Discrete willekeurige variabele en wiskundige verwachting: 5 feiten


Discrete willekeurige variabele en wiskundige verwachting

Meestal zijn we niet geïnteresseerd in alle mogelijke uitkomsten van een willekeurig of niet-willekeurig experiment, maar in plaats daarvan zijn we geïnteresseerd in een waarschijnlijkheid of numerieke waarde voor de gunstige gebeurtenissen, stel bijvoorbeeld dat we twee dobbelstenen gooien voor de som van 8, dan zijn we dat niet geïnteresseerd in de uitkomst als eerste dobbelsteen met 2 tweede dobbelstenen als 6 of (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), enz. evenzo zijn we voor het willekeurige experiment van een reservoir in het dagelijks leven niet geïnteresseerd in de dagelijkse toename of afname van het waterpeil, maar alleen in het waterpeil in het regenseizoen na voltooiing.

Dus dergelijke numerieke grootheden waarin we geïnteresseerd zijn, worden beschouwd als willekeurige variabele van het respectieve willekeurige experiment. Hiervoor kennen we de mogelijke reële waarden numeriek toe aan de uitkomsten van het random experiment. Ter illustratie van het toewijzen van numerieke waarde aan de uitkomst, overweeg dan het experiment van het gooien van een munt, we kennen numerieke waarde 0 en 1 toe voor respectievelijk hoofd en spoor in de steekproefruimte van het willekeurige experiment. 

Discrete willekeurige variabele

Discrete willekeurige variabele kan worden gedefinieerd als de willekeurige variabele die eindig of aftelbaar oneindig in aantal is en degenen die niet eindig of aftelbaar oneindig zijn, zijn niet-discrete willekeurige variabelen. Voor elk element van de monsterruimte kennen we een reëel getal toe, dit kan worden geïnterpreteerd in termen van een functie met reële waarde, aangeduid met X, dwz X: S → R. We noemen deze functie een willekeurige variabele of stochastische functie, die een fysiek, geometrisch of ander belang heeft.

Voorbeeld: Overweeg een experiment van het gooien van twee dobbelstenen en stel dan een willekeurige variabele of stochastische functie vertegenwoordigen de som van de punten die op de dobbelstenen verschijnen en vervolgens de mogelijke waarden voor de monsterruimte

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

zal X = 2 zijn, voor (1,1)

X = 3 voor (1,2), (2,1) enz. Uit het volgende kunnen we gemakkelijk begrijpen

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

In de bovenstaande tabel geven de diagonale elementen van rechts naar links de som weer die wordt uitgedrukt door de willekeurige variabele of stochastische functie.

De kans voor de respectievelijke willekeurige variabele kan als volgt worden uitgedrukt

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: het gooien van een monsterruimte met twee dobbelstenen

Discrete kansverdeling

Discrete kansverdeling is de waarschijnlijkheid van de willekeurige variabelen die discreet van aard zijn, in het bijzonder als x1, x2, x3, x4, ………., Xk zijn de waarden van Discrete willekeurige variabele X dan P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xk) zijn de bijbehorende kansen.

Kansfunctie / kansverdeling kunnen we aanduiden als 

P (X = x) = f (x)

en volgens de definitie van de waarschijnlijkheid voldoet deze functie aan de volgende voorwaarden.

  1. f (x) ≥0
  2. Σ f (x) = 1, waarbij deze sommatie de totale sommatie is voor x.

Voorbeeld: Als een munt twee keer wordt gegooid, en als we het aantal sporen uitdrukken als willekeurige variabele X, dan zou het zijn 

ResultatenTTTHHTHH
X2110

Als we de eerlijke munt nemen, dan is het bovenstaande het resultaat van twee keer gooien en is de kans op zo'n willekeurige variabele

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH of HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

en P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Deze kansverdeling kunnen we als volgt in een tabel opstellen

X012
P (X = x) = f (x)¼½1/4

Cumulatieve distributiefunctie (cdf) / distributiefunctie

We zullen definiëren Distributie functie or Cumulatieve distributiefunctie (cdf) voor de discrete willekeurige variabele X aangegeven met F (x), voor-∞≤x≤∞ als

F (x) = P (X≤x)

Mits het volgt

  1. Voor elke x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y), dwz de cumulatieve verdelingsfunctie F (x) neemt niet af.
  2. F (x) = 0 en F (x) = 1
  3. F (x + h) = F (x), ∀ x dwz. cumulatieve verdelingsfunctie F (x) is gelijk continu.

Sinds voor de Discrete willekeurige variabele kans voor X = x is P (X = x), voor x1<X<x2 zal P (x1<X<x2) en voor X≤x is P (X≤x).

We kunnen de distributiefunctie voor discrete distributiefunctie als volgt schrijven

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: cumulatieve verdelingsfunctie

we kunnen de kansfunctie verkrijgen uit de verdelingsfunctie als

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Voorbeeld: De waarschijnlijkheid voor de discrete willekeurige variabele wordt als volgt gegeven

X01234567
P (x)01/101/51/53/101/1001/5017/100
Cumulatieve distributiefunctie

F2, F5, F (7) zoeken?

Oplossing:

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: voorbeeld

Wiskundige verwachting 

   Wiskundige verwachting is een heel belangrijk concept voor de waarschijnlijkheids theorie naast statistisch oogpunt is het ook bekend als de verwachting of verwachte waarde, het kan worden gedefinieerd als de optelling van willekeurige variabelen en de kansen ervan in vermenigvuldiging, dwz als x1, x2, x3, x4, ……… .xn zijn de waarden van discrete willekeurige variabele X dan P (x1), P (x2), P (x3), P (x4),………….P(xn) zijn dan de corresponderende kansen wiskundige verwachting van willekeurige variabele X aangeduid met E(x) als

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: voorbeeld

Voorbeeld: Bereken de verwachte waarde van de som van de getallen op de getrokken kaartjes uit een pakket van 72 kaarten genummerd van 1 tot 72 per keer dat 8 kaarten worden getrokken.

Oplossing:. overweeg de willekeurige variabelen x1, x2, x3, x4,……….Xn vertegenwoordigen de kaarten genummerd 1, 2, 3, 4, ………, 72

dus de kans op een x van de 72 kaart is 

P (xi) = 1 / n = 1/72

sindsdien zal de verwachting zijn

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + xn. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Nu zal de verwachte waarde voor 8 van dergelijke kaarten zijn 

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + x8. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

variance, Standaarddeviatie en Gemiddelde afwijking door Mathematical Expectation

De belangrijke concepten van de statistieken standaardafwijking en variantie we kunnen uitdrukken in termen van wiskundige verwachting, dus als de willekeurige variabelen x1, x2, x3, x4, ……… .xn met de bijbehorende kansen P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xn) dan zal variantie zijn

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: standaarddeviatie

Voorbeeld: In een spel als een eerlijke dobbelsteen wordt gebruikt en de speler wint als er een oneven waarde op de dobbelstenen komt en er wordt prijzengeld gegeven Rs 20 als er 1 komt, Rs 40 voor 3 en Rs 60 voor 5 en als er een andere zijde van de dobbelsteen is. kwam Rs 10 verlies voor de speler. vind het verwachte geld dat kan worden gewonnen met variantie en standaarddeviatie.

Oplossing:

Voor de eerlijke dobbelstenen kennen we de verdeling van de kansen,

X123456
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
standaardafwijking

Laat X de willekeurige variabele zijn voor de omzetting van de dobbelstenen volgens de spelvereiste die gewonnen of verloren is als het gezicht als volgt kwam,

X+ 20-1040-1060-10
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
standaardafwijking

dus het verwachte bedrag gewonnen door een speler zal zijn

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

dus het verwachte gewonnen bedrag door een speler is μ = 15

Discrete willekeurige variabele
Discrete willekeurige variabele: standaarddeviatie

Het resultaat van de wiskundige verwachting en variantie kan worden gegeneraliseerd voor meer dan twee variabelen per vereiste.

Conclusie:

   In dit artikel hebben we voornamelijk de discrete willekeurige variabele, kansverdeling en distributiefunctie besproken die bekend staat als cdf cumulatieve distributiefunctie, ook het concept van Wiskundige verwachting voor discrete willekeurige variabele en wat de gemiddelde afwijking, variantie en standaarddeviatie voor een dergelijke discrete willekeurige variabele zou zijn, wordt uitgelegd met behulp van geschikte voorbeelden in het volgende artikel, we zullen hetzelfde bespreken voor continue willekeurige variabele, als u verder wilt lezen, ga dan door:

Volg dit voor meer onderwerpen over wiskunde link.

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistent-professor in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Grote kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en zelfverklarend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws