Cantilever Beam: 11 feiten die u moet weten

by

Inhoud: cantileverbalk

  • Cantilever Beam-definitie
  • Cantilever Beam Free Body-diagram
  • Cantilever Beam Randvoorwaarden
  • Bepaal de interne afschuifkracht en het buigmoment in de vrijdragende ligger als functie van x
  • Afschuifkracht en buigmoment bepalen op een afstand van 2 m vanaf het vrije uiteinde op een cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting (UDL)
  • De vergelijking van de afbuigkromme voor een vrijdragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting
  • Cantilever-balk Stijfheid en trillingen
  • Buiging van de cantilever-balk door puur buigmoment dat buigspanning induceert
  • De buigspanning van de cantilever vinden die wordt veroorzaakt door gelijkmatig verdeelde belasting (UDL)
  • Vraag en antwoord over cantilever-balk

Cantilever Beam-definitie

“Een cantilever is een stijf structureel element dat zich horizontaal uitstrekt en slechts aan één uiteinde wordt ondersteund. Meestal strekt het zich uit vanaf een plat verticaal oppervlak, zoals een muur, waaraan het stevig moet worden bevestigd. Net als andere structurele elementen kan een cantilever worden gevormd als een balk, plaat, spant of plaat. "

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

Een vrijdragende balk is een balk waarvan het ene uiteinde vast is en het andere uiteinde vrij is. De vaste steun verhindert de verplaatsing en rotatiebeweging van de balk aan dat uiteinde. De cantilever-balk maakt de overhangende functie mogelijk zonder enige extra ondersteuning. Wanneer de belasting wordt uitgeoefend op het vrije uiteinde van de balk, brengt de cantilever die belasting over op de ondersteuning waar het de schuifkracht [V] en het buigmoment [BM] op het vaste uiteinde uitoefent.

Vrijdragende balk vrij lichaam diagram

Overweeg een vrijdragende ligger met puntbelasting die op het vrije uiteinde van de ligger werkt.

Het diagram van het vrije lichaam voor de vrijdragende ligger wordt hieronder getekend:

Dia2 1
Vrij lichaam diagram

Randvoorwaarden voor uitkragende ligger

De reactiekrachten en het moment bij A kunnen worden berekend door evenwichtscondities van toe te passen

\\som F_y=0, \\som F_x=0 ,\\som M_A=0

Voor horizontaal evenwicht

\\som F_x=0
R_ {HA} = 0

Voor verticaal evenwicht

\\som F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=W

Moment nemen over A, met de klok mee moment positief en tegen de klok in wordt als negatief beschouwd

WL-M_A = 0
M_A = WL

Bepaal de interne afschuifkracht en het buigmoment in de vrijdragende ligger als functie van x

Overweeg de cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting die wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting
Cantilever-balk met UDL

De resulterende belasting die op de balk inwerkt vanwege UDL kan worden gegeven door

W = Oppervlakte van een rechthoek

B = L * b

W = wL

Equivalente puntbelasting wL werkt in het midden van de staaf. dat wil zeggen, op L / 2

Gratis lichaamsdiagram van de balk wordt

Presentatie1

De waarde van de reactie bij A kan worden berekend door evenwichtscondities toe te passen

\\som F_y=0, \\som F_x=0 ,\\som M_A=0

Voor horizontaal evenwicht

\\som F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Voor verticaal evenwicht

\\som F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wL

Moment nemen over A, met de klok mee moment positief en tegen de klok in wordt als negatief beschouwd

wL*\\frac{L}{2}-M_A=0 \\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}

Laat XX de sectie van interesse zijn op een afstand van x van een vrij uiteinde

Volgens de eerder besproken Sign-conventie, als we beginnen met het berekenen van de dwarskracht van de Linkerkant of linker uiteinde van de balk, Opwaarts werkende kracht wordt genomen als Positief, en Neerwaarts werkende kracht wordt genomen als Negatief.

Afschuifkracht bij A is 

S.F_A = R_ {VA} = wL

bij regio XX is

SF_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wx

Afschuifkracht bij B is

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

De afschuifkrachtwaarden bij A en B stellen dat de afschuifkracht lineair varieert van vast uiteinde tot vrij uiteinde.

Voor BMD, als we beginnen met het berekenen van het buigmoment vanaf de Linkerkant of linker uiteinde van de balk, Met de klok mee Moment wordt genomen als Positief en Moment tegen de klok in wordt genomen als Negatief.

BM bij A

B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}

BM bij X

B.M_x=M_A-w[Lx] \\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(Lx)^2}{2}

\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})

BM bij B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}

\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0
Dia5 1
SFD en BMD

Afschuifkracht en buigmoment bepalen op een afstand van 2 m vanaf het vrije uiteinde op een cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting (UDL)

Overweeg de cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting die wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding. w = alleen 20 N / m. L = 10 m, x = 2 m

Slide6

De resulterende belasting die op de balk inwerkt vanwege UDL kan worden gegeven door

W = Oppervlakte van een rechthoek

W = 20 * 10

W = 200 N

Equivalente puntbelasting wL werkt in het midden van de staaf. dat wil zeggen, op L / 2

Gratis lichaamsdiagram van de balk wordt,

Slide7

De waarde van de reactie bij A kan worden berekend door evenwichtscondities toe te passen

\\som F_y=0, \\som F_x=0 ,\\som M_A=0

Voor horizontaal evenwicht

\\som F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Voor verticaal evenwicht

\\som F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Moment nemen over A, met de klok mee moment positief en tegen de klok in wordt als negatief beschouwd

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Laat XX de sectie van interesse zijn op een afstand van x van een vrij uiteinde

Volgens de eerder besproken Sign-conventie, als we beginnen met het berekenen van de dwarskracht van de Linkerkant of linker uiteinde van de balk, Opwaarts werkende kracht wordt genomen als Positief, en Neerwaarts werkende kracht wordt genomen als Negatief.

Afschuifkracht bij A is 

S.F_A=R_{VA}=wL \\\\S.F_A=200 N

bij regio XX is

SF_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wx

voor x = 2 m

\\\\S.F_x=wx=20*2=40\\;N

Afschuifkracht bij B is

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

De afschuifkrachtwaarden bij A en B stellen dat de afschuifkracht lineair varieert van vast uiteinde tot vrij uiteinde.

Voor BMD, als we beginnen met het berekenen van het buigmoment vanaf de Linkerkant of linker uiteinde van de balk, Met de klok mee Moment wordt genomen als Positief en Moment tegen de klok in wordt genomen als Negatief.

BM bij A

B.M_A = M_A
B.M_A=1000\\;Nm

BM bij X

B.M_x = M_A-w [Lx]

\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]
\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.m

BM bij B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0
Slide8

De vergelijking van de afbuigkromme voor een vrijdragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting

Beschouw de cantilever-balk met lengte L weergegeven in de onderstaande afbeelding met gelijkmatig verdeelde belasting. We zullen de vergelijking afleiden voor helling en afbuiging voor deze ligger met behulp van de dubbele integratiemethode.

Dia3 1

Het buigmoment dat werkt op de afstand x vanaf het linkeruiteinde kan worden verkregen als:

M=-wx* \\frac{x}{2}

Met behulp van de differentiaalvergelijking van de curve,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integreren zodra we,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Door vergelijking [1] te integreren, krijgen we,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

De constanten van integraties kunnen worden verkregen door de randvoorwaarden te gebruiken,

Bij x = L, dy / dx = 0; omdat steun bij A zich verzet tegen moties. Dus uit vergelijking [1] krijgen we,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Bij x = L, y = 0, geen afbuiging aan de steun of het vaste uiteinde A Dus, uit vergelijking [2], krijgen we,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2= \\frac{-wL^4}{8}

Als we de waarde van de constante in [1] en [2] vervangen, krijgen we nieuwe sets vergelijkingen als

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

Evalueer de helling op x = 12 m en maximale doorbuiging op basis van gegeven gegevens: Ik = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Uit de bovenstaande vergelijkingen: bij x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radialen

Uit vergelijking [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}
y=-0.064 \\;m

Cantilever-balk Stijfheid en trillingen

Stijfheid kan worden gedefinieerd als de weerstand tegen doorbuiging of vervorming door buiging. De verhouding tussen de maximale belasting en de maximale doorbuiging van een balk kan de stijfheid van de balk worden genoemd.

Voor een vrijdragende ligger met een kracht W aan het vrije uiteinde wordt de maximale doorbuiging gegeven door

δ=\\frac{WL^3}{3EI}

Waar W = toegepaste belasting, L = lengte van de balk, E = Young's Modulus, I = het tweede traagheidsmoment

Stijfheid wordt gegeven door,

k=W/δ \\\\k=W/\\frac{WL^3}{3EI}

\\\\k=\\frac{3EI}{L^3}

De natuurlijke frequentie kan worden gedefinieerd als de frequentie waarmee een systeem de neiging heeft te trillen bij afwezigheid van een aandrijf- of weerstandskracht.

ω_n=\\sqrt{k/m} \\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }

Waar m = massa van de balk.

Buigen van cantilever-liggers door pure buiging Moment dat buigspanning veroorzaakt

Wanneer een lid wordt onderworpen aan gelijke en tegengestelde paren in het vlak van het lid, wordt dit gedefinieerd als pure buiging. Bij pure buiging is de schuifkracht die op de balk inwerkt nul.

Veronderstellingen: materiaal is homogeen

Hook's Law is van toepassing

Lid is prismatisch

Een koppel wordt aangebracht in het vlak van het lid

Na het buigen vindt geen kromtrekking van de doorsnede van de balk plaats

Het rekprofiel moet lineair zijn vanaf de neutrale as

De spanningsverdeling is lineair vanaf de neutrale as naar de bovenste en onderste vezels van de balk.

Euler-Bernoulli's vergelijking voor buigmoment wordt gegeven door

\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}

M = Toegepast buigmoment over de dwarsdoorsnede van de balk.

I = Tweede traagheidsmoment

σ = Buigspanning-geïnduceerd in de staaf

y = Verticale afstand tussen de neutrale as van de balk en de gewenste vezel of element in mm

E = Young's Modulus in MPa

R = kromtestraal in mm

Buigspanning voor vrijdragende ligger met diameter d, en toegepaste belasting W kan worden gegeven als,

Dia1 3

Buigspanning zal inwerken op de vaste ondersteuning van de balk

Het moment was van toepassing M = WL

Tweede traagheidsmoment van het gebied

I=\\frac{\\pi}{64}d^4

De verticale afstand tussen de neutrale as van de balk en de gewenste vezel of element

y = d / 2

Buigspanning wordt gegeven als

σ=\\frac{Mijn}{I}

\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}

Buigspanning opsporen die inwerkt op een uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting (UDL)

Overweeg een cantilever-balk met gelijkmatig verdeelde belasting die wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding Ik = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Dia7 1

De reactiekrachten en het moment bij A kunnen worden berekend door evenwichtscondities van toe te passen

\\som F_y=0, \\som F_x=0 ,\\som M_A=0

Voor horizontaal evenwicht

\\som F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Voor verticaal evenwicht

\\som F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Moment nemen over A, met de klok mee moment positief en tegen de klok in wordt als negatief beschouwd

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Buigspanning

σ=\\frac{Mijn}{I}

σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}

σ=3.238\\;MPa

Vraag en antwoord over cantilever-balk

Q.1 Hoe heet de verhouding tussen maximale belasting en maximale doorbuiging van een balk?

Ans: Stijfheid kan worden gedefinieerd als de weerstand tegen doorbuiging of vervorming door buiging. De verhouding tussen de maximale belasting en de maximale doorbuiging van een balk kan de stijfheid van de balk worden genoemd.

Q.2 Definieer een vrijdragende ligger?

Ans: Een vrijdragende ligger is een ligger waarvan het ene uiteinde vast is en het andere uiteinde vrij is. De vaste ondersteuning verhindert de verplaatsing en rotatiebeweging van de balk aan dat uiteinde. De cantilever-balk maakt de overhangende functie mogelijk zonder enige extra ondersteuning. Wanneer de belasting wordt uitgeoefend op het vrije uiteinde van de balk, brengt de cantilever die belasting over op de ondersteuning waar het de afschuifkracht [V] en het buigmoment [BM] uitoefent naar het vaste uiteinde.

Q.3 Een vrijdragende ligger wordt onderworpen aan een gelijkmatig verdeelde belasting over de lengte van de ligger. Wat zal de vorm zijn van de dwarskracht- en buigmomentdiagrammen?

Ans: Voor een vrijdragende balk die wordt onderworpen aan een gelijkmatig verdeelde belasting over de lengte van de balk, zal de vorm van het dwarskrachtdiagram een ​​lineaire curve zijn en Buigmoment diagram zal een parabolische curve zijn.

V.4 Een cantilever wordt onderworpen aan gelijkmatig variërende belasting over de lengte van de balk, beginnend bij nul vanaf een vrij uiteinde. Wat zal de vorm zijn van het diagram Afschuifkracht en buigmoment?

Antw: Voor een vrijdragende ligger die wordt onderworpen aan een gelijkmatig variërende belasting over de lengte van de ligger, is de vorm van het dwarskrachtdiagram een ​​parabolische curve en een buigmomentdiagram een ​​kubieke of derdegraads curve.

Q.5 Waar werken spanning en compressie bij het buigen van vrijdragende liggers?

Ans: Voor een vrijdragende ligger met een bepaalde overspanning, zal de maximale buigspanning aan het vaste uiteinde van de ligger zijn. Voor neerwaartse netbelasting wordt de maximale trekbuigspanning uitgeoefend op de doorsnede, en max compressieve stress wordt ingewerkt op de onderste vezel van de balk.

Q.6 Een cantilever wordt onderworpen aan Moment (M) over de lengte van de balk, wat zal de afschuifkracht en het buigmoment zijn?

Ans: Voor een vrijdragende balk onderhevig aan moment M over de lengte van de balk zal de schuifkracht nul zijn, aangezien er geen externe buigkracht op de balk zal werken en het buigmoment constant zal blijven over de gehele lengte van de balk.

Om te weten over de sterkte van materiaal (klik hier)en buigmomentdiagram Klik hier

     

Laat een bericht achter