Binominale en Poisson willekeurige variabele en zijn eigenschappen
De willekeurige variabele die zich bezighoudt met het succes en de faaluitkomst van het willekeurige experiment voor n herhalingen, stond bekend als een binominale willekeurige variabele. hebben we al gezien, nu met het begrip, zien we enkele van de eigenschappen van een dergelijke discrete willekeurige variabele,
Verwachting en variantie van de binominale willekeurige variabele
Verwachting en variantie van binominale willekeurige variabele met n herhaling en p als kans op succes zijn
E [X] = np
en Var (X) = np (1-p)
overweeg nu om deze twee de verwachting van een willekeurige variabele van macht k te laten zien door de definitie van te volgen kansdichtheidsfunctie voor binominale willekeurige variabele als,
waarbij Y een andere binominale willekeurige variabele is met n-1 proeven en p als de kans op succes, als we de waarde van k = 1 nemen, krijgen we
E [X] = np
en als we k = 2 vervangen, krijgen we
EX2] = npE [Y + 1]
= np [(n-1) p + 1]
dus we zullen gemakkelijk worden
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= np [(n-1) p + 1] - (np)2
= np (1-p)
Voorbeeld: Voer voor een onbevooroordeelde munt het experiment uit om 100 keer te gooien en zoek voor het aantal staarten dat in dit geval verschijnt het gemiddelde, de variantie en de standaarddeviatie van een dergelijk experiment.
De staart voor één worp heeft de kans op succes p = 1/2 = 0.5
dus het gemiddelde van zo'n experiment is
E [X] = np
aangezien het experiment binominaal is als alleen succes of mislukking, krijgen we voor n aantal herhalingen
dus als μ=np
μ = 100x (0.5) = 50
Evenzo zullen de variantie en de standaarddeviatie zijn
Var (X) = np (1-p)
σ2= np(1-p)
De waarde zou zijn
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
Voorbeeld: Vind de gemiddelde en standaarddeviatie voor de kans op 0.1 defect in het boutfabrikant uit de partij van 400 bout.
hier n=400, p=0.1, gemiddelde= np =400×0.1=40
sinds
σ2= np(1-p)
dus standaarddeviatie zal zijn
Voorbeeld: Vind de waarschijnlijkheid van exact, minder dan en ten minste 2 successen als het gemiddelde en de standaarddeviatie voor de binominale willekeurige variabele respectievelijk 4 en 2 zijn.
Omdat gemiddelde = np = 4
en variantie = np(1-p) = 2,
dus 4(1-p)=2
(1-p) = 1/2
p = 1- (1/2)
door deze waarde in te zetten, krijgen we
p = 4
n (1/2) = 4
n = 8
kans op precies 2 successen zal zijn
kans op minder dan 2 successen zal zijn
p (X <2)
= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256
Kans op minimaal 2 successen
p (X> 2) = 1- p (X <2)
= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256
Poisson willekeurige variabele
De discrete willekeurige variabele X die de waarden 0,1,2 …… .. aanneemt, is bekend als Poisson Willekeurige variabele, mits voor elke λ> 0 de waarschijnlijkheidsmassa-functie moet zijn
or
as
Wanneer n erg groot is en de kans op succes is p erg klein in dat geval werd de willekeurige Poisson-variabele met zijn waarschijnlijkheidsmassafunctie de benadering van de binominale willekeurige variabele met de respectieve pmf omdat de verwachting in dit geval dat np is, matig zal zijn en dat zou zijn λ = np .
Voorbeeld: Zoek de kans dat er ten minste één typefout is op elke pagina van het boek met Poisson-verdeling met gemiddelde 1/2 voor een enkele pagina.
Laat de discrete willekeurige variabele X de fouten op de pagina aangeven. dus de willekeurige Poisson-variabele heeft de kansmassafunctie als
λ = 1/2
Voorbeeld: Zoek de kans dat de steekproef van 10 items geproduceerd door een machine met 0.1 kans op defecte productie maximaal één defect item heeft.
