Afbuiging van de balk | Volledig overzicht en belangrijke relaties

Inhoud: Afbuiging van de balk

• Definitie van doorbuigingscurve
• Definitie van afbuighoek
• Doorbuiging definitie
• Randvoorwaarden voor straalafbuiging
• Verband tussen laadkrachten, dwarskracht, buigmoment, helling en doorbuiging
• Vergelijkingen en relaties voor bundelbuiging
• Straalafbuigingstabel en formules voor standaard belastinggevallen
• Doorbuiging en helling van de balk met voorbeelden Geval I: Overhangende balk
• Geval II: Bepaal de maximale doorbuiging van een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting in het midden
• Geval III: Bepaal de maximale doorbuiging van een eenvoudig ondersteunde ligger met een geconcentreerde puntbelasting op een afstand 'a' van steun A
• Dubbele integratiemethode
• Procedure voor dubbele integratiemethode
• Dubbele integratiemethode voor het vinden van straalafbuiging met behulp van Voorbeeld van a vrijdragende balk met gelijkmatig verdeelde belasting
• Dubbele integratiemethode voor driehoekig laden

In engineering, afbuiging is de mate waarin een structureel element wordt verplaatst onder een belasting (vanwege zijn vervorming). Het kan verwijzen naar een hoek of een afstand. De doorbuigingsafstand van een staaf onder een belasting kan worden berekend door de functie te integreren die wiskundig de helling beschrijft van de afgebogen vorm van de staaf onder die belasting. Er bestaan ​​standaardformules voor de afbuiging van gemeenschappelijke balkconfiguraties en belastingsgevallen op discrete locaties. Anders worden methoden zoals virtueel werken, directe integratie, Castigliano's methode, Macaulay's methode of de directe stijfheidsmethode gebruikt.

Afbuiging Curve

Wanneer balken worden belast door laterale of longitudinale belastingen, wordt de aanvankelijke rechte longitudinale as vervormd tot een curve die bekend staat als de elastische curve of deflectiecurve van de balk. De afbuigcurve is de vervormde as van de geselecteerde balk.

Afbuighoek

De helling kan worden gedefinieerd als de hoek tussen de lengteas van de balk en de raaklijn die is geconstrueerd aan de vervormingscurve van de balk op elke gewenste locatie. Het is de rotatiehoek van de neutrale as van de straal. Het wordt gemeten in radialen.

afbuiging

Afbuiging is de translatie of verplaatsing van een punt op de as van de balk, gemeten in de y-richting vanaf de aanvankelijke rechte lengteas tot het punt op de afbuigkromme van de balk. Het wordt gemeten in mm. Doorbuiging vertegenwoordigt de afwijking van de rechte lengteas als gevolg van dwarsbelasting. Het knikken van de balk vertegenwoordigt daarentegen de afwijking van de aanvankelijke rechte lengteas als gevolg van axiale drukbelasting. Het wordt meestal weergegeven door 'y '

Als de straal buigt als de boog van een cirkel, wordt dit cirkelvormig buigen genoemd; anders wordt het niet-cirkelvormig buigen genoemd. Stel dat een prismatische balk wordt onderworpen aan een variabel buigmoment. In dat geval resulteert het in een niet-cirkelvormige buiging en als het wordt onderworpen aan een constant buigmoment resulteert dit in een cirkelvormige buiging van de balk.

Randvoorwaarden voor straalafbuiging

1. y is nul bij een pin- of rolsteun.
2. y is nul bij een ingebouwde of vrijdragende steun.
3. Stel dat het buigmoment en de buigstijfheid discontinue functies zijn van de x. In dat geval kan geen enkele differentiaalvergelijking worden geschreven voor de hele bundel; de vergelijkingen van de curve voor twee aangrenzende segmenten moeten voldoen aan de gegeven twee voorwaarden op de kruising tussen segmenten:

• 1. De y voor het linkerhandgedeelte moet gelijk zijn aan de y voor het rechterhandgedeelte.
• 2. De helling voor het linker deel moet gelijk zijn aan de helling voor het rechter deel.

Verband tussen laadkrachten, dwarskracht, buigmoment, helling en doorbuiging

Overweeg een horizontale balk AB in onbelaste toestand. Als AB doorbuigt onder de belasting, is de nieuwe positie A'B '. De helling op elk punt C zal zijn

i=\\frac{dy}{dx}

Gewoonlijk is de doorbuiging minimaal, en voor een kleine kromtestraal,

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Maar\\;i=\\frac{dy}{dx}

Aldus

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

Volgens de simpele buigmomententheorie

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Aldus

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Waar,

E = Young's Modulus van het materiaal

I = oppervlakte traagheidsmoment

M = Maximaal moment

R = kromtestraal van de balk

Dit is de fundamentele differentiaalvergelijking voor de afbuiging van de balk.

Vergelijkingen en relaties voor bundelbuiging

Doorbuiging = y

Helling = \\frac{dy}{dx}

Buigen\\;moment =EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Afschuiving\\; Kracht = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Laden \\;distributie =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Liggerafbuigingstabel en formules voor standaard belastinggevallen:

• Maximale helling en afbuiging in een vrijdragende ligger vindt plaats aan het vrije uiteinde van de ligger, terwijl er geen afschuining of doorbuiging wordt waargenomen op het geklemde einde van een uitkragende ligger.
•  Voor een eenvoudig ondersteunde balk met symmetrische belastingscondities, is de maximale doorbuiging te vinden bij de midspan. De maximale helling is te zien aan de steunen van de balk. Maximale doorbuiging treedt op waar de helling nul is.

Doorbuiging en helling met voorbeelden

Geval I: Overhangende balk

Beschouw een overhangende stalen balk met een geconcentreerde belasting P = 50 kN aan uiteinde C.

Voor de overhangende balk, (a) bepaal de helling en maximale doorbuiging, (b) evalueer de helling op 7 m van A en de maximale doorbuiging op basis van de gegeven gegevens Ik = 722 cm² E = 210 GPa.

Oplossing: het vrije lichaamsdiagram voor de gegeven straal is

De waarde van de reactie bij A en B kan worden berekend door evenwichtscondities toe te passen

\\som F_y=0\\;\\som M_A=0

Voor verticaal evenwicht, F_y = 0

R_A + R_B = P

Een moment nemen over A, Clockwise moment positief en Counter Clockwise moment wordt negatief genomen.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Aldus

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \\frac{-Pa}{L}

Beschouw elke sectie AD op een afstand x van steun A

Het moment bij punt D is

M= \\frac{-Pa}{L x}

Met behulp van de differentiaalvergelijking van de curve,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Twee keer integreren, krijgen we

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2………..[2]

We vinden de constanten van integratie door gebruik te maken van de randvoorwaarden die ons ter beschikking staan

Bij x = 0, y = 0; uit vergelijking [2] krijgen we,

C_2 = 0

Bij x = L, y = 0; uit vergelijking [2] krijgen we,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \\frac{PaL}{6}

Dus de hellingsvergelijking die zo wordt verkregen door de waarden van C te vervangen₁ en C₂ in 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}……….. [3]

Aldus wordt de afbuigingvergelijking zo verkregen door de waarden van C te vervangen₁ en C₂ in 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x………..[4]

Maximale doorbuiging vindt plaats wanneer de helling nul is. De locatie van het punt van maximale afbuiging kan dus worden gevonden uit [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 L.

De waarde van x in vergelijking [4] plaatsen

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Evalueer de helling op 7 m van A op basis van de gegeven gegevens:

 ik = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4, E = 210\\; GPa = 210*10^9\\; vader

Met behulp van vergelijking [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radialen

maximale doorbuiging in de balk kan worden gegeven door

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{max}=1.89 \\;m

Geval II: Bepaal de maximale doorbuiging van een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting in het midden.

Beschouw een eenvoudig ondersteunde stalen balk met een geconcentreerde belasting F = 50 kN op punt C.Voor de eenvoudig ondersteunde balk, (a) evalueer de helling bij A en de maximale doorbuiging op basis van de gegeven gegevens: Ik = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m

De onderstaande afbeelding toont de FBD voor een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting erop.

Volgens standaard relaties en formule

Helling aan het einde van de balk kan worden gegeven door

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\\frac{dy}{dx}=0.463

Voor een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting in het midden, kan de maximale doorbuiging worden bepaald door

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{max}=2.31 \\;m

Geval III: Voor eenvoudig ondersteunde ligger met een geconcentreerde puntbelasting op afstand van steun A

Beschouw een eenvoudig ondersteunde stalen balk met een geconcentreerde belasting F = 50 kN op punt C.Voor de eenvoudig ondersteunde balk, (a) evalueer de helling bij A en B en de maximale doorbuiging op basis van de gegeven gegevens: Ik = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 meter, b = 13 meter

De onderstaande afbeelding toont de FBD voor een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting erop.

Volgens standaard relaties en formule

Helling aan de steun A van de balk kan worden gegeven door

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;radialen 

De helling aan de steun B van de balk kan worden gegeven door

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;radialen

Voor een eenvoudig ondersteunde ligger met puntbelasting in het midden, kan de maximale doorbuiging worden bepaald door

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Dubbele integratiemethode

Als buigstijfheid EI constant is en het moment is de functie van afstand x, integratie van EI (d² y) / (dx² ) = M zal Helling opleveren

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

waar C₁ en C₂ zijn constanten. Ze worden bepaald aan de hand van de randvoorwaarden of andere voorwaarden op de ligger. De bovenstaande vergelijking geeft de doorbuiging y als functie van x; het wordt de elastische of vervormingscurve-vergelijking genoemd.

De bovenstaande analysemethode van afbuiging en helling van de straal staat bekend als de dubbele integratiemethode voor het berekenen van straalafbuigingen. Als het buigmoment en de buigstijfheid continue functies zijn van de x, kan een enkele differentiaalvergelijking worden genoteerd voor de gehele balk. Voor een statisch bepaalde straal zijn er twee ondersteuningsreacties; elk legt een bepaalde reeks beperkingen op aan de helling van de elastische curve. Deze beperkingen worden randvoorwaarden genoemd en worden gebruikt om de twee integratieconstanten te bepalen.

Randvoorwaarden dubbele integratiemethode

1. y is nul bij een pin- of rolsteun.
2. y is nul bij een ingebouwde of vrijdragende steun.
3. Stel dat het buigmoment en de buigstijfheid discontinue functies zijn van de x. In dat geval kan geen enkele differentiaalvergelijking worden geschreven voor de hele bundel; de vergelijkingen van de curve voor twee aangrenzende segmenten moeten voldoen aan de gegeven twee voorwaarden op de kruising tussen segmenten:

• 1. De y voor het linkerhandgedeelte moet gelijk zijn aan de y voor het rechterhandgedeelte.
• 2. De helling voor het linker deel moet gelijk zijn aan de helling voor het rechter deel.

Procedure voor dubbele integratiemethode

• Teken de elastische curve voor de balk en houd rekening met alle noodzakelijke randvoorwaarden, zoals y is nul bij een pin- of rolsteun en y is nul bij een ingebouwde of vrijdragende steun.
• Bepaal het buigmoment M op een willekeurige afstand x van de drager met behulp van de sectiemethode. Gebruik de juiste buigmomentregels bij het vinden van Moment M. voor een onderbroken moment, de vergelijkingen van de curve voor twee aangrenzende segmenten moeten voldoen aan de gegeven twee voorwaarden op de kruising tussen segmenten: 1. De y voor het linker gedeelte moet gelijk zijn aan de y voor het rechtergedeelte. 2. De helling voor het linker deel moet gelijk zijn aan de helling voor het rechter deel.
• Integreer de vergelijking twee keer om de helling en afbuiging te krijgen, en vergeet niet om de constante integratie voor elke sectie te vinden met behulp van randvoorwaarden.

Voorbeelden van dubbele integratiemethode voor het vinden van straalafbuiging

Beschouw de cantilever-balk met lengte L die wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding met gelijkmatig verdeelde belasting. Bij een cantilever-ligger is het ene uiteinde vast terwijl het andere vrij kan bewegen. We zullen de vergelijking voor helling en buigmoment voor deze balk afleiden met behulp van de dubbele integratiemethode.

Het buigmoment dat werkt op de afstand x vanaf het linkeruiteinde kan worden verkregen als:

M=-wx* \\frac{x}{2}

Met behulp van de differentiaalvergelijking van de curve,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integreren zodra we,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Door vergelijking [1] te integreren, krijgen we,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

De constanten van integraties kunnen worden verkregen door de randvoorwaarden te gebruiken,

Bij x = L, dy / dx = 0; omdat steun bij A zich verzet tegen moties. Dus uit vergelijking [1] krijgen we,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Bij x = L, y = 0, geen afbuiging aan de steun of het vaste uiteinde A Dus, uit vergelijking [2], krijgen we,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 Als we de waarde van de constante in [1] en [2] vervangen, krijgen we nieuwe sets vergelijkingen als

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

bereken de helling bij x = 12 m en de maximale doorbuiging op basis van de gegeven gegevens: Ik = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Uit de bovenstaande vergelijkingen: bij x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radialen

Uit vergelijking [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Dubbele integratiemethode voor driehoekig laden

Beschouw de eenvoudig ondersteunde balk met lengte L die wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding met driehoekige lading. We zullen de vergelijking voor helling en buigmoment voor deze balk afleiden met behulp van de dubbele integratiemethode.

Omdat de belasting symmetrisch is, draagt ​​elke ondersteuningsreactie de helft van de totale belasting. De reactie bij A en B blijkt wL / 4 te zijn.

Moment op elk punt op een afstand x van R_A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

Twee keer integreren geeft ons de vergelijkingen,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Bij x = 0, y = 0; uit vergelijking [2] krijgen we,

C_2 = 0

Vanwege symmetrie van belasting is de helling midspan nul. Dus dy / dx = 0 bij x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Als we de waarde van de constanten in [1] en [2] vervangen, krijgen we,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

De maximale doorbuiging wordt waargenomen in het midden van de balk. dat wil zeggen, op L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

bereken de helling op x = 12 m en de maximale waarde van y uit de gegeven gegevens: Ik = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Uit de bovenstaande vergelijkingen: bij x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radialen

Uit vergelijking [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

Om te weten over de sterkte van materiaal (klik hier)en Moment Area-methode Klik hier.

Hakimuddin Bawangaonwala

Ik ben Hakimuddin Bawangaonwala, een mechanisch ontwerpingenieur met expertise in mechanisch ontwerp en ontwikkeling. Ik heb M. Tech in Design Engineering afgerond en heb 2.5 jaar onderzoekservaring. Tot nu toe twee onderzoeksartikelen gepubliceerd over hard draaien en eindige-elementenanalyse van warmtebehandelingsarmaturen. Mijn interessegebied is machineontwerp, sterkte van materiaal, warmteoverdracht, thermische engineering enz. Vaardig in CATIA- en ANSYS-software voor CAD en CAE. Behalve onderzoek.