogelijke resultaten 1 of 2 of 3 of 4 of 5 of 6. We hebben dus in totaal 6 gebeurtenissen bij het werpen van de dobbelsteen.

WEDERZIJDS EXCLUSIEF EN UITVOEREND SYSTEEM VAN EVENEMENTEN:

Laat S de steekproefruimte van een willekeurig experiment is, If X1, X2,… ..Xn zijn de subsets van S en

(ik) Xi ∩Xj =Φ voor ij en (ii) X1 ∪X2 ……… ∪ Xn =S

Dan is deze verzameling van X1∪X2 ……… ∪ Xn zou een wederzijds exclusief en uitputtend systeem van gebeurtenissen creëren.

Wat is onafhankelijkheid?

Als we een kaart uit een zak met goed aangepaste kaarten halen en ten tweede ook een kaart uit het restpakket met kaarten halen (met 51 kaarten), dan hangt het tweede uitpakken aan de eerste. Maar als we, aan de andere kant, de tweede kaart uit het pakket trekken door de eerste getrokken kaart te plaatsen (vervangen), staat de tweede trekking bekend als onafhankelijk van de eerste.

Voorbeeld:  Er worden twee munten gegooid. Laat de eerste munt met kop gebeurtenis X zijn en de Y de tweede munt met staart na worp. Twee gebeurtenissen X en Y zijn in principe onafhankelijk.

Voorbeeld:   Er worden twee eerlijke dobbelstenen getrokken. Als een oneven getal op de eerste dobbelsteen komt, beschouw het als gebeurtenis X en voor de tweede dobbelsteen een even getal als gebeurtenis Y.

De twee gebeurtenissen X en Y zijn onderling onafhankelijk.

Voorbeeld: er wordt een kaart getrokken uit een pakket van 52 kaarten. Als A = kaart is van Harten, B = kaart is een Koning en A ⋂ B = kaart is Hartenkoning, daarna gebeurtenissen A en B zijn afhankelijk

GUNSTIG AANTAL GEVALLEN: Het aantal zaken dat het mogelijk maakt dat een gebeurtenis in een rechtszaak wordt berecht, is het totale aantal primaire gebeurtenissen waarvan het aspect van een van deze ervoor zorgt dat de gebeurtenis plaatsvindt.

Wat wordt bedoeld met waarschijnlijkheid 

Als een willekeurige demonstratie resulteert in n ongerijmde, even waarschijnlijke en uitputtende resultaten, waaruit m aangenaam zijn voor het voorkomen van een gebeurtenis A, dan is de kans van optreden van A is gegeven door

CodeCogsEqn 2

Waarschijnlijkheidsnotatie: P (X) = m / n

Voor twee evenementen X en Y,

(i) X′of X  of XC geeft aan voor het niet voorkomen of negeren van X.

(ii) X ∪ Y betekent dat ten minste één van X en Y voorkomt.

(iii) X ∩ Y betekent voor het gelijktijdig voorkomen van X en Y.

(iv) X ′ ∩ Y ′ betekent voor het niet voorkomen van de ene en de andere X en Y.

(v) X⊆ Y betekent: “het gebeuren van X duidt op het voorkomen van Y”.

Voorbeeld: Een emmer bevat 6 rode en 7 zwarte knikkers. Zoek de kans om een ​​rode kleur knikkers te tekenen. 

Oplossing: totaal nr. van mogelijke manieren om 1 knikker = 6 + 7 te krijgen

 Aantal manieren om 1 rode knikker te krijgen = 6 

Waarschijnlijkheid = (aantal gunstige gevallen) / (totaal aantal uitputtende gevallen) = 6/13

Voorbeeld: Van een pakket van 52 kaarten wordt willekeurig 1 kaart getrokken. Zoek de kans om een ​​dame-kaart te krijgen.

Oplossing: Een koninginkaart kan op 4 manieren worden gekozen.

 Totaal aantal manieren om 1 koninginkaart te selecteren = 52 

Waarschijnlijkheid = aantal gunstige gevallen / totaal aantal uitputtende gevallen = 4/52 = 1/13

Voorbeeld: Zoek de kans om te gooien:

(a) 4 krijgen, (b) een oneven getal, (c) een even getal 

met een gewone dobbelsteen (zes gezichten). 

