Voorwaardelijke verdeling: 7 interessante feiten om te weten


Voorwaardelijke distributie

   Het is erg interessant om het voorwaardelijke geval van verdeling te bespreken wanneer twee willekeurige variabelen de verdeling volgen die aan de ene aan de andere voldoen, we eerst kort de voorwaardelijke verdeling zien in zowel het geval van willekeurige variabelen, discreet en continu, en na het bestuderen van enkele voorwaarden, concentreren we ons op de voorwaardelijke verwachtingen.

Discrete voorwaardelijke distributie

     Met behulp van de gezamenlijke kansmassafunctie in de gezamenlijke verdeling definiëren we voorwaardelijke verdeling voor de discrete willekeurige variabelen X en Y met behulp van voorwaardelijke kans voor X gegeven Y als de verdeling met de kansmassafunctie

[latex]p_{X|Y}(x|y)=P\links { X=x|Y=y \rechts }[/latex]

[latex]=\frac{P\left { X=x, Y=y \right }}{P\left { Y=y \right }}[/latex]

[latex]=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}[/latex]

op voorwaarde dat de kans van de noemer groter is dan nul, kunnen we dit op dezelfde manier schrijven als

[latex]F_{X|Y}(x|y)=P \links { X\leq x|Y\leq y \right }[/latex]

[latex]=\sum_{a\leq x} p_{X|Y} (a|y)[/latex]

in de gezamenlijke kans als de X en Y onafhankelijke willekeurige variabelen zijn, zal dit veranderen in

[latex]p_{X|Y} (x|y) = P \links { X=x|Y=y \rechts }[/latex]

[latex]=\frac{P\left { X=x, Y=y \right }}{P\left { Y=y \right }}[/latex]

[latex]=P\links { X=x \rechts }[/latex]

dus de discrete voorwaardelijke verdeling of voorwaardelijke verdeling voor de discrete willekeurige variabelen X gegeven Y is de willekeurige variabele met de bovenstaande kansmassafunctie op dezelfde manier voor Y gegeven X die we kunnen definiëren.

Voorbeeld over discrete voorwaardelijke distributie

  1. Vind de kansmassafunctie van willekeurige variabele X gegeven Y=1, als de gezamenlijke kansmassafunctie voor de willekeurige variabelen X en Y enkele waarden heeft als

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Nu allereerst voor de waarde Y = 1 die we hebben

[latex]p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5[/latex]

dus met behulp van de definitie van kansmassa-functie

[latex]p_{X|Y}(x|y)=P\links { X=x|Y=y \rechts }[/latex]

[latex]=\frac{P\left { X=x,Y=y \right }}{P\left { Y=y \right }}[/latex]

[latex]=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}[/latex]

we

[latex]p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}[/latex]

en

[latex]p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}[/latex]

  • verkrijg de voorwaardelijke verdeling van X gegeven X + Y = n, waarbij X en Y Poisson-verdelingen zijn met de parameters λ1 en λ2 en X en Y zijn onafhankelijke willekeurige variabelen

Omdat de willekeurige variabelen X en Y onafhankelijk zijn, zal de voorwaardelijke verdeling de kansmassa-functie hebben als

[latex]P\links { X=k|X + Y=n \rechts } =\frac{P\links { X=k, X+Y =n \rechts }}{P\links { X+Y=n \rechts }}[/latex]

[latex]=\frac{P\left { X=k, X =n -k \right }}{P\left { X+Y=n \right }}[/latex]

[latex]=\frac{P\left { X=k \right } P\left { Y=nk \right }}{P\left { X+Y=n \right }}[/latex]

aangezien de som van de willekeurige variabele Poisson weer poisson is

[latex]P\links { X=k|X +Y =n \rechts } =\frac{e^{-\lambda {1}}\lambda{1}^{k}}{k!}\frac{e^{-\lambda_{2}^{}}\lambda {2}^{nk}}{(nk)!}\left [ \frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}(\lambda {1}+\lambda _{2})^{n}}{n!} \right ]^{-1}[/latex]

[latex]=\frac{n!}{(nk)!k!}\frac{\lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}}{(\lambda {1}+\lambda {2})^{n}}[/latex]

[latex]=\binom{n}{k} \links ( \frac{\lambda {1}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \right )^{k}\left ( \frac{\lambda {2}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \right )^{nk}[/latex]

dus de voorwaardelijke verdeling met bovenstaande kansmassafunctie zal voorwaardelijke verdeling zijn voor dergelijke Poisson-verdelingen. Het bovenstaande geval kan worden gegeneraliseerd voor meer dan twee willekeurige variabelen.

