13 feiten over de ongelijkheid en centrale limietstelling van Chebyshev

In de kanstheorie is de De ongelijkheid van Chebyshev & centrale limietstelling behandelen de situaties waarin we de kansverdeling willen vinden van de som van grote aantallen willekeurige variabelen in ongeveer normale toestand. Voordat we de limietstellingen bekijken, zien we enkele van de ongelijkheden, die de grenzen voor de kansen bieden als gemiddelde en variantie bekend is.

Markovs ongelijkheid

De ongelijkheid van Markov voor de willekeurige variabele X die alleen een positieve waarde heeft voor a>0 is

om dit te bewijzen voor a>0 overweeg

Sinds

nu in afwachting van deze ongelijkheid die we krijgen

de reden is

wat de ongelijkheid van Markov geeft voor a>0 as

De ongelijkheid van Chebyshev

 voor de eindige gemiddelde en variantie van willekeurige variabele X de ongelijkheid van Chebyshev voor k>0 is

waarbij sigma en mu de variantie en het gemiddelde van de willekeurige variabele vertegenwoordigen, om dit te bewijzen gebruiken we de Markovs ongelijkheid als de niet-negatieve willekeurige variabele

voor de waarde van a als constant kwadraat, vandaar

deze vergelijking is gelijk aan

zo duidelijk

Voorbeelden van de ongelijkheden van Markov en Chebyshev:

1. Als de productie van een specifiek item als willekeurige variabele wordt genomen voor de week met gemiddelde 50, bereken dan de kans dat de productie in een week de 75 overschrijdt en wat zou de kans zijn als de productie van een week tussen 40 en 60 ligt, op voorwaarde dat de variantie daarvoor week 25?

Oplossing: beschouw de willekeurige variabele X voor de productie van het item gedurende een week en om de waarschijnlijkheid van een productie van meer dan 75 te vinden, zullen we gebruiken Markovs ongelijkheid as

Nu zullen we de waarschijnlijkheid voor de productie tussen 40 en 60 met variantie 25 gebruiken De ongelijkheid van Chebyshev as

so

dit toont de kans voor de week als de productie tussen 40 en 60 is 3/4.

2. Laat zien dat de ongelijkheid van chebyshev die de bovengrens van de kans geeft, ligt niet bijzonder dichter bij de werkelijke waarde van de kans.

Oplossing:

Overweeg dat de willekeurige variabele X uniform is verdeeld met gemiddelde 5 en variantie 25/3 over het interval (0,1) en vervolgens door de ongelijkheid van chebyshev we kunnen schrijven

maar de werkelijke kans zal zijn

wat ook verre van de werkelijke waarschijnlijkheid is als we de willekeurige variabele X nemen zoals normaal verdeeld met gemiddelde en variantie De ongelijkheid van Chebyshev zal zijn

maar de werkelijke kans is

Zwakke wet van grote getallen

De zwakke wet voor de reeks willekeurige variabelen zal worden gevolgd door het resultaat dat De ongelijkheid van Chebyshev kan worden gebruikt als hulpmiddel voor bewijzen, bijvoorbeeld om te bewijzen

als de variantie nul is, zijn dat de enige willekeurige variabelen met varianties gelijk aan 0, die zijn constant met kans 1 dus door De ongelijkheid van Chebyshev voor n groter dan of gelijk aan 1

as

door de continuïteit van de waarschijnlijkheid

wat het resultaat bewijst.

om dit te bewijzen nemen we aan dat variantie ook eindig is voor elke willekeurige variabele in de reeks, dus de verwachting en variantie

nu van de De ongelijkheid van Chebyshev de bovengrens van de kans als

wat voor n neigend naar oneindig zal zijn

Centrale limietstelling

De centrale limietstelling is een van de belangrijke resultaten in de kansrekening omdat het de verdeling geeft van de som van grote getallen die ongeveer normaal is distributie naast de methode voor het vinden van de geschatte kansen voor sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen centrale limietstelling toont ook de empirische frequenties van zoveel natuurlijke populaties vertonen klokvormige gemiddelde normale krommen. Voordat we de gedetailleerde uitleg van deze stelling geven, gebruiken we het resultaat

“Als de reeks willekeurige variabelen Z₁,Z₂,…. hebben de verdelingsfunctie en de momentgenererende functie als F_Zn en M_zn harte

Centrale limietstelling: Voor de reeks van identiek verdeelde en onafhankelijke toevalsvariabelen X₁,X₂,……. die elk het gemiddelde μ en . hebben variantie σ2 dan de verdeling van de som

neigt naar de standaardnormaal als n neigt naar oneindig voor a om reële waarden te zijn

Bewijs: om het resultaat te bewijzen, beschouw het gemiddelde als nul en variantie als één, d.w.z μ=0 & σ²= 1 en de moment genererende functie voor X_i bestaat en is eindig, dus de momentgenererende functie voor de willekeurige variabele X_i/√n zal zijn

hier de momentgenererende functie voor de som ΣX_i/√n zal zijn

Laten we nu L(t)=logM(t) nemen

so

om het bewijs te tonen dat we eerst laten zien

door zijn equivalente vorm te tonen

sinds

vandaar dat dit het resultaat toont voor de gemiddelde nul en variantie 1, en hetzelfde resultaat volgt voor het algemene geval ook door te nemen

en voor elk hebben we

Voorbeeld van de centrale limietstelling

Om de afstand in lichtjaar van een ster te berekenen vanuit het laboratorium van een astronoom, gebruikt hij enkele meettechnieken, maar vanwege veranderingen in de atmosfeer is de gemeten afstand elke keer niet exact, maar met enige fout, dus om de exacte afstand te vinden die hij van plan is te vinden observeer continu in een reeks en het gemiddelde van deze afstanden als de geschatte afstand. Als hij de meetwaarden als identiek verdeeld en onafhankelijke willekeurige variabele met gemiddelde d en variantie van 4 lichtjaar beschouwt, zoek dan het aantal metingen dat moet worden gedaan om de fout van 0.5 te verkrijgen in de geschatte en werkelijke waarde?

Oplossing: Laten we de metingen beschouwen als de onafhankelijke willekeurige variabelen in volgorde X₁,X₂,…….X_n dus door de Centrale limietstelling we kunnen schrijven

wat is de benadering in standaard normale verdeling dus de kans zal zijn

dus om de nauwkeurigheid van de meting op 95 procent te krijgen, moet de astronoom n* afstanden meten waar

dus vanuit de normale distributietabel kunnen we het schrijven als

waarin staat dat de meting 62 keer moet worden gedaan, dit kan ook worden waargenomen met behulp van De ongelijkheid van Chebyshev door te nemen

dus de ongelijkheid resulteert in

vandaar voor n=16/0.05=320 wat de zekerheid geeft dat er slechts 5 procent fout zal zijn in de meting van de afstand van de ster tot het waarnemingslaboratorium.

2. Het aantal toegelaten studenten in de ingenieursopleiding is Poisson verdeeld met gemiddelde 100, er werd besloten dat als de toegelaten studenten 120 of meer zijn, het onderwijs in twee secties zal zijn, anders in slechts één sectie, wat is de kans dat er zijn twee secties voor de cursus?

Oplossing: door de Poisson-verdeling te volgen, wordt de exacte oplossing:

wat duidelijk niet de specifieke numerieke waarde is, als we de willekeurige variabele X beschouwen zoals de studenten hebben toegelaten, dan door de centrale limietstelling

die kunnen worden

wat de numerieke waarde is.

3. Bereken de kans dat de som van de tien dobbelstenen bij het gooien tussen de 30 en 40 ligt, inclusief 30 en 40?

Oplossing: hier wordt de dobbelsteen als X . beschouwd_i voor tien waarden van i. het gemiddelde en de variantie zullen zijn

dus het volgen van de centrale limietstelling we kunnen schrijven

wat de vereiste kans is.

4. Voor de uniform verdeelde onafhankelijke stochastische variabelen X_i op het interval (0,1) wat de benadering van de waarschijnlijkheid zal zijn

Oplossing: Uit de Unifrom-verdeling weten we dat het gemiddelde en de variantie gelijk zullen zijn

Gebruik nu de centrale limietstelling we kunnen

dus de som van de willekeurige variabele zal 14 procent zijn.

5. Bereken de kans dat de beoordelaar van het examen een cijfer geeft, 25 examens vanaf 450 minuten als er 50 examens zijn waarvan de beoordelingstijd onafhankelijk is met een gemiddelde van 20 minuten en een standaarddeviatie van 4 minuten.

Oplossing: Houd rekening met de tijd die nodig is om het examen te beoordelen met de willekeurige variabele X_i dus de willekeurige variabele X zal zijn

aangezien deze taak voor 25-examen binnen 450 minuten duurt, dus

hier met behulp van de centrale limietstelling

wat de vereiste kans is.

Centrale limietstelling voor onafhankelijke willekeurige variabelen

Voor de rij die niet identiek is verdeeld maar met onafhankelijke willekeurige variabelen X₁,X₂,……. die elk het gemiddelde μ en variantie . hebben σ² mits het voldoet

1. elke X_i is uniform begrensd
2. som van de varianties is oneindig, dan

Sterke wet van de grote getallen

Sterke wet van grote getallen is een zeer cruciaal concept van de waarschijnlijkheids theorie wat zegt dat het gemiddelde van de reeks van algemeen verdeelde willekeurige variabelen met waarschijnlijkheid één zal convergeren naar het gemiddelde van diezelfde verdeling

Statement: Voor de reeks van identiek verdeeld en onafhankelijke willekeurige variabelen X₁,X₂,……. die elk het eindige gemiddelde hebben met kans één dan

Bewijs: om dit te bewijzen, bedenk dat het gemiddelde van elk van de willekeurige variabelen nul is, en de reeks

nu voor dit overweeg de kracht hiervan als

na het nemen van de uitbreiding van de termen aan de rechterkant hebben we de voorwaarden van het formulier

aangezien dit onafhankelijken zijn, zal het gemiddelde hiervan zijn

met behulp van de combinatie van het paar zal de uitbreiding van de serie nu zijn

sinds

so

we krijgen

dit suggereert de ongelijkheid

Vandaar

Door de convergentie van de reeks, aangezien de kans op elke willekeurige variabele één is

sinds

als het gemiddelde van elke willekeurige variabele niet gelijk is aan nul, dan kunnen we het met afwijking en kans één schrijven als

or

wat het gewenste resultaat is.

Eenzijdige Chebyshev-ongelijkheid

De eenzijdige Chebysheve-ongelijkheid voor de willekeurige variabele X met gemiddelde nul en eindige variantie als a>0 is

om dit te bewijzen, overweeg voor b>0 laat de willekeurige variabele X as

wat geeft

dus met behulp van de Markovs ongelijkheid

wat de vereiste ongelijkheid oplevert. voor het gemiddelde en de variantie kunnen we het schrijven als

Dit kan verder worden geschreven als

Voorbeeld:

Zoek de bovengrens van de kans dat de productie van het bedrijf dat willekeurig wordt verdeeld ten minste 120 zal zijn, als de productie van dit bepaalde bedrijf gemiddelde 100 en variantie 400 heeft.

Oplossing:

De eenzijdige gebruiken chebyshev ongelijkheid

dus dit geeft de kans op de productie binnen een week minstens 120 is 1/2, nu wordt de grens voor deze kans verkregen door gebruik te maken van Markovs ongelijkheid

die de bovengrens voor de kans aangeeft.

Voorbeeld:

Honderd paren worden genomen uit tweehonderd personen met honderd mannen en honderd vrouwen vinden de bovengrens van de kans dat hoogstens dertig paar een man en een vrouw zullen zijn.

Oplossing:

Laat de willekeurige variabele X_i as

dus het paar kan worden uitgedrukt als

Aangezien elke man even waarschijnlijk een paar kan zijn met de overige mensen waarin honderd vrouwen zijn, dus het gemiddelde

op dezelfde manier als i en j niet gelijk zijn dan

as

daarom hebben we

met de chebyshev ongelijkheid

wat aangeeft dat de mogelijkheid om 30 mannen aan vrouwen te koppelen minder dan zes is, dus we kunnen de binding verbeteren door gebruik te maken van eenzijdige chebyshev-ongelijkheid

Chernoff Bound B

Als de momentgenererende functie al bekend is, dan

as

op dezelfde manier kunnen we voor t<0 schrijven als

Dus de Chernoff-grens kan worden gedefinieerd als

deze ongelijkheid staat voor alle waarden van t, zowel positief als negatief.

Chernoff-grenzen voor de standaard normale willekeurige variabele

De grenzen van Chernoff voor de norm normale willekeurige variabele wiens momentgenererende functie

is

dus het minimaliseren van deze ongelijkheid en machtstermen aan de rechterkant geeft a> 0

en voor a<0 is het

Chernoff-grenzen voor de willekeurige variabele van Poisson

De Chernoff-grenzen voor de willekeurige variabele van Poisson waarvan de momentgenererende functie

is

dus het minimaliseren van deze ongelijkheid en machtstermen aan de rechterkant geeft a> 0

en het zou zijn

Voorbeeld op Chernoff Bounds

Als een speler in een spel evenveel kans heeft om het spel te winnen of te verliezen, onafhankelijk van een eerdere score, bepaal dan de chernoff voor de waarschijnlijkheid

Oplossing: laat X_i duiden het winnen van de speler aan, dan is de kans

voor de reeks van n speelt let

dus de momentgenererende functie zal zijn

hier met behulp van de uitbreidingen van exponentiële termen

Dus we hebben

nu de eigenschap van de momentgenererende functie toepassen

Dit geeft de ongelijkheid

Vandaar

Conclusie:

De ongelijkheden en de limietstelling voor de grote aantallen werden besproken en de gerechtvaardigde voorbeelden voor de grenzen van de waarschijnlijkheden werden ook gebruikt om een ​​glimp van het idee te krijgen. Ook wordt de hulp van de normale, poisson-willekeurige variabele en momentgenererende functie gebruikt om aan te tonen het concept gemakkelijk te begrijpen, als u meer wilt lezen, blader dan door onderstaande boeken of voor meer artikelen over waarschijnlijkheid, volg alstublieft onze Wiskunde pagina's.

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.