COVARIANTIE, VARIANTIE VAN SOMMEN EN CORRELATIES VAN WILLEKEURIGE VARIABELEN
De statistische parameters van de willekeurige variabelen van verschillende aard met behulp van de definitie van de verwachting van een willekeurige variabele zijn gemakkelijk te verkrijgen en te begrijpen, in het volgende zullen we enkele parameters vinden met behulp van de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele.
Momenten van het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet
Tot nu toe weten we dat de verwachting van verschillende machten van willekeurige variabelen de momenten van willekeurige variabelen zijn en hoe we de verwachting van willekeurige variabelen van de gebeurtenissen kunnen vinden als het aantal gebeurtenissen al heeft plaatsgevonden, nu zijn we geïnteresseerd in de verwachting als een paar aantal gebeurtenissen al heeft plaatsgevonden, nu als X staat voor het aantal gebeurtenissen dat is opgetreden, dan voor de gebeurtenissen A1, A2, ….,EENn definieer de indicatorvariabele Ii as
de verwachting van X in discrete zin zal zijn
omdat de willekeurige variabele X is
nu om de verwachting te vinden als het aantal paar gebeurtenissen al heeft plaatsgevonden, moeten we gebruiken combinatie van as
dit geeft verwachting als
hieruit krijgen we de verwachting van x kwadraat en de waarde van variantie ook door
Door deze discussie te gebruiken, richten we ons op verschillende soorten willekeurige variabelen om dergelijke momenten te vinden.
Momenten van binominale willekeurige variabelen
Als p de kans op succes is van n onafhankelijke proeven, dan geven we A . aani voor de proef i als succes dus
en vandaar de variantie van binominale willekeurige variabele zal zijn
omdat
als we generaliseren voor k gebeurtenissen
deze verwachting kunnen we achtereenvolgens verkrijgen voor de waarde van k groter dan 3 laten we zoeken voor 3
met behulp van deze iteratie kunnen we krijgen
Momenten van hypergeometrische willekeurige variabelen
De momenten van deze willekeurige variabele zullen we begrijpen met behulp van een voorbeeld. Stel dat n pennen willekeurig worden geselecteerd uit een doos met N pennen waarvan m blauw is, laat Ai geef de gebeurtenissen aan dat i-de pen blauw is. Nu is X het aantal geselecteerde blauwe pen gelijk aan het aantal gebeurtenissen A1,A2,…..,EENn die optreden omdat de geselecteerde pen even waarschijnlijk is als een van de N pennen waarvan m blauw is
en dus
dit geeft
dus de variantie van de hypergeometrische willekeurige variabele zal zijn
op dezelfde manier voor de hogere momenten
Vandaar
Momenten van de negatieve hypergeometrische willekeurige variabelen
neem het voorbeeld van een pakket met n+m vaccins waarvan n speciaal en m gewoon zijn, deze vaccins worden één voor één verwijderd, waarbij elke nieuwe verwijdering even waarschijnlijk een van de vaccins is die in de verpakking achterblijven. Laat nu willekeurige variabele Y het aantal vaccins aangeven dat moet worden teruggetrokken totdat een totaal van r speciale vaccins is verwijderd, wat een negatieve hypergeometrische verdeling is, dit is op de een of andere manier vergelijkbaar met negatief binomiaal tot binomiaal als met hypergeometrische verdeling. om de te vinden waarschijnlijkheid massafunctie als de kde trekking het speciale vaccin geeft nadat k-1 trekking r-1 speciaal en kr gewone vaccin geeft
nu de willekeurige variabele Y
Y=r+X
voor de evenementen Ai
as
dus om de variantie van Y te vinden, moeten we de variantie van X kennen so
Vandaar
COVARIANTIE
De relatie tussen twee willekeurige variabelen kan worden weergegeven door de statistische parameter covariantie, vóór de definitie van covariantie van twee willekeurige variabelen X en Y herinneren eraan dat de verwachting van twee functies g en h van willekeurige variabelen X en Y respectievelijk geeft
met behulp van deze verwachtingsrelatie kunnen we covariantie definiëren als
“ De covariantie tussen willekeurige variabele X en willekeurige variabele Y aangeduid met cov(X,Y) wordt gedefinieerd als
met behulp van de definitie van verwachting en uitbreiden krijgen we
het is duidelijk dat als de willekeurige variabelen X en Y onafhankelijk zijn dan and
maar het omgekeerde is niet waar, bijvoorbeeld als
en het definiëren van de willekeurige variabele Y als
so
hier zijn X en Y duidelijk niet onafhankelijk, maar de covariantie is nul.
Eigenschappen van covariantie
Covariantie tussen willekeurige variabelen X en Y heeft enkele eigenschappen als volgt:
met behulp van de definitie van de covariantie zijn de eerste drie eigenschappen onmiddellijk en volgt de vierde eigenschap door te overwegen
nu per definitie
Variantie van de sommen
Het belangrijke resultaat van deze eigenschappen is:
as
Als Xi 's zijn dan paarsgewijs onafhankelijk
Voorbeeld: variantie van een binominale willekeurige variabele
Als X de willekeurige variabele is
waar Xi zijn de onafhankelijke willekeurige Bernoulli-variabelen zodanig dat
zoek vervolgens de variantie van een binominale willekeurige variabele X met parameters n en p.
Oplossing:
sinds
dus voor een enkele variabele hebben we
dus de variantie is
Voorbeeld
Voor de onafhankelijke toevalsvariabelen Xi met de respectievelijke gemiddelden en variantie en een nieuwe willekeurige variabele met afwijking als
bereken dan
oplossing:
Door de bovenstaande eigenschap en definitie te gebruiken, hebben we:
nu voor de willekeurige variabele S
neem de verwachting
Voorbeeld:
Vind de covariantie van indicatorfuncties voor de gebeurtenissen A en B.
Oplossing:
voor de gebeurtenissen A en B zijn de indicatorfuncties:
dus de verwachting hiervan is:
dus de covariantie is
Voorbeeld:
Laat zien
waar Xi zijn onafhankelijke willekeurige variabelen met variantie.
Oplossing:
De covariantie met behulp van de eigenschappen en definitie zal zijn
Voorbeeld:
Bereken het gemiddelde en de variantie van willekeurige variabele S, die de som is van n steekproefwaarden als een set van N mensen die elk een mening hebben over een bepaald onderwerp dat wordt gemeten door een reëel getal v die de 'gevoelskracht' van de persoon over het onderwerp vertegenwoordigt. Laat vertegenwoordigen de kracht van het gevoel van persoon
wat onbekend is, om informatie te verzamelen wordt willekeurig een steekproef van n uit N genomen, deze n mensen worden ondervraagd en hun gevoel wordt verkregen om vi te berekenen
Oplossing
laten we de indicatorfunctie definiëren als:
dus kunnen we S uitdrukken als
en zijn verwachting als
dit geeft de variantie als
sinds
we
we kennen de identiteit
so
dus het gemiddelde en de variantie voor de genoemde willekeurige variabele zullen zijn
Conclusie:
De correlatie tussen twee willekeurige variabelen wordt gedefinieerd als covariantie en met behulp van de covariantie wordt de som van de variantie verkregen voor verschillende willekeurige variabelen, de covariantie en verschillende momenten met behulp van definitie van verwachting wordt verkregen, als u meer wilt lezen, ga door
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH.
Voor meer berichten over wiskunde, volg onze Wiskunde pagina
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.
Hallo medelezer,
We zijn een klein team bij Techiescience, dat hard werkt tussen de grote spelers. Als je het leuk vindt wat je ziet, deel dan onze inhoud op sociale media. Uw steun maakt een groot verschil. Bedankt!