Gammadistributie: 7 belangrijke eigenschappen die u moet kennen

Gamma-distributie

Een van de continue willekeurige variabele en continue verdeling is de gammadistributie, zoals we weten, behandelt de continue willekeurige variabele de continue waarden of intervallen, zo ook de gammadistributie met specifieke kansdichtheidsfunctie en kansmassafunctie, in de opeenvolgende discussie die we in detail het concept, de eigenschappen en de resultaten met voorbeelden van willekeurige gammavariabelen en gammadistributie.

Willekeurige gammavariabele of gammadistributie | wat is gammadistributie | gamma-distributie definiëren | gamma-verdelingsdichtheidsfunctie | gamma-verdeling kansdichtheidsfunctie | gamma distributie proof

Een continue willekeurige variabele met kansdichtheidsfunctie

is bekend dat het een willekeurige gammavariabele of een gammadistributie is, waarbij de α> 0, λ> 0 en de gammafunctie

we hebben de zeer frequente eigenschap van gammafunctie door integratie door delen als

Als we het proces voortzetten vanaf n dan

en ten slotte zal de waarde van gamma van één zijn

dus de waarde zal zijn

cdf van gammadistributie | cumulatieve gammadistributie | integratie van gammadistributie

De cumulatieve verdeling functie (cdf) van willekeurige gammavariabele of gewoon de verdelingsfunctie van willekeurige gammavariabele is dezelfde als die van continue willekeurige variabele op voorwaarde dat de kansdichtheidsfunctie anders is, dwz

hier is de kansdichtheidsfunctie zoals hierboven gedefinieerd voor de gamma-verdeling, de cumulatieve verdelingsfunctie kunnen we ook schrijven als

in beide bovenstaande formaten is de waarde van pdf als volgt

waarbij α> 0, λ> 0 reële getallen zijn.

Gamma-distributie formule | formule voor gammadistributie | gamma-distributievergelijking | afleiding van gamma-distributie

Om de kans voor de willekeurige gammavariabele te vinden, is de kansdichtheidsfunctie die we moeten gebruiken voor verschillende gegeven α> 0, λ> 0 is als

en met behulp van de bovenstaande pdf de verdeling voor de willekeurige gammavariabele die we kunnen verkrijgen door

De gammadistributieformule vereist dus de pdf-waarde en de limieten voor de willekeurige gammavariabele volgens de vereiste.

Gamma-distributie voorbeeld

laat zien dat de totale kans op de gamma distributie is één met de gegeven kansdichtheidsfunctie dwz

voor λ> 0, α> 0.
Oplossing:
met behulp van de formule voor de gammadistributie

aangezien de kansdichtheidsfunctie voor de gamma-verdeling is

wat nul is voor alle waarden kleiner dan nul, dus de kans zal nu zijn

met behulp van de definitie van gammafunctie

en vervanging die we krijgen

dus

Gammadistributiegemiddelde en variantie | verwachting en variantie van gammadistributie | verwachte waarde en variantie van gammadistributie | Gemiddelde van gammadistributie | verwachte waarde van gammadistributie | verwachting van gammadistributie

In de volgende bespreking zullen we het gemiddelde en de variantie voor de gamma-verdeling vinden met behulp van standaarddefinities van verwachting en variantie van continue willekeurige variabelen,

Zie ook De voorwaardelijke kans: 7 interessante feiten om te weten

De verwachte waarde of het gemiddelde van de continue willekeurige variabele X met kansdichtheidsfunctie

of Gamma willekeurige variabele X zal zijn

gemiddelde van gammadistributiebewijs | verwachte waarde van gammadistributiebewijs

Om de verwachte waarde of het gemiddelde van de gammadistributie te verkrijgen, volgen we de definitie en eigenschap van de gammafunctie,
eerst door de definitie van verwachting van continue willekeurige variabele en waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie van willekeurige gammavariabele die we hebben

door de gemeenschappelijke factor op te heffen en de definitie van gammafunctie te gebruiken

nu omdat we de eigenschap van gammafunctie hebben

de waarde van verwachting zal zijn

dus de gemiddelde of verwachte waarde van willekeurige gammavariabele of gammadistributie die we krijgen is

variantie van gammadistributie | variantie van een gammadistributie

De variantie voor de willekeurige gammavariabele met de gegeven kansdichtheidsfunctie

of variantie van de gamma-verdeling zal zijn

variantie van gammadistributiebewijs

Zoals we weten is de variantie het verschil van de verwachte waarden als

voor de gammadistributie hebben we al de waarde van mean

Laten we nu eerst de waarde van E [X berekenen²], dus per definitie van verwachting voor de continue willekeurige variabele die we hebben
aangezien de functie f (x) de kansverdelingsfunctie is van gammadistributie als

dus de integraal zal alleen van nul tot oneindig zijn

dus per definitie van de gammafunctie kunnen we schrijven

Dus met behulp van de eigenschap van de gammafunctie kregen we de waarde als

Breng nu de waarde van deze verwachting in

dus de waarde van de variantie van de gamma-distributie of willekeurige gamma-variabele is

Gamma-distributieparameters | twee parameter gammadistributie | 2 variabele gammadistributie

De Gamma-verdeling met de parameters λ>0, α>0 en de kansdichtheidsfunctie

heeft statistische parameters gemiddelde en variantie als

aangezien λ een positief reëel getal is, is om het gebruik te vereenvoudigen en te vergemakkelijken een andere manier om λ = 1 / β in te stellen, dus dit geeft de kansdichtheidsfunctie in de vorm

in het kort de verdelingsfunctie of cumulatieve verdelingsfunctie voor deze dichtheid kunnen we uitdrukken als

deze gammadichtheidsfunctie geeft het gemiddelde en de variantie als

wat duidelijk is door de vervanging.
Beide manieren worden vaak gebruikt, ofwel de gammadistributie met de parameter α en λ aangeduid met gamma (α, λ) of de gammaverdeling met de parameters β en λ aangegeven met gamma (β, λ) met de respectievelijke statistische parameters gemiddelde en variantie in elk van de vormen.
Beiden zijn niets anders dan hetzelfde.

Zie ook Waarschijnlijkheid Massafunctie: 5 Voorbeelden

Gamma-distributieplot | gammadistributiegrafiek | gamma distributie histogram

De aard van de gammadistributie kunnen we gemakkelijk visualiseren met behulp van een grafiek voor enkele specifieke waarden van de parameters, hier tekenen we de grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve dichtheidsfunctie voor enkele waarden van parameters
laten we de kansdichtheidsfunctie nemen als

dan zal de cumulatieve verdelingsfunctie zijn

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van alfa vast te stellen op 1 en de waarde van bèta te variëren.

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van alfa vast te stellen op 2 en de waarde van bèta te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van alfa vast te stellen op 3 en de waarde van bèta te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van bèta vast te stellen op 1 en de waarde van alfa . te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van bèta vast te stellen op 2 en de waarde van alfa te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van bèta vast te stellen op 3 en de waarde van alfa te variëren.

Over het algemeen verschillende curves zoals voor alpha variërend is

Gamma-verdeling — Gamma-distributiegrafiek

Gamma-verdeeltafel | standaard gamma-verdeeltafel

De numerieke waarde van de gammafunctie

als volgt bekend als onvolledige numerieke waarden van de gammafunctie

De numerieke waarde van de gamma-verdeling voor het schetsen van de plot voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie voor sommige beginwaarden is als volgt

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

alfa en bèta vinden voor gammadistributie | hoe alfa en bèta te berekenen voor gammadistributie | gammadistributieparameter schatting

Voor een gammadistributie die alfa en bèta vindt, nemen we het gemiddelde en de variantie van de gammadistributie

Zie ook Functies voor het genereren van momenten: 13 belangrijke feiten

nu krijgen we de waarde van bèta als

dus

door slechts enkele fracties uit de gamma-verdeling te nemen, krijgen we de waarde van alfa en bèta.

gamma distributie problemen en oplossingen | gamma-distributie voorbeeldproblemen | tutorial over gamma-distributie | gamma distributie vraag

1. Overweeg de tijd die nodig is om het probleem voor een klant op te lossen, is gamma verdeeld in uren met het gemiddelde van 1.5 en variantie 0.75 wat zou de kans dat het probleem de oplossingstijd is langer dan 2 uur, als de tijd langer is dan 2 uur, wat is dan de kans dat het probleem binnen ten minste 5 uur wordt opgelost.

oplossing: aangezien de willekeurige variabele gamma is verdeeld met een gemiddelde van 1.5 en een variantie van 0.75, kunnen we de waarden van alfa en bèta vinden en met behulp van deze waarden zal de kans zijn

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Als de negatieve feedback in week van de gebruikers gemodelleerd wordt in gammadistributie met parameters alpha 2 en beta als 4 nadat de 12 weken negatieve feedback kwam na herstructurering van de kwaliteit, kan herstructurering op basis van deze informatie de prestaties verbeteren?

oplossing: Omdat dit is gemodelleerd in gammadistributie met α = 2, β = 4

we zullen de gemiddelde en standaarddeviatie vinden als μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

aangezien de waarde X = 12 binnen de standaarddeviatie van het gemiddelde valt, kunnen we niet zeggen dat dit verbetering is of niet door de herstructurering van de kwaliteit, om te bewijzen dat de verbetering die wordt veroorzaakt door de gegeven herstructureringsinformatie onvoldoende is.

3. Laat X de . zijn gamma distributie zoek met parameters α=1/2, λ=1/2 de kansdichtheidsfunctie voor de functie Y=Vierkantswortel van X

Oplossing: laten we de cumulatieve verdelingsfunctie voor Y berekenen als

dit nu differentiëren met betrekking tot y geeft de kansdichtheidsfunctie voor Y als

en het bereik voor y is van 0 tot oneindig

Conclusie:

Het concept van gammadistributie in waarschijnlijkheid en statistiek is een van de belangrijkste dagelijkse toepasbare distributie van exponentiële familie, alle basisconcepten naar hogere niveaus werden tot dusver besproken met betrekking tot gamma distributieAls u meer informatie nodig heeft, neem dan de genoemde boeken door. U kunt ook op bezoek gaan wiskunde pagina voor meer onderwerpen

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.