Het Hermite-polynoom komt veel voor in toepassingen als een orthogonale functie. Hermite-polynoom is de reeksoplossing van de Hermite-differentiaalvergelijking.
Hermite's vergelijking
De differentiaalvergelijking van de tweede orde met specifieke coëfficiënten als
d2j/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0
staat bekend als de vergelijking van Hermite, door deze differentiaalvergelijking op te lossen, krijgen we de polynoom die is Hermite Polynoom.
Laten we de oplossing van de vergelijking vinden
d2j/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0
met behulp van serie-oplossing van differentiaalvergelijking
nu vervangen we al deze waarden in de Hermite-vergelijking die we hebben
Deze vergelijking voldoet voor de waarde van k=0 en aangezien we aannamen dat de waarde van k niet negatief zal zijn, nu voor de laagste graad term xm-2 neem k=0 in de eerste vergelijking, aangezien de tweede een negatieve waarde oplevert, dus de coëfficiënt xm-2 is
a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1
een0 0
nu op dezelfde manier de coëfficiënt van x gelijkstellenm-1 vanaf de tweede sommatie
en het gelijkstellen van de coëfficiënten van xm+k naar nul,
ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0
we kunnen het schrijven als
ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak
als m=0
ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak
als m=1
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) eenk
voor deze twee gevallen bespreken we nu de gevallen voor k
Wanneer $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$
Als, $k=0 a2 =-2 n/2 een0=-na0$
$k=1, een3=2(1-n)/6a1 =-2(n-1)/3 ! A1$
Als $k=2, a4 =2(2-n)/12a2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! A0$
tot nu toe m=0 hebben we twee voorwaarden wanneer a1=0, dan a3=a5=a7=….=een2r+1=0 en wanneer a1 is dan niet nul
door dit te volgen zet u de waarden van a0,a1,a2,a3,a4 en5 we
en voor m=1 a1=0 door k=0,1,2,3,….. te zetten krijgen we
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak
dus de oplossing zal zijn
dus de complete oplossing is
waarbij A en B de willekeurige constanten zijn
Hermite Polynoom
De oplossing van de Hermite-vergelijking heeft de vorm y(x)=Ay1(x)+door2(x) waarbij y1(x) en y2(x) zijn de reekstermen zoals hierboven besproken,
een van deze reeksen eindigt als n een niet-negatief geheel getal is als n even is y1 eindigt anders y2 als n oneven is, en we kunnen dat gemakkelijk verifiëren voor n=0,1,2,3,4…….. deze polynomen zijn
1,x,1-2x2, x-2/3x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5
dus we kunnen hier zeggen dat de oplossing van de vergelijking van Hermite een constant veelvoud van deze polynomen is en dat de termen die de hoogste macht van x bevatten de vorm 2 hebbennxn aangeduid met Hn(x) staat bekend als Hermite polynoom
Genererende functie van Hermite polynoom
Hermite polynoom meestal gedefinieerd met behulp van een relatie met behulp van de genererende functie
[n/2] is het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan n/2, dus het volgt de waarde van Hn(X) as
dit laat zien dat Hn(X) is een polynoom van graad n in x en
Hn(x) = 2nxn +n-2 (X)
WAAR πn-2 (x) is de polynoom van graad n-2 in x, en het zal een even functie zijn van x voor een even waarde van n en een oneven functie van x voor een oneven waarde van n, dus
Hn(-x) = (-1)n Hn(X)
enkele van de beginnende Hermite-polynomen zijn
H0(x) = 1
H1(x) = 2x
H2(x) = 4x2 - 2
H3(x) = 8x3-12
H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12
H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x
Genererende functie van Hermite polynoom door Rodrigue Formula
Hermite Polynoom kan ook worden gedefinieerd met behulp van de Rodrigue-formule met behulp van de genererende functie
sinds de relatie van het genereren van functie
Met behulp van de stelling van Maclaurin hebben we:
or
door z=xt en . te zetten
voor t=0, dus z=x geeft
dit kunnen we op een andere manier laten zien als
differentiëren
met betrekking tot t geeft
het nemen van limiet t neigt naar nul
nu differentiëren met betrekking tot x
het nemen van limiet t neigt naar nul
van deze twee uitdrukkingen kunnen we schrijven
op dezelfde manier waarop we kunnen schrijven
differentiëren n keer zet t=0, we krijgen
van deze waarden kunnen we schrijven
van deze kunnen we de waarden krijgen
Voorbeeld op Hermite Polynoom
- Vind de gewone veelterm van
Oplossing: met behulp van de Hermite polynoomdefinitie en de relaties die we hebben
2. Vind het Hermite-polynoom van het gewone polynoom
Oplossing: De gegeven vergelijking kunnen we converteren naar Hermite als
en uit deze vergelijking die dezelfde machtscoëfficiënt gelijkstelt
vandaar dat de Hermite polynoom zal zijn
Orthogonaliteit van Hermite Polynoom | Orthogonale eigenschap van Hermite Polynomial
Het belangrijke kenmerk van Hermite polynoom is de orthogonaliteit die stelt dat:
Laten we, om deze orthogonaliteit te bewijzen, herinneren dat:
wat de genererende functie is voor de Hermite polynoom en we weten:
dus als we deze twee vergelijkingen vermenigvuldigen, krijgen we
vermenigvuldigen en integreren binnen oneindige grenzen
en sindsdien
so
met behulp van deze waarde in bovenstaande uitdrukking hebben we
wat geeft
stel nu de coëfficiënten aan beide zijden gelijk
die de orthogonale eigenschap van Hermite polynoom toont.
Het resultaat van de orthogonale eigenschap van Hermite polynoom kan op een andere manier worden getoond door de recursierelatie te beschouwen
Voorbeeld op orthogonaliteit van Hermite Polynomial
1.Evalueer de integraal
Oplossing: door de eigenschap van orthogonaliteit van hermietpolynoom te gebruiken
aangezien de waarden hier m=3 en n=2 zijn dus
2. Evalueer de integraal
Oplossing: met behulp van de orthogonaliteitseigenschap van Hermite-polynoom kunnen we schrijven
Recursierelaties van Hermite polynoom
De waarde van Hermite-polynoom kan gemakkelijk worden achterhaald door de recursierelaties
Deze relaties kunnen eenvoudig worden verkregen met behulp van definitie en eigenschappen.
Bewijzen:1. We kennen de Hermite-vergelijking
y”-2xy'+2ny = 0
en de relatie
door differentiatie met betrekking tot x gedeeltelijk te nemen, kunnen we het schrijven als
van deze twee vergelijkingen
vervang nu n door n-1
door de coëfficiënt van t . gelijk te stellenn
dus het vereiste resultaat is:
2. Op dezelfde manier gedeeltelijk differentiëren met betrekking tot t de vergelijking
we krijgen
n=0 verdwijnt dus door deze waarde van e
nu gelijk aan de coëfficiënten van tn
dus
3. Om dit resultaat te bewijzen, zullen we H . eliminerenn-1 oppompen van
en
dus we krijgen
dus kunnen we het resultaat schrijven
4. Om dit resultaat te bewijzen, differentiëren we
we krijgen de relatie
de waarde vervangen
en n vervangen door n+1
wat geeft
Voorbeelden van recursierelaties van Hermite polynoom
1. Laat zien dat
H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n
Oplossing:
Om het resultaat te laten zien hebben we
H2n(x) =
nemend x=0 hier krijgen we
2. Laat zien dat
H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2
Oplossing:
Omdat uit de herhalingsrelatie
H'n(x) = 2nHn-1(X)
hier vervang n door 2n+1 dus
H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(X)
x=0 . nemen
3. Zoek de waarde van
H2n + 1(0)
Oplossing
Sinds we weten
gebruik x=0 hier
H2n-1(0) = 0
4. Zoek de waarde van H'2n(0).
Oplossing :
we hebben de herhalingsrelatie
H'n(x) = 2nHn-1(X)
vervang hier n door 2n
H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)
zet x=0
H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0
5. Toon het volgende resultaat
Oplossing :
De herhalingsrelatie gebruiken
H'n(x) = 2nHn-1 (X)
so
en
d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)
dit m keer differentiëren
wat geeft
6. Laat zien dat
Hn(-x) = (-1)n Hn(X)
Oplossing :
we kunnen schrijven
van de coëfficiënt van tn we
en voor -x
7. Evalueer de integraal en toon
Oplossing : Gebruik voor het oplossen van deze integraal integratiedelen als
Nu differentiatie onder het Integraal teken differentiëren met
respect voor x
gebruik
H'n(x) = 2nHn-1 (X)
en
H'm(x) = 2 mHm-1 (X)
we
en sindsdien
?? n,m-1 = ????n+1, m
dus de waarde van integraal zal zijn
Conclusie:
Het specifieke polynoom dat vaak voorkomt in de toepassing is het Hermite-polynoom, dus de basisdefinitie, de genererende functie, de herhalingsrelaties en voorbeelden met betrekking tot het Hermite-polynoom zijn hier in het kort besproken. Als u meer wilt lezen, ga dan door
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
Voor meer berichten over wiskunde, volg onze Wiskunde pagina
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.
Hallo medelezer,
We zijn een klein team bij Techiescience, dat hard werkt tussen de grote spelers. Als je het leuk vindt wat je ziet, deel dan onze inhoud op sociale media. Uw steun maakt een groot verschil. Bedankt!