Oplossing: Het probleem is het dobbelsteenprobleem

a) Bij het gooien van een dobbelsteen is er maar één manier om er 4 te krijgen.

Waarschijnlijkheid = aantal gunstige gevallen / totaal aantal uitputtende gevallen = 1/6

b) Aantal manieren om een ​​oneven getal te laten vallen is 1, 3, 5 = 3

Waarschijnlijkheid = aantal gunstige gevallen / totaal aantal uitputtende gevallen = 3/6 = 1/2

c) Aantal manieren om een ​​even getal te laten vallen is 2, 4, 6 = 3

Waarschijnlijkheid = aantal gunstige gevallen / totaal aantal uitputtende gevallen = 3/6 = 1/2

Voorbeeld: Wat is de mogelijke kans om een ​​koning en een vrouw te vinden als er 2 kaarten worden getrokken uit een pakket van 52 speelkaarten?

Oplossing:  Uit een pakket van 2 kaarten kunnen 52 kaarten worden getrokken = 52C2 (52 kiezen 2) manieren

52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

1 dame-kaart kan worden gekozen uit 4 koningin-kaarten = 4C1= 4 manieren (4 kiezen 1) 

1 koningskaart kan worden genomen van 4 koningskaarten = 4C1= 4 manieren (4 kiezen 1)

Gunstige gevallen = 4 × 4 = 16 manieren

P (tekening 1 vrouw & 1 koning kaart) = aantal gunstige gevallen / totaal aantal uitputtende gevallen = 16/1326 = 8/663

Voorbeeld: Wat zijn de kansen om 4, 5 of 6 te krijgen in de eerste worp en 1, 2, 3 of 4 in de tweede worp als de dobbelstenen tweemaal worden gegooid. 

Oplossing:

Laat P (A) = kans om 4, 5 of 6 te krijgen in de eerste worp = 3/6 = 1/2

en P (B) = kans om 1, 2, 3 of 4 te krijgen in de tweede worp = 4/6 = 2/3

is dan de waarschijnlijkheid van de gebeurtenissen

Waarschijnlijkheids theorie

Voorbeeld: Een boek met in totaal 100 pagina's, als een van de pagina's willekeurig is geselecteerd. Wat is de mogelijke kans dat de som van alle cijfers van het paginanummer van de geselecteerde pagina 11 is.

Oplossing:  Het aantal gunstige manieren om 11 te krijgen is (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6 ), (6, 5)

Vandaar de vereiste kans = 8/100 = 2/25

Voorbeeld: Een emmer bevat 10 witte, 6 rode, 4 zwarte en 7 blauwe knikkers. Er worden willekeurig 5 knikkers uitgetrokken. Hoe groot is de kans dat 2 van hen een rode kleur hebben en een zwarte kleur?

Oplossing: 

Totaal aantal. aantal knikkers = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

Uit deze 5 knikkers kunnen 27 knikkers worden getrokken = 27 kies 5 manieren

= 27C5=27!/

5!(27-5)!

=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

Totaal aantal. van uitputtende gebeurtenissen = 80730

2 rode knikkers kunnen worden getrokken uit 6 rode knikkers = 6 manieren

= 6C2=6!/

2!(6-2)!

=(6*5)/2=15

1 zwarte knikkers kunnen uit 4 zwarte knikkers worden getrokken = 4 kies 1 manieren = 4C1=4

∴ Aantal gunstige gevallen = 15 × 4 = 60

Vandaar vereiste waarschijnlijkheid = aantal gunstige gevallen Totaal aantal uitputtende gevallen

Conclusie:

   De waarschijnlijkheids theorie is dus erg interessant en toepasbaar in ons dagelijks leven waarschijnlijkheid theorie en voorbeelden komen ons bekend voor, dit is eigenlijk een complete theorie die tegenwoordig in tal van technologieën en toepassingen wordt gebruikt.Dit artikel was slechts een glimp van het concept van waarschijnlijkheid. , voor meer studie, zie onderstaand boek:

Ref: Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek.

Zie als u geïnteresseerd bent in het lezen van andere onderwerpen over wiskunde deze pagina.