Dit kunnen we oplossen door zowel binominale kansmassafunctie als Poisson kansmassafunctie, dus we lossen dit op met Poisson
Verwachting en variantie van de willekeurige Poisson-variabele
Verwachting en variantie van de willekeurige Poisson-variabele met n herhaling en p als kans op succes zijn
E [X] = np = λ
en
Var (X) = np = λ
Voordat we het resultaat laten zien, moeten we in gedachten houden dat de willekeurige Poisson-variabele niets anders is dan de benadering van de binomiale willekeurige variabele, dus np = λ nu zal de verwachting met behulp van de waarschijnlijkheidsmassafunctie zijn
Dit betekent dat de wiskundige verwachte waarde van de willekeurige Poisson-variabele gelijk is aan de parameter, evenzo voor het berekenen van de variantie en standaarddeviatie van de willekeurige Poisson-variabele hebben we de verwachting van het kwadraat van X nodig, dus
De bovenstaande optelling is duidelijk, aangezien twee van de sommen de verwachting zijn en de som van de waarschijnlijkheden.
Dus de waarde van variantie die we zullen krijgen is
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= λ
dus in het geval van de willekeurige Poisson-variabele hebben het gemiddelde en de variantie dezelfde waarde, dwz np als een parameter.
De Poisson willekeurige variabele is de goede benadering voor het vinden van diverse processen, bijv. het vinden van het aantal aardbevingen binnen een bepaalde tijdsduur, het vinden van het aantal elektronen gedurende een vaste tijd vanaf de verwarmde kathode, het vinden van het mogelijke aantal sterfgevallen gedurende een bepaalde tijd, of het aantal van oorlogen binnen een bepaald jaar enz
Voorbeeld : Bereken de kans dat het totale aantal passagiers in twee dagen minder is dan 2. Als het aantal aankomst van passagiers met een gemiddelde van 5 de willekeurige Poisson-variabele volgt. gemiddelde = np = 5
Als we het aantal passagiers in twee dagen beschouwen als minder dan 2, zou dat zijn
| Eerste dag | Tweede dag | In totaal |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
dus de kans is de combinatie van van deze twee dagen als
=e-10[1+5+5]
=11e-10
= 114.5410-5
= * 4.994 10-4
Voorbeeld: Bereken de kans op 4 of meer defecte condensors uit een pakket van 100 condensors, op voorwaarde dat de fabricagefout van de condensors 1% is.
Hier p=1% =0.01 en n= 100 * 0.01 =1
dus we kunnen de willekeurige Poisson-variabelen kansmassafunctie PMF gebruiken
gemiddelde = np = 100 * 0.01 = 1
dus de kans op 4 of meer defecte condensors is
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Voorbeeld: als er 0.002 kansen zijn dat een product defect is door de fabricage, voor een pakket met 10 van dergelijke producten, wat zou dan de kans zijn dat een dergelijk pakket geen defect heeft, één defect en twee defecte producten uit de zending van 50000 pakketten van hetzelfde product.
Hier voor een enkele pakkans op defect, dwz p=0.002, n=10
dan is het gemiddelde np=0.002*10= 0.020
we zullen voor elk geval vinden als
Uit de tabel blijkt dus duidelijk dat het aantal defecte blades in pakketten nul, één en twee respectievelijk 4900,980,10 zal zijn.
Conclusie:
In dit artikel hebben we enkele eigenschappen van een van Binominale willekeurige variabele, Poisson willekeurige variabele en willekeurig experiment. Ook nog een discrete willekeurige variabele, namelijk Poisson-willekeurige variabele, besproken met eigenschappen. De verdeling voor de kansmassafunctie, verwachting, variantie en standaarddeviatie voorbeeld ook genomen voor een beter begrip.In de volgende artikelen proberen we wat meer discrete willekeurige variabelen te behandelen als je verder wilt lezen en dan doorgaan Wiskunde pagina.
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.