Continuïteitsvergelijking: 7 belangrijke concepten

Lijst met inhoud

• Continuïteitsvergelijking
• Continuïteitsvergelijking differentiaalvorm
• Continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare stroming
• Continuïteitsvergelijking voor tweedimensionale coplanaire stroming
• Voorbeeld van een continuïteitsvergelijking
• Vraag en antwoord
• MCQ
• Conclusie

Continuïteitsvergelijking

De vloeistof die door de stroombuis stroomt, wordt verondersteld de ideale vloeistof te zijn. Er vindt geen stroom plaats over de stroomlijn. Het betekent dat vloeistof aan het ene uiteinde binnenkomt en aan het andere uiteinde weggaat, er is geen tussenliggende uitlaat. Houd rekening met de stromingstoestand bij inlaatdoorsnede 1-1, zoals hieronder,

De vloeibare massa die tussen deze twee beschouwde secties stroomt, wordt gegeven door de volgende formule:

dm = (AV ? dt ) – ( ​​A + dA ) ( V+ dV ) ( ? + d?) dt Eq … 1

door bovenstaande vergelijking te vereenvoudigen,

dm/dt = – (AV d? + V ? dA + A ? dV) Vgl … 2

Omdat we weten dat een constante stroom een ​​constant massadebiet betekent, betekent dit hier dm / dt = 0. Nu Vgl. 2 draaide zoals hieronder,

(AV d? + V ? dA + A ? dV) = 0 Eq … 3

Verdeel nu Vgl. 3 met? AV, vergelijking zal zijn als,

( d?/? ) + ( dA/A ) + ( dV/V ) = 0 Eq … 4

d ( ? AV ) = 0 Eq … 5

? AV = Constante Eq ... 6

Hier, de Eq. 6 laat ons weten dat de vloeistofmassa die door de stroombuis stroomt constant is bij elke sectie.

Stel dat de vloeistof onsamendrukbaar (vloeistof) is, dan zal de dichtheid van de vloeistof op geen enkel moment veranderen. Het betekent dat de vloeistofdichtheid constant is.

AV = constant

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Eq ... 7

Eq. 7 stelt de continuïteitsvergelijking voor voor een constante onsamendrukbare stroming binnen de stroombuis. De continuïteitsvergelijking geeft een basiskennis van oppervlakte en snelheid. De verandering van het dwarsdoorsnedegebied beïnvloedt de stroomsnelheid binnen de stroombuis, pijp, hol kanaal, enz. Hier is het opwindende een product van snelheid en dwarsdoorsnedeoppervlak. Dit product is constant op elk punt in de stroombuis. De snelheid is omgekeerd evenredig met het dwarsdoorsnedegebied van de stroombuis of pijp.

Continuïteitsvergelijking differentiaalvorm

Overweeg een object zoals weergegeven in de afbeelding om de differentiële vorm van de continuïteitsvergelijking af te leiden. De afmetingen zijn dx, dy en dz. Er zijn enkele aannames voor deze formatie. De vloeistofmassa wordt niet gecreëerd of vernietigd, geen holte of bellen in vloeistof (continue stroom). We beschouwen dx in de x-richting, dy in y en dz in z-richtingen voor het gemak bij het afleiden.

Als u de snelheid van de vloeistofstroom is zoals aangegeven in de afbeelding. Aangenomen wordt dat de snelheid uniform is over het oppervlak van de dwarsdoorsnede. De vloeistofsnelheid aan het oppervlak 1-2-3-4 is u. nu; het oppervlak 5-6-7-8 is een dx-afstand ver van 1-2-3-4. Dus de snelheid bij 5-6-7-8 wordt gegeven als

u + ∂u / ∂x dx

Zoals we weten, verandert de dichtheid door samendrukbare vloeistof te gebruiken. Als de samendrukbare vloeistof door een object gaat, verandert de dichtheid.

De massastroom die het object binnenkomt, wordt gegeven als

Massastroom = ? AV

Massastroomsnelheid = ? AV dt

De vloeistof komt binnen op 1-2-3-4

Inlaatvloeistof = dichtheid (oppervlakte * snelheid) dt

Inlaatvloeistof = ρ u dy dz dt

Eq ... 1

De vloeistof vertrekt van 5-6-7-8

Uitlaatvloeistof

uitlaatvloeistof= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Eq ... 2

Het verschil tussen inlaatvloeistof en uitlaatvloeistof is nu dat de massa in de x-richting stroming blijft.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Eq ... 3

Evenzo beschouwen we de massa van vloeistof in de y- en z-richting zoals hieronder wordt gegeven,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Eq ... 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Eq ... 5

Hier zijn de v en w de vloeistofsnelheden in respectievelijk y- en z-richtingen.

Voor de massastroom van vloeistof in alle drie de richtingen worden assen gegeven door de toevoeging van Eq. 3, 4 en 5. Het wordt gegeven als onder de totale vloeistofmassa,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Eq ... 6

De snelheid van verandering van massa binnen het object wordt gegeven door,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × volume) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Eq ... 7

Volgens begrip van massa-instandhouding Eq. 6 gelijk aan Eq. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Door de bovenstaande vergelijking op te lossen en te vereenvoudigen, krijgen we,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Eq ... 8

Eq. 8 is. Continuïteitsvergelijking voor algemene stroming. Het kan stabiel of wankel zijn, samendrukbaar of onsamendrukbaar.

Continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare stroming

Als we bedenken dat de stroming stabiel en onsamendrukbaar is. We weten dat in het geval van een constante stroom ??/?t = 0. Als de stroom onsamendrukbaar is, dan is de dichtheid ? blijft constant. Dus, door deze voorwaarde te beschouwen, Vgl. 8 kan worden geschreven als,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Continuïteitsvergelijking voor tweedimensionale coplanaire stroming

In tweedimensionale stroming zijn er twee richtingen x en y. Zo, u snelheid in x-richting en v snelheid in de y-richting. Er is geen z-richting, dus de snelheid in de z-richting is nul. Door deze voorwaarden in overweging te nemen, kan de Eq. 8 draaide zoals hieronder,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Samendrukbare stroom

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Oncompressibele stroom, dichtheid is nul

Voorbeeld van een continuïteitsvergelijking

Er stroomt lucht door de buis met een snelheid van 0.25 kg / s bij een absolute druk van 2.25 bar en een temperatuur van 300 K. Als de stroomsnelheid 7.5 m / s is, wat is dan de minimale diameter van de buis?

Gegevens,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300K,

V = 7.5 m / s,

Bereken de dichtheid van lucht,

P = ? RT

? = P / KT

? = ( 2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Massastroom van lucht,

m = ? AV

EEN = m / ? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Zoals we dat gebied kennen,

EEN = π D² / 4

D = √ ((A * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) /3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Een waterstraal in opwaartse richting verlaat het mondstuk met een snelheid van 15 m / s. De diameter van het mondstuk is 20 mm. stel dat er geen energieverlies is tijdens het gebruik. Wat is de diameter van de waterstraal op 5 m boven de punt van het mondstuk?

Ans.

Stel je allereerst het systeem voor; de stroming is in verticale richting.

Gegevens,

V1 = snelheid van de straal aan de punt van het mondstuk

V2 = snelheid van de straal op 5 m boven de punt van het mondstuk

Evenzo gebieden A1 en A2.

We hebben een algemene bewegingsvergelijking zoals hieronder,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Pas nu de continuïteitsvergelijking toe,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Doorsnede = 0.023 m = 23 mm

Vragen

Wat is het verschil tussen de continuïteitsvergelijking en de Navier Stokes-vergelijking?

Vloeistoffen kunnen per definitie stromen, maar het is fundamenteel onsamendrukbaar van aard. De continuïteitsvergelijking is een gevolg van het feit dat wat in een leiding / slang gaat, er ook uit moet komen. Dus uiteindelijk moet het gebied maal de snelheid aan het einde van een buis / slang constant blijven.

Het is een noodzakelijk gevolg dat als het oppervlak van de buis / slang afneemt, de snelheid van de vloeistof ook moet toenemen om de stroomsnelheid constant te houden.

Hoewel de Navier-Stokes-vergelijking beschrijft de relaties tussen snelheid, druk, temperaturen en dichtheid van een bewegend fluïdum. Deze vergelijking is meestal gekoppeld aan verschillende differentiaalvergelijkingsvormen. Meestal is het behoorlijk complex om analytisch op te lossen.

Waar is de continuïteitsvergelijking op gebaseerd?

De continuïteitsvergelijking zegt dat het vloeistofvolume dat de buis van een willekeurige dwarsdoorsnede binnenkomt, gelijk moet zijn aan het vloeistofvolume dat de andere kant van het dwarsdoorsnedegebied verlaat, wat betekent dat de stroomsnelheid constant moet zijn en moet volg de relatie-

Stel dat de vloeistof onsamendrukbaar (vloeistof) is, dan zal de vloeistofdichtheid op geen enkel moment veranderen. Het betekent dat de vloeistofdichtheid constant is.

AV = constant

Stroomsnelheid = A₁ V₁ = A₂ V₂

Waar wordt de continuïteitsvergelijking voor gebruikt?

Continuïteitsvergelijking heeft veel toepassingen op het gebied van hydrodynamica, aerodynamica, elektromagnetisme, kwantummechanica. Het is een belangrijk concept voor de fundamentele regel van het principe van Bernoulli, het is indirect betrokken bij het principe en de toepassingen van aerodynamica.

De continuïteitsvergelijking drukt een lokale natuurbeschermingswet uit, afhankelijk van de context. Het is slechts een wiskundige verklaring die subtiel maar zeer krachtig is met betrekking tot de lokale instandhouding van specifieke hoeveelheden.

Geldt de continuïteitsvergelijking voor supersonische stroming?

Ja, het kan worden gebruikt voor supersonische stroming. Het kan worden gebruikt voor andere stromingen zoals hypersonisch, supersonisch en subsonisch. Het verschil is dat je de conservatieve vorm van de vergelijking moet gebruiken.

Wat is de driedimensionale vorm van de continuïteitsvergelijking voor een stabiele onsamendrukbare stroming?

Als we bedenken dat de stroming stabiel en onsamendrukbaar is. We weten dat in het geval van een constante stroom ??/?t = 0. Als de stroom onsamendrukbaar is, dan is de dichtheid ? blijft constant. Dus, door deze voorwaarde te beschouwen, Vgl. 8 kan worden geschreven als,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Wat is de 3D-vorm van de continuïteitsvergelijking voor een stabiele samendrukbare en onsamendrukbare stroming?

In tweedimensionale stroming zijn er twee richtingen x en y. Dus u snelheid in x-richting en v snelheid in de y-richting. Er is geen z-richting, dus de snelheid in de z-richting is nul. Door deze voorwaarden in overweging te nemen, kan de Eq. 8 draaide zoals hieronder,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Meerkeuze vragen

Welke van de volgende is een vorm van continuïteitsvergelijking?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. AV / t
4. v₁ / EEN₁ = v₂ / EEN₂

Wat geeft de continuïteitsvergelijking het concept over de beweging van een ideale vloeistof?

1. Naarmate het dwarsdoorsnedegebied toeneemt, neemt de snelheid toe.
2. Naarmate het dwarsdoorsnedegebied kleiner wordt, neemt de snelheid toe.
3. Naarmate het dwarsdoorsnedegebied afneemt, neemt de snelheid af.
4. Naarmate het dwarsdoorsnedegebied toeneemt, neemt het volume af.
5. Naarmate het volume toeneemt, neemt de snelheid af.

De continuïteitsvergelijking is gebaseerd op het principe van

a) behoud van massa

b) behoud van momentum

c) behoud van energie

d) behoud van geweld

Twee vergelijkbare buisdiameters van d komen samen om een ​​buis met diameter D te verkrijgen. Wat kan de waarneming zijn tussen d en D ?. De stroomsnelheid in de nieuwe pijp zal het dubbele zijn van die in elk van de twee pijpen?

a) D = d

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

De buizen met verschillende diameters d1 en d2 komen samen om een ​​buis met diameter 2d te verkrijgen. Als de vloeistofsnelheid in beide leidingen v1 en v2 is, wat is dan de stroomsnelheid in de nieuwe leiding?

een) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Conclusie

Dit artikel bevat afleidingen voor continuïteitsvergelijkingen met hun verschillende vorm en voorwaarden. Er worden basisvoorbeelden en vragen gegeven voor een beter begrip van het concept van de continuïteitsvergelijking.

Voor meer artikelen met gerelateerde onderwerpen, klik hier

Lees meer wetenschappelijke Principes.

Dr. Deepakkumar Jani

Ik ben Deepak Kumar Jani, bezig met een doctoraat in mechanisch-hernieuwbare energie. Ik heb vijf jaar onderwijservaring en twee jaar onderzoekservaring. Mijn interessegebieden zijn thermische techniek, autotechniek, mechanische metingen, technische tekeningen, vloeistofmechanica enz. Ik heb een patent aangevraagd op "Hybridisatie van groene energie voor energieproductie". Ik heb 17 onderzoeksartikelen en twee boeken gepubliceerd.
Ik ben blij deel uit te maken van Lambdageeks en wil graag een deel van mijn expertise op een simplistische manier aan de lezers presenteren.
Naast academici en onderzoek houd ik ervan om door de natuur te dwalen, de natuur vast te leggen en mensen bewust te maken van de natuur.
Zie ook mijn You-tube Kanaal over “Invitation from Nature”