Continue voorwaardelijke distributie

   De continue voorwaardelijke verdeling van de willekeurige variabele X die al is gedefinieerd, is de continue verdeling met de kansdichtheidsfunctie

[latex]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/latex]

noemer dichtheid is groter dan nul, wat voor de continue dichtheidsfunctie is

[latex]f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)dxdy}{f_{Y}(y)dy}[/latex]

[latex]\circa \frac{P\left { x\leq X\leq x+dx, y\leq Y \leq y+ dy \right }}{P\left { y\leq Y \leq y+dy \right }}[/latex]

[latex]=P\left { x\leq X \leq x+dx|y\leq Y\leq y+dy \right }[/latex]

dus de kans op een dergelijke voorwaardelijke dichtheidsfunctie is

[latex]P\left { X\in A|Y =y \right } =\int_{A} f_{X|Y}(x|y)dx[/latex]

Op dezelfde manier als in discreet als X en Y onafhankelijk continu zijn, dan ook

[latex]f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{X}(x)f_{Y} (y)}{f_{Y}(y)} =f_{X}(x)[/latex]

en daarom

[latex]\frac{P\left { x< X< x+ dx|N =n \right }}{dx} = \frac{P\left { N=n|x < X < x+ dx \right }}{ P\left { N=n \right }} \frac{P\left { x< X < x+ dx \right }}{dx}[/latex]

[latex]\lim_{dx \to 0}\frac{P\left { x< X < x +dx|N =n \right }}{dx} =\frac{P\left { N=n|X = x \right }}{P\left { N=n \right }} f(x)[/latex]

dus we kunnen het schrijven als

[latex]f_{X|N}(x|n)=\frac{P\left { N=n|X=x \right }}{P\left { N=n \right }}f(x)[ /latex]

Voorbeeld van continue voorwaardelijke distributie

  1. Bereken de voorwaardelijke dichtheidsfunctie van willekeurige variabele X gegeven Y als de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie met het open interval (0,1) wordt gegeven door

[latex]f(x,y)=\begin{cases} \frac{12}{5} x(2-xy) \ \ 0< x< 1, \ \ 0< y< 1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ anders \end{cases}[/latex]

Als voor de willekeurige variabele X Y is opgegeven binnen (0,1), dan hebben we door de bovenstaande dichtheidsfunctie te gebruiken

[latex]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/latex]

[latex]=\frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx}[/latex]

[latex]=\frac{x(2-xy)}{\int_{0}^{1} x(2-xy) dx}[/latex]

[latex]=\frac{x(2-xy)}{\frac{2}{3}-\frac{y}{2}}[/latex]

[latex]=\frac{6x(2-xy)}{4-3y}[/latex]

  • Bereken de voorwaardelijke kans

[latex]P\links { X> 1|Y=y \rechts }[/latex]

als de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie wordt gegeven door

f (x, y) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {y}} e ^ {- y}} {y} \ \ 0 <x <\ infty, \ \ 0 <y <\ infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ else \ end {cases}

Om eerst de voorwaardelijke kans te vinden, hebben we de voorwaardelijke dichtheidsfunctie nodig, dus volgens de definitie zou het zijn

[latex]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/latex]

[latex]=\frac{e^{-x/y}e^{-y}/y}{e^{-y}\int_{0}^{\infty}(1/y)e^{- x/y}dx}[/latex]

[latex]=\frac{1}{y}e^{-x/y}[/latex]

nu met behulp van deze dichtheidsfunctie in de waarschijnlijkheid de voorwaardelijke kans is

[latex]P\left { X> 1|Y=y \right } =\int_{1}^{\infty}\frac{1}{y} e^{-x/y}dx[/latex]

[latex]= e^{-x/y} \lvert_{1}^{\infty}[/latex]

[latex]= e^{-1/y}[/latex]

Voorwaardelijke verdeling van bivariate normale verdeling

  We weten dat de bivariate normale verdeling van de normale willekeurige variabelen X en Y met de respectievelijke gemiddelden en varianties als de parameters de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie heeft

Voorwaardelijke distributie
Voorwaardelijk verdeling van bivariate normaal distributie

dus om de voorwaardelijke verdeling te vinden voor zo'n bivariate normale verdeling voor X gegeven Y wordt gedefinieerd door de voorwaardelijke dichtheidsfunctie van de continue willekeurige variabele te volgen en de bovenstaande gewrichtsdichtheidsfunctie die we hebben

Voorwaardelijke distributie
Voorwaardelijke verdeling van bivariate normale verdeling

Door dit te observeren kunnen we zeggen dat dit normaal verdeeld is met het gemiddelde

[latex]\links ( \mu {x} + \rho \frac{\sigma {x}}{\sigma {y}} (y-\mu {y}) \rechts )[/latex]

en variantie

[latex]\sigma _{x}^{2}(1-\rho ^{2})[/latex]

op dezelfde manier zal de voorwaardelijke dichtheidsfunctie voor Y, gegeven X al gedefinieerd, gewoon de posities van de parameters van X verwisselen met Y,

De marginale dichtheidsfunctie voor X kunnen we verkrijgen uit de bovenstaande voorwaardelijke dichtheidsfunctie door de waarde van de constante te gebruiken

Voorwaardelijke distributie
Voorwaardelijke verdeling van bivariate normale verdeling

laten we de integraal vervangen

[latex]w=\frac{y-\mu {y}}{\sigma {y}}[/latex]

de dichtheidsfunctie zal nu zijn

sinds de totale waarde van

door de definitie van de kans, dus de dichtheidsfunctie zal er nu zijn

wat niets anders is dan de dichtheidsfunctie van willekeurige variabele X met het gebruikelijke gemiddelde en variantie als de parameters.

Gezamenlijke kansverdeling van functie van willekeurige variabelen

  Tot dusver kennen we de gezamenlijke kansverdeling van twee willekeurige variabelen, als we nu functies van dergelijke willekeurige variabelen hebben, wat zou dan de gezamenlijke kansverdeling van die functies zijn, hoe de dichtheid en verdelingsfunctie te berekenen, want we hebben situaties uit het echte leven waarin we hebben functies van de willekeurige variabelen,

Als Y1 en Y2 zijn de functies van de willekeurige variabelen X1 en X2 respectievelijk die gezamenlijk continu zijn, dan zal de gezamenlijke continue dichtheidsfunctie van deze twee functies zijn

[latex]f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}[/latex]

WAAR Jacobiaan

[latex]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \ \ \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \end{vmatrix} \equiv \frac{\partial g_1}{\partial x_1}\frac{\partial g_2 }{\partial x_2} – \frac{\partial g_1}{\partial x_2}\frac{\partial g_2}{\partial x_1} \neq 0[/latex]

en Y1 =g1 (X1, X2) en Y2 =g2 (X1, X2) voor sommige functies g1 en g2 . Hier g1 en g2 voldoet aan de voorwaarden van de Jacobiaan als continu en heeft continue partiële afgeleiden.

Nu zal de kans op dergelijke functies van willekeurige variabelen zijn

Voorbeelden van gezamenlijke kansverdeling van de functie van willekeurige variabelen

  1. Zoek de gewrichtsdichtheidsfunctie van de willekeurige variabelen Y1 =X1 +X2 en Y2=X1 -X2 , waar X1 en X2 zijn de gezamenlijk continu met gezamenlijke kansdichtheidsfunctie. bespreek ook de verschillende aard van distributie.

Hier gaan we eerst Jacobian bekijken

[latex]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \ \\ \ frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \end{vmatrix}[/latex]

sinds g1(x1, x2) = x1 +x2  en g2(x1, x2) = x1 - x2 so

[latex]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-2[/latex]

vereenvoudiging van Y1 =X1 +X2 en Y2=X1 -X2 , voor de waarde van X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) en X2 = Y1 -Y2 ,

[latex]f_{Y_{1}},{Y{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} – y_{2}}{2} \right )[/latex]

als deze willekeurige variabelen onafhankelijke uniforme willekeurige variabelen zijn

[latex]f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\begin{cases} \frac{1}{2} \ \ 0 \leq y_{1} + y_{2} \leq 2 \ \ , \ \ 0\leq y_{1} – y_{2} \leq 2 \\ 0 \ \ anders \end{cases}[/latex]

of als deze willekeurige variabelen onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen zijn met gebruikelijke parameters

of als deze willekeurige variabelen onafhankelijke normale willekeurige variabelen zijn, dan

[latex]f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}[/latex]

[latex]=\frac{1}{4\pi } e^{-\left ( y_{1}^{2} + y_{2}^{2}\right )/4}[/latex]

[latex]=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}[/latex]

  • Als X en Y de onafhankelijke standaard normaalvariabelen zijn, zoals gegeven
Voorwaardelijke distributie

bereken de gezamenlijke verdeling voor de respectieve poolcoördinaten.

We zullen door de gebruikelijke conversie X en Y omzetten in r en θ als

[latex]g_{1}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ en \ \ \theta =g_{2} (x,y)= tan^{- 1}\frac{y}{x}[/latex]

dus de partiële afgeleiden van deze functie zullen zijn

[latex]\frac{\partial g_{1}}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{2}}{\partial x}=\frac{1}{1+ (y/x)^{2}}\left ( \frac{-y}{x^{ 2}} \right )^{2} =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{1}}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{2}}{\partial y}=\frac{1}{x\left [ 1+(y/x)^{2} \right ]}=\frac{x} {x^{2}+y^{2}}[/latex]

dus de Jacobiaan die deze functies gebruikt is

[latex]J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}[/latex]

als beide willekeurige variabelen X en Y groter zijn dan nul, dan is de voorwaardelijke gewrichtsdichtheidsfunctie

[latex]f(x,y|X > 0, Y > 0)=\frac{f(x,y)}{P(X > 0, Y> 0)}=\frac{2}{\pi } e^{-(x^{2}+y^{2})/2} \ \ x> 0, \ \ y> 0[/latex]

nu de conversie van de cartesische coördinaat naar de poolcoördinaat met behulp van

[latex]r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ and \ \ \theta =tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )[/ latex]

dus de kansdichtheid functie voor de positieve waarden zal zijn

[latex]f(r,\theta|X > 0, Y> 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< \theta < \frac {\pi }{2} , \ \ 0< r< \infty[/latex]

voor de verschillende combinaties van X en Y zijn de dichtheidsfuncties op vergelijkbare manieren:

[latex]f(r,\theta|X 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi /2 < \theta < \pi , \ \ 0< r< \infty[/latex]

[latex]f(r,\theta|X < 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi < \theta < 3 \pi/2 , \ \ 0< r< \infty[/latex]

[latex]f(r,\theta|X > 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 3\pi/2 < \ theta < 2\pi , \ \ 0< r< \infty[/latex]

nu kunnen we uit het gemiddelde van de bovenstaande dichtheden de dichtheidsfunctie aangeven als

[latex]f(r,\theta)=\frac{1}{2\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0 < \theta < 2\pi , \ \ 0< r < \infty[/latex]

en de marginale dichtheidsfunctie van deze gezamenlijke dichtheid van polaire coördinaten over het interval (0, 2π)

[latex]f(r)=re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< r< \infty[/latex]

  • Zoek de gewrichtsdichtheidsfunctie voor de functie van willekeurige variabelen

U = X + Y en V = X / (X + Y)

waarbij X en Y de . zijn gamma distributie met respectievelijk parameters (α + λ) en (β +λ).

Met behulp van de definitie van gamma distributie en gezamenlijke verdelingsfunctie zal de dichtheidsfunctie voor de willekeurige variabele X en Y zijn

[latex]f_{X,Y} (x,y)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )} \ frac{\lambda e^{-\lambda y}(\lambda y)^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}[/latex]

[latex]=\frac{\lambda ^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta )} e^{-\lambda (x+y)} x^{\alpha - 1}y^{\beta -1}[/latex]

beschouw de gegeven functies als

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

dus de differentiatie van deze functie is

[latex]\frac{\partial g_{1}}{\partial x}=\frac{\partial g_{1}}{\partial y}=1[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{2}}{\partial x}=\frac{y}{(x+y)^{2}}[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{2}}{\partial y}=-\frac{x}{(x+y)^{2}}[/latex]

nu is de Jacobiaan

[latex]J(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \ \\ \frac{y}{(x+y)^{2}} & \frac{-x}{(x+y) ^{2}} \end{vmatrix} = -\frac{1}{x+y}[/latex]

na vereenvoudiging van de gegeven vergelijkingen de variabelen x = uv en y = u (1-v) is de kansdichtheidsfunctie

[latex]f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y} \links [ uv,u(1-v) \rechts ]u[/latex]

[latex]=\frac{\lambda e^{-\lambda u}(\lambda u)^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma (\alpha +\beta )} \frac{v^{ \alpha -1}(1-v)^{\beta -1}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}[/latex]

we kunnen de relatie gebruiken

[latex]B(\alpha ,\beta )=\int_{0}^{1}v^{\alpha -1}(1-v)^{\beta -1}dv[/latex]

[latex]=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}[/latex]

  • Bereken de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie voor

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3

waarbij de willekeurige variabelen X1, X2, X3 de standaard zijn normale willekeurige variabelen.

Laten we nu de Jacobiaan berekenen door partiële afgeleiden van te gebruiken

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3

as

[latex]J = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \\ 1 & -1 & 0 \\ \ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =3[/latex]

vereenvoudiging voor variabelen X1 , X2 en X3

X1 = (Y1 + Ja2 + Ja3) / 3, X2 = (Y1 - 2J2 + Ja3) / 3, X3 = (Y1 + Ja2 -2 j3) / 3

we kunnen de functie van de gewrichtsdichtheid generaliseren als

[latex]f_{Y_{1} \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1} \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_ {n}}(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|J(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|^{-1}[/latex]

Dus we hebben

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )[/latex]

voor de normale variabele is de gewrichtswaarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie

[latex]f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}[/latex]

Vandaar

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}[/latex]

waar de index is

[latex]Q(y_{1},y_{2},y_{3})=\left ( \frac{(y_{1}+y_{2}+y_{3})}{3} \right ) ^{2} + \links ( \frac{(y_{1}-2y_{2}+y_{3})}{3} \right )^{2} + \links ( \frac{(y_{1} +y_{2}-2y_{3})}{3} \right )^{2}[/latex]

[latex]=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}[/latex]

bereken de gewrichtsdichtheidsfunctie van Y1 …… Yn en marginale dichtheidsfunctie voor Yn WAAR

[latex]Y_{i}= X_{1}+ \cdot \cdot \cdot.+X_{i} \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot..,n[/latex]

en Xi zijn onafhankelijke identiek verdeelde exponentiële willekeurige variabelen met parameter λ.

voor de willekeurige variabelen van het formulier

Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Jan =X1 + …… + Xn

de Jacobiaan zal de vorm hebben

en daarom is zijn waarde één, en de gezamenlijke dichtheidsfunctie voor de exponentiële willekeurige variabele

[latex]f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_{n}}(x_{1}, \cdot \cdot \cdot,x_{n})=\prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_{i}} \ \ 0< x_{i}< \infty , \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot ,n[/latex]

en de waarden van de variabele Xi zal zijn

[latex]X_{1}=Y_{1} , X_{2}=Y_{2} -Y_{1} ,\cdot \cdot \cdot , X_{i}=Y_{i} -Y_{i-1 }, \cdot \cdot \cdot, X_{n}=Y_{n} -Y_{n-1}[/latex]

dus de functie van de gezamenlijke dichtheid is

[latex]f_{Y_{1}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1},y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{ X_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot ,X_{n}}(y_{1},y_{2} -y_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,y_{i} -y_{i-1},\cdot \cdot \cdot ,y_{n}-y_{n-1} )[/latex]

[latex]=\lambda ^{n} exp\left { -\lambda \left [ y_{1} + \sum_{i=2}^{n}(y_{i}-y_{i-1}) \ rechts ] \rechts }[/latex]

[latex]=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1}, 0< y_{i}-y_{i-1} , i=2, \cdot \cdot \cdot ,n[/latex]

[latex]=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1} < y_{2} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/latex]

Nu om de marginale dichtheidsfunctie van Y te vindenn we zullen een voor een integreren als

[latex]f_{Y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{ y_{2}}\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}}dy_{1}[/latex]

[latex]=\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{2} < y_{3} < \cdot \cdot \cdot < y_{n} [/latex]

en

[latex]f_{Y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{ y_{3}}\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}}dy_{2}[/latex]

[latex]=\frac{\lambda ^{n}}{2} y_{3}^{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{3} < y_{4} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/latex]

hetzelfde

[latex]f_{Y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n}) =\frac{\lambda ^{ n}}{3!} y_{4}^{3} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0 < y_{4} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/latex]

als we dit proces voortzetten, krijgen we

[latex]f_{Y_{n}}(y_{n})=\lambda ^{n}\frac{y_{n}^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\ lambda y_{n}} \ \ 0< y_{n}[/latex]

dat is de marginale dichtheidsfunctie.

Conclusie:

De voorwaardelijke distributie voor de discrete en continue willekeurige variabele met verschillende voorbeelden, rekening houdend met enkele van de soorten van deze besproken willekeurige variabelen, waarbij de onafhankelijke willekeurige variabele een belangrijke rol speelt. Naast de gezamenlijke verdeling voor de functie van gezamenlijke continue willekeurige variabelen ook uitgelegd met geschikte voorbeelden, als u meer wilt lezen, ga dan door onderstaande links.

Voor meer bericht over wiskunde, verwijzen wij u naar onze Wiskunde pagina

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistent-professor in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Grote kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en zelfverklarend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws