Voorwaardelijke verwachting: 7 feiten die u moet weten


Inhoudsopgave

Omdat de willekeurige variabele die van elkaar afhankelijk is, de berekening van voorwaardelijke kansen vereist die we al hebben besproken, zullen we nu wat meer parameters bespreken voor dergelijke willekeurige variabelen of experimenten zoals voorwaardelijke verwachting en voorwaardelijke variantie voor verschillende soorten willekeurige variabelen.

Voorwaardelijke verwachting

   De definitie van voorwaardelijke kansmassafunctie van discrete willekeurige variabele X gegeven Y is

hier pY(y)>0 , dus de voorwaardelijke verwachting voor de discrete willekeurige variabele X gegeven Y wanneer pY (y)>0 is

in de bovenstaande verwachting waarschijnlijkheid is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid.

  Op dezelfde manier als X en Y continu zijn, dan is de voorwaardelijke kansdichtheidsfunctie van de willekeurige variabele X gegeven Y

waarbij f(x,y) de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie is en voor alle yfY(y)>0 , dus de voorwaardelijke verwachting voor de willekeurige variabele X gegeven y zal zijn

voor iedereenY(j)>0.

   Zoals we weten dat alle eigenschappen van waarschijnlijkheid zijn van toepassing op conditionele waarschijnlijkheid hetzelfde is het geval voor de voorwaardelijke verwachting, aan alle eigenschappen van wiskundige verwachting wordt voldaan door voorwaardelijke verwachting, bijvoorbeeld de voorwaardelijke verwachting van de functie van een willekeurige variabele zal zijn

en de som van willekeurige variabelen in voorwaardelijke verwachting zal zijn

Voorwaardelijke verwachting voor de som van binominale willekeurige variabelen

    Voorwaardelijk vinden verwachting van de som van binominale willekeurige variabelen X en Y met parameters n en p die onafhankelijk zijn, weten we dat X+Y ook een binomiale willekeurige variabele zal zijn met de parameters 2n en p, dus voor willekeurige variabele X gegeven X+Y=m wordt de voorwaardelijke verwachting verkregen door te berekenen De kans

omdat we dat weten

dus de voorwaardelijke verwachting van X gegeven X+Y=m is

Voorbeeld:

Vind de voorwaardelijke verwachting

als het gewricht kansdichtheidsfunctie van continue willekeurige variabelen X en Y wordt gegeven als

oplossing:

Om de voorwaardelijke verwachting te berekenen, hebben we een voorwaardelijke kansdichtheidsfunctie nodig, dus

omdat voor de continue willekeurige variabele de voorwaardelijk verwachting is

vandaar dat voor de gegeven dichtheidsfunctie de voorwaardelijke verwachting zou zijn

Verwachting door conditionering||Verwachting door voorwaardelijke verwachting

                We kunnen de berekenen wiskundige verwachting met behulp van voorwaardelijke verwachting van X gegeven Y as

voor de discrete stochastische variabelen is dit

die kan worden verkregen als

en voor de continue willekeurige kunnen we op dezelfde manier laten zien

Voorbeeld:

                Een persoon zit ondergronds vast in zijn gebouw omdat de ingang geblokkeerd is door een zware belasting. Gelukkig zijn er drie leidingen waaruit hij naar buiten kan komen de eerste leiding brengt hem veilig naar buiten na 3 uur, de tweede na 5 uur en de derde leiding na 7 uur, Als een van deze pijpleidingen even waarschijnlijk door hem wordt gekozen, wat is dan de verwachte tijd dat hij veilig naar buiten zal komen.

Oplossing:

Laat X de willekeurige variabele zijn die de tijd in uren aangeeft totdat de persoon veilig naar buiten kwam en Y de pijp aangeeft die hij aanvankelijk kiest, dus

sinds

Als de persoon de tweede pijp kiest, brengt hij daarin 5 uur door, maar hij komt naar buiten met de verwachte tijd

dus de verwachting zal zijn

Verwachting van som van willekeurig aantal willekeurige variabelen met behulp van voorwaardelijke verwachting

                Laat N het willekeurige aantal willekeurige variabelen zijn en de som van willekeurige variabelen is     dan de verwachting  

sinds

as

dus

Correlatie van bivariate distributie

Als de kansdichtheidsfunctie van de bivariate willekeurige variabele X en Y is

WAAR

dan is de correlatie tussen willekeurige variabele X en Y voor de bivariate verdeling met dichtheidsfunctie with

aangezien correlatie is gedefinieerd als

aangezien de verwachting met behulp van voorwaardelijke verwachting is

voor de normale verdeling heeft de voorwaardelijke verdeling X gegeven Y gemiddelde

nu is de verwachting van XY gegeven Y

dit geeft

Vandaar

Variantie van geometrische verdeling

    Laten we in de geometrische verdeling achtereenvolgens onafhankelijke proeven uitvoeren die resulteren in succes met kans p. Als N de tijd van het eerste succes in deze opeenvolging voorstelt, dan is de variantie van N zoals per definitie

Laat de willekeurige variabele Y=1 als de eerste proef resulteert in succes en Y=0 als de eerste proef resulteert in een mislukking, nu om de wiskundige verwachting hier te vinden passen we de voorwaardelijke verwachting toe als

sinds

als het succes is in de eerste proef, dan is N=1 en N2=1 als de eerste proef mislukt, dan zal om het eerste succes te behalen het totale aantal proeven dezelfde verdeling hebben als 1 dwz de eerste proef die leidt tot een mislukking met plus het benodigde aantal extra proeven, dat wil zeggen

Dus de verwachting zal zijn:

aangezien de verwachting van geometrische verdeling is so

Vandaar

en

E

dus de variantie van geometrische verdeling zal zijn

Verwachting van minimum van reeks uniforme willekeurige variabelen

   De reeks uniforme willekeurige variabelen U1, ZIJ IS2 … .. over het interval (0, 1) en N wordt gedefinieerd als

dan voor de verwachting van N, voor elke x ∈ [0, 1] de waarde van N

we zullen de verwachting van N stellen als

om de verwachting te vinden, gebruiken we de definitie van voorwaardelijke verwachting op continue willekeurige variabele

nu conditionering voor de eerste term van de reeks  we

hier krijgen we

het resterende aantal uniforme willekeurige variabelen is hetzelfde op het punt waar de eerste uniforme waarde y is, in het begin en zou vervolgens uniforme willekeurige variabelen toevoegen totdat hun som x − y overtrof.

dus met behulp van deze verwachtingswaarde zal de waarde van integraal zijn

als we deze vergelijking differentiëren

en

nu het integreren van dit geeft

Vandaar

de waarde van k=1 als x=0 , dus

m

en m(1) =e, het verwachte aantal uniforme willekeurige variabelen over het interval (0, 1) dat moet worden opgeteld totdat hun som 1 overschrijdt, is gelijk aan e

Waarschijnlijkheid met behulp van voorwaardelijke verwachting || waarschijnlijkheden met behulp van conditionering

   We kunnen de waarschijnlijkheid ook vinden door voorwaardelijke verwachting te gebruiken, zoals verwachting die we met voorwaardelijke verwachting hebben gevonden, om dit te krijgen, overweeg een gebeurtenis en een willekeurige variabele X als

uit de definitie van deze willekeurige variabele en verwachting duidelijk

nu door voorwaardelijke verwachting in welke zin dan ook

Voorbeeld:

bereken de kansdichtheidsfunctie van willekeurige variabele X , als U de uniforme willekeurige variabele op het interval (0,1) is, en beschouw de voorwaardelijke verdeling van X gegeven U=p als binomiaal met parameters n en p.

Oplossing:

Voor de waarde van U is de kans door conditionering

we hebben het resultaat

dus we zullen krijgen

Voorbeeld:

wat is de kans op X < Y, Als X en Y de continue stochastische variabelen zijn met kansdichtheidsfuncties fX en fY respectievelijk.

Oplossing:

Door voorwaardelijke verwachting en voorwaardelijke kans te gebruiken condition

as

Voorbeeld:

Bereken de verdeling van de som van continue onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y.

Oplossing:

Om de verdeling van X+Y te vinden, moeten we de kans op de som vinden door de conditionering als volgt te gebruiken:

Conclusie:

De voorwaardelijke verwachting voor de discrete en continue willekeurige variabele met verschillende voorbeelden, rekening houdend met enkele van de soorten van deze willekeurige variabelen die zijn besproken met behulp van de onafhankelijke willekeurige variabele en de gezamenlijke verdeling in verschillende omstandigheden. Ook de verwachting en waarschijnlijkheid hoe te vinden met behulp van voorwaardelijke verwachting wordt uitgelegd met voorbeelden, als u meer wilt lezen, ga dan door onderstaande boeken of voor meer artikelen over waarschijnlijkheid, volg onze Wiskunde pagina's.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in de wiskunde en werkzaam als universitair docent in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een enorme kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws