Continue willekeurige variabele, typen en de verdeling ervan
De willekeurige variabele die de eindige of aftelbare oneindige waarden aanneemt, staat bekend als discrete willekeurige variabele en het paar met waarschijnlijkheid vormt de verdeling voor de discrete willekeurige variabele. Nu voor de willekeurige variabele die de waarden als ontelbaar beschouwt, wat zouden de waarschijnlijkheid en resterende kenmerken zijn die we gaan bespreken. Kort gezegd is de continue willekeurige variabele de willekeurige variabele waarvan de reeks waarden ontelbaar is. Het echte voorbeeld voor de continue willekeurige variabele is de levensduur van elektrische of elektronische componenten en de aankomst van een specifiek openbaar voertuig op de haltes enz.
Continue willekeurige variabele en kansdichtheidsfunctie
Willekeurige variabele zal een continue willekeurige variabele zijn als voor een niet-negatieve functie met reële waarde f op x ∈ ℝ en B ⊆ ℝ en
deze functie f staat bekend als Kansdichtheidsfunctie van de gegeven willekeurige variabele X.
De kansdichtheidsfunctie voldoet duidelijk aan de volgende kansaxioma's:
Omdat we uit de axioma's van de kans weten dat de totale kans één is
Voor de continue willekeurige variabele wordt de kans berekend in termen van een dergelijke functie f, stel dat we de kans willen vinden voor het continue interval, zeg [a, b], dan zou het zijn
Zoals we weten vertegenwoordigt de integratie het gebied onder de curve, dus deze kans toont een dergelijk gebied voor de waarschijnlijkheid zoals
door a = b gelijk te stellen, zal de waarde zijn
en op vergelijkbare wijze zal de waarschijnlijkheid voor de waarde kleiner dan of gelijk aan een specifieke waarde zijn door dit te volgen
Voorbeeld: De continue werktijd van de elektronische component wordt uitgedrukt in de vorm van een continue willekeurige variabele en de kansdichtheidsfunctie wordt gegeven als
vind de kans dat het onderdeel effectief zal werken tussen 50 en 150 uur en de kans op minder dan 100 uur.
aangezien de willekeurige variabele de continue willekeurige variabele vertegenwoordigt, geeft de kansdichtheidsfunctie die in de vraag wordt gegeven de totale kans als
Dus we krijgen de waarde van λ
λ = 1/100
voor de waarschijnlijkheid van 50 uur tot 150 uur hebben we
op dezelfde manier zal de kans kleiner zijn dan 100
Voorbeeld: Het computergebaseerde apparaat heeft een aantal chipsets waarvan de levensduur wordt bepaald door de kansdichtheidsfunctie
zoek dan na 150 uur de kans dat we 2 chipsets moeten vervangen van in totaal 5 chips.
laten we eens kijken Ei wees de gebeurtenis om de i-th chipset te vervangen. dus de kans op een dergelijke gebeurtenis zal zijn
aangezien alle chips onafhankelijk werken, is de kans dat er 2 worden vervangen
Cumulatieve verdelingsfunctie
De cumulatieve verdelingsfunctie voor de continue willekeurige variabele wordt gedefinieerd met behulp van de kansverdelingsfunctie als
in een andere vorm
we kunnen de kansdichtheidsfunctie verkrijgen met behulp van de verdelingsfunctie als
Wiskundige verwachting en variantie van continue willekeurige variabele
Verwachting
De wiskundige verwachting of gemiddelde van de continue willekeurige variabele met kansdichtheidsfunctie kan worden gedefinieerd als
- Voor elke reële gewaardeerde functie van continue willekeurige variabele X zal de verwachting zijn
waarbij g de reële waarde is functie.
- Voor elke niet-negatieve continue willekeurige variabele Y de verwachting zal zijn
- Voor alle constanten a en b
E [aX + b] = aE [X] + b
variance
De variantie van de continue willekeurige variabele X met de parametergemiddelde of verwachting kan op dezelfde manier worden gedefinieerd als een discrete willekeurige variabele
Het bewijs van al het bovenstaande eigenschappen van verwachting en variantie we kunnen dit gemakkelijk verkrijgen door gewoon de stappen te volgen die we hebben in discrete willekeurige variabele en de definities van verwachting, variantie en waarschijnlijkheid in termen van continue willekeurige variabele
Voorbeeld: Als de kansdichtheidsfunctie van continue willekeurige variabele X wordt gegeven door
zoek dan de verwachting en variantie van de continue willekeurige variabele X.
Oplossing: Voor de gegeven kansdichtheidsfunctie
de verwachte waarde door de definitie zal zijn
Om nu de variantie te vinden hebben we E[X nodig2]
Sinds
so
Uniforme willekeurige variabele
Als de continue willekeurige variabele X de kansdichtheidsfunctie heeft die wordt gegeven door
over het interval (0,1) dan staat deze verdeling bekend als uniforme verdeling en de willekeurige variabele staat bekend als uniforme willekeurige variabele.
- Voor alle constanten a en b zodanig dat 0
Verwachting en variantie van een uniforme willekeurige variabele
Voor de uniform continue willekeurige variabele X op het algemene interval (α , β) zal de verwachting volgens de definitie zijn
en variantie die we krijgen als we eerst E[X vinden2]
so
Voorbeeld: Op een bepaald station komen de treinen voor de opgegeven bestemming aan met een frequentie van 15 minuten vanaf 7 uur. en wat de waarschijnlijkheid zal zijn gedurende meer dan 7 minuten.
Oplossing: Aangezien de tijd van 7 tot 7.30 gelijkmatig wordt verdeeld zodat de passagier op het treinstation moet zijn, geeft u dit aan met een uniforme willekeurige variabele X. dus het interval is (0, 30)
Omdat om de trein binnen 5 minuten te krijgen, moet de passagier op het station zijn tussen 7.10 en 7.15 of 7.25 tot 7.30 uur, dus de kans is groot.
= 1 / 3
Op dezelfde manier om de trein te krijgen na meer dan 10 minuten wachten, moet de passagier op het station zijn van 7 tot 7.05 of 7.15 tot 7.20 uur, dus de kans is groot.
Voorbeeld: Vind de kans voor de uniforme willekeurige variabele X verdeeld over het interval (0,10)
voor X <3, X> 6 en 3
Oplossing: aangezien de willekeurige variabele wordt gegeven als uniform verdeeld, dus de kansen zullen zijn
Voorbeeld: (Bertrands-paradox) Voor elk willekeurig akkoord van een cirkel. wat zou de kans zijn dat de lengte van dat willekeurige akkoord groter zal zijn dan de zijde van de gelijkzijdige driehoek die in dezelfde cirkel is ingeschreven.
Dit probleem heeft geen klaring over het willekeurige akkoord, dus dit probleem werd opnieuw geformuleerd in termen van diameter of hoek en vervolgens werd het antwoord als 1/3 verkregen.
Conclusie:
In dit artikel werd het concept van continue willekeurige variabele en zijn verdeling met kansdichtheidsfunctie besproken en wordt de statistische parameter gemiddelde, variantie voor de continue willekeurige variabele gegeven. De uniforme willekeurige variabele en de verdeling ervan met voorbeeld wordt gegeven, wat het type continue willekeurige variabele is in het volgende artikel, we zullen enkele belangrijke soorten continue willekeurige variabele met geschikte voorbeelden en eigenschappen behandelen. , als je verder wilt lezen, ga dan door:
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Als je meer onderwerpen over wiskunde wilt lezen, ga dan door Wiskunde pagina.
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.