Kenmerken van functiegrafieken
Kenmerken van functiegrafieken, bespreekt dit artikel het concept van grafische presentatie van functies naast de waarde van een variabele die aanwezig is in een functie. Zodat de lezers de methodologie gemakkelijk kunnen begrijpen.
Welke grafiek vertegenwoordigt de functies f (X) = | x-2 | - 1?
Eén blik op de uitdrukking aan de rechterkant doet ons ons afvragen: wat zijn die twee balken rond -2? Welnu, die staven zijn de notatie voor een heel speciale functie in de wiskunde, bekend als de modulusfunctie of de absolute waardefunctie. Deze functie is zo belangrijk in functie theorie dat het een paar woorden waard is over zijn oorsprong.
Laten we zeggen dat we de tijd moeten bepalen die nodig is om van de ene stad naar de andere te gaan. Zijn we in dit geval niet alleen geïnteresseerd in de afstand tussen de twee steden? Zal de richting van enig belang zijn? Evenzo moeten we bij de studie van calculus vaak de nabijheid van twee getallen analyseren, wat de absolute waarde is van hun verschil. Het maakt ons niet uit of het verschil positief of negatief is. Duitse wiskundige Karl Weierstrass was degene die de noodzaak inzag van een functie die de absolute waarde van een getal zou uitdrukken. In het jaar 1841 definieerde Weierstrass de Modulus-functie en gebruikte hij de twee balken als symbool.
f (x) = x voor alle x> 0
= -x voor alle x <0
= 0 voor x = 0
Afgekort als f (x) = | x |
Uit de definitie blijkt duidelijk dat deze functie geen enkel effect heeft op een positief getal. Het verandert echter een negatief getal in een positief getal met dezelfde absolute waarde. Vandaar
| 5 | = 5
-7 2 5 =
| -5 | = 5
| 2-7 | = 5
Om de grafiek van | x | te tekenen, moeten we beginnen met de grafiek van f (x) = x, wat gewoon een rechte lijn is door de oorsprong, onder een hoek van 45 graden naar de positieve kant van de X-as
Men kan zeggen dat de bovenste helft van deze grafiek wordt behouden door f (x) = | x | aangezien deze functie geen positieve getallen verandert. De onderste helft van de grafiek moet echter van kant wisselen, omdat | x | moet altijd positief zijn. Dus alle punten op de onderste helft van f (x) = x worden nu vervangen op de bovenste helft, met dezelfde afstand tot de X-as. Met andere woorden, het geheel LINKER HALF VAN f (x) = | x | IS EIGENLIJK DE REFLECTIE VAN DE ONDERSTE HALF VAN f (x) = x rond de X-as.
In de bovenstaande afbeelding toont de rechterhelft de grafieken van | x | en x over elkaar heen gelegd, terwijl de linkerhelft de ene weergeeft als de weerspiegeling van de andere. Het is essentieel op te merken dat deze techniek kan worden uitgerekt tot elke functie. Met andere woorden, het is gemakkelijk om de grafiek van | f (x) | voor te stellen als we de grafiek van f (x) al kennen. Het vervangen van de onderste helft met zijn reflectie rond de X-as is de sleutel.
Nu weten we hoe we |x| moeten plotten. Maar ons oorspronkelijke probleem vereist de plot van |x-2|. Nou, dit is niets anders dan een verschuiving van oorsprong van (0,0) tot (2,0), omdat het simpelweg de X-waarde van alle punten met 2 eenheden verlaagt, waardoor f(x) wordt getransformeerd in f(x-2).
Nu is de -1 het enige wat nog moet gebeuren. Het betekent 1 aftrekken van alle punten op | x-2 |. Met andere woorden, het betekent de grafiek verticaal 1 eenheid naar beneden trekken. Het nieuwe hoekpunt zou dus (2, -1) zijn in plaats van (2,0)
Welke grafiek vertegenwoordigt de functies f (X) = - | x-2 | - 1?
Nou, dat zou vrij eenvoudig moeten zijn na de analyse die we zojuist hebben gedaan. Het enige verschil hier is een minteken voor |x-2|. Het minteken keert eenvoudig de grafiek van |x-2| . om ten opzichte van de X-as. Dus we kunnen de vorige herstarten probleem net na het punt waar we een grafiek hadden van |x-2|. Maar deze keer, voordat we de -1 beschouwen, zullen we de grafiek omkeren.
Hierna slepen we het een eenheid omlaag om de -1 op te nemen. En het is klaar.
De grafiek van een functie moet lineair zijn als hij welke eigenschap heeft?
Wat is een rechte lijn? Normaal gesproken wordt het gedefinieerd als de minimale afstand tussen twee punten op een plat oppervlak. Maar het kan ook vanuit een andere hoek worden gedefinieerd. Aangezien het XY-vlak een verzameling punten is, kunnen we elke lijn op dit vlak beschouwen als de meetkundige plaats of het spoor van een bewegend punt, of een punt waarvan de X-, Y-coördinaten veranderen.
Bewegen langs een rechte lijn houdt in dat de beweging plaatsvindt zonder een verandering van richting. Met andere woorden, als een punt begint te bewegen vanaf een bepaald punt en alleen in één bepaalde richting beweegt, wordt er gezegd dat het een rechte lijn volgt. Dus als we de lineaire grafiek als een functie willen uitdrukken, dan moeten we een vergelijking vinden voor de toestand in constante richting.
Maar hoe kun je richting wiskundig uitdrukken? Omdat we al twee referentieassen hebben in het XY-vlak, kan een richting van een lijn worden uitgedrukt door de hoek die deze maakt met een van de twee assen. Laten we dus aannemen dat een rechte lijn een hoek α maakt. Maar dat zou een familie van parallelle lijnen betekenen en niet slechts één. Α kan dus niet de enige parameter op een regel zijn.
Merk op dat de lijnen alleen verschillen in hun Y-snijpunt. Het Y-snijpunt is de afstand vanaf de oorsprong van het punt waar de lijn de Y-as ontmoet. Laten we deze parameter C noemen. We hebben dus twee parameters, α en C. Laten we nu proberen de vergelijking van de lijn af te leiden.
Uit de figuur moet uit de rechthoekige driehoek duidelijk zijn dat voor elk punt (x, y) op de lijn de heersende voorwaarde moet zijn
(yc) / x = tanα.
⟹ y = xtanα + c
⟹y = mx + c waarbij m = tanα
Daarom moet elke vergelijking met de vorm y = ax + b een rechte lijn vertegenwoordigen. Met andere woorden f (x) = ax + b is de gewenste vorm van een functie om lineair te zijn.
Hetzelfde kan ook worden afgeleid uit de conventionele definitie van een rechte lijn die stelt dat een lijn het kortste pad is tussen twee punten op een plat oppervlak. Dus laten (x1, y1) en (x2, y2) twee punten op een rechte lijn zijn.
Voor elk ander punt op de lijn kan een voorwaarde worden afgeleid door de hellingen van de twee lijnsegmenten die door de drie punten worden gevormd gelijk te stellen, aangezien de lijn zijn helling bij alle segmenten moet behouden. Vandaar de vergelijking
(jj1) / (xx1) = (y2-y1)/(X2-x1)
⟹y (x2-x1) + x (y1-y2) + (x1y2-y1x2) = 0
Deze vergelijking heeft de vorm Ax + By + C = 0 die kan worden geschreven in de vorm y = ax + b, die we kennen als de vorm van een lineaire functie.
Welke grafiek wordt gebruikt om de verandering in een opgegeven variabele weer te geven wanneer een tweede variabele wordt gewijzigd?
Om een ideale grafiek van een functie te tekenen, hebben we een welomlijnde algebraïsche uitdrukking of een oneindig aantal gegevenspunten nodig. In het echte leven zijn beide meestal niet beschikbaar. De gegevens die we hebben, zijn verspreid. Met andere woorden, we hebben misschien een lijst met (x, y) punten die in de grafiek kunnen worden uitgezet, maar de punten zijn mogelijk niet erg dicht gelegen. Maar we moeten die punten toch met elkaar verbinden, want er is geen andere manier om naar het patroon of de trend van de variabelen te kijken. Een aldus verkregen grafiek staat bekend als een lijngrafiek.
Het wordt zo genoemd omdat aangrenzende punten zijn verbonden met rechte lijnen. Deze grafiek is het meest geschikt om een verband tussen twee variabelen te illustreren, waarbij de ene afhankelijk is van de andere en beide veranderen. Tijdreeksgrafieken zijn voorbeelden van lijngrafieken waarbij de X-as de tijd vertegenwoordigt in eenheden van uren / dagen / maanden / jaren en de Y-as de variabele vertegenwoordigt waarvan de waarde in de loop van de tijd verandert.
| Verkoop | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| Jaar | 4000 | 4700 | 4450 | 4920 | 5340 | 5120 | 5450 | 5680 | 5560 | 5900 |
Periodieke functie
Wanneer de afhankelijke variabele zijn waarde herhaalt met een bepaalde periode of interval van de onafhankelijke variabele, wordt de functie periodiek genoemd. Het interval wordt de periode of fundamentele periode genoemd, soms ook als basisperiode of priemperiode. Het criterium voor een functie om periodiek te zijn, is voor een reële constante T, f (x + T) = f (x). Wat betekent dat f (x) zijn waarde herhaalt na elke T-eenheid van x. We kunnen de waarde van de functie op elk punt noteren, en we zullen dezelfde waarde vinden bij T-eenheden rechts en links tot dat punt. Dat is het kenmerk van een periodieke functie.
De bovenstaande afbeelding geeft het periodieke gedrag van Sinx weer. We nemen twee willekeurige waarden van x, zoals x1 en x2, en trekken lijnen parallel aan de x-as van sin (x1) en sin (x2). We merken op dat beide lijnen de grafiek weer ontmoeten op een afstand van precies 2π. Daarom is de periode van Sinx 2π. Dus we kunnen sin (x + 2 π) = sinx schrijven voor elke x. De andere trigonometrische functies zijn ook periodiek. Cosinus heeft dezelfde periode als Sin en dat geldt ook voor Cosec en Sec. Tan heeft een periode π en Cot ook.
Welke term geeft het aantal cycli van een periodieke functie dat in één horizontale eenheid plaatsvindt?
Een volledige periode wordt een cyclus genoemd. Er is dus precies één cyclus in T-eenheden van x. Daarom zijn er 1 / T-cycli in één eenheid van x. Het getal 1 / T is van bijzonder belang bij de studie van periodieke functies, omdat het aangeeft hoe vaak de functie zijn waarden herhaalt. Daarom wordt de term 'frequentie' toegewezen aan het nummer 1 / T. Frequentie wordt aangeduid met 'f', wat niet moet worden verward met de 'f' van functie. Hoe hoger de frequentie, hoe meer cycli er per eenheid zijn. Frequentie en periode zijn omgekeerd evenredig met elkaar, gerelateerd aan f = 1 / T of T = 1 / f. Voor Sin (X) is de periode 2π, dus de frequentie is 1 / 2π.
Voorbeelden:
- Bereken de periode en frequentie van Sin (3x)
Omdat Sin (x) één cyclus heeft in 2π, heeft Sin (3x) 3 cycli in 2π terwijl x 3 keer sneller vordert in Sin (3x). Dus de frequentie zou 3 keer die van Sin (x) zijn, dat is 3 / 2π. Dat maakt de periode 1 / (3 / 2π) = 2π / 3
- Bereken de periode van Sin2x + sin3x
Merk op dat elk geheel veelvoud van de fundamentele periode ook een punt is. Bij dit probleem zijn er twee componenten van de functie. De eerste heeft een periode van π en de tweede 2π / 3. Maar deze twee zijn verschillend, dus geen van beide kan de periode zijn van de samengestelde functie. Maar wat de periode van de compositie ook is, het moet ook een periode van de componenten zijn. Het moet dus een gemeenschappelijk geheel veelvoud zijn voor beide. Maar er kunnen er oneindig veel van zijn. Daarom zou de fundamentele periode het kleinste gemene veelvoud zijn van de perioden van de componenten. In deze opgave is dat Lcm (π, 2π / 3) = 2π
- Bereken de periode van (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)
Het is triviaal maar best interessant om op te merken dat de regel die we in de vorige opgave hebben uitgevonden, ook daadwerkelijk van toepassing is op elke samenstelling van periodieke functies. Dus in dit geval zou ook de effectieve periode de LCM zijn van de perioden van de componenten. Dat is LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π
- Bereken de periode van Sinx + sin πx
In eerste instantie lijkt het duidelijk dat de periode LCM (2π, 2) zou moeten zijn, maar dan realiseren we ons dat zo'n getal niet bestaat, aangezien 2π irrationeel is, net als de veelvouden en 2 is rationeel en de veelvouden ook. Er kan dus geen gemeenschappelijk geheel veelvoud zijn voor deze twee getallen. Daarom is deze functie niet periodiek.
De fractionele deelfunctie {x} is periodiek.
f (x) = {x}
Dit staat bekend als de fractionele deelfunctie. Het laat het grootste gehele deel van een reëel getal achter en laat alleen het fractionele deel weg. De waarde ligt dus altijd tussen 0 en 1, maar nooit gelijk aan 1. Die grafiek moet duidelijk maken dat hij een punt 1 heeft.
CONCLUSIE
Tot dusver hebben we de kenmerken van functiegrafieken besproken. We zouden nu duidelijk moeten zijn over de kenmerken en verschillende soorten grafieken. We hadden ook een idee van grafische interpretatie van functies. Het volgende artikel zal veel meer details behandelen over concepten zoals bereik en domein, inverse functies, verschillende functies en hun grafieken, en veel uitgewerkte problemen. Om dieper op de studie in te gaan, wordt u aangemoedigd om hieronder te lezen
Calculus door Michael Spivak.
Algebra door Michael Artin.
Voor meer wiskundeartikel, alstublieft klik hier.
Het TechieScience Core MKB-team is een groep ervaren vakexperts uit diverse wetenschappelijke en technische vakgebieden, waaronder natuurkunde, scheikunde, technologie, elektronica en elektrotechniek, auto-industrie en werktuigbouwkunde. Ons team werkt samen om hoogwaardige, goed onderbouwde artikelen te creëren over een breed scala aan wetenschappelijke en technologische onderwerpen voor de TechieScience.com-website.
Al onze senior MKB-bedrijven hebben meer dan 7 jaar ervaring op de betreffende gebieden. Ze zijn professionals uit de werkende industrie of verbonden aan verschillende universiteiten. Refereren Onze auteurs Pagina om meer te weten te komen over onze kern-KMO's.