Hermite Polynoom: 9 volledige snelle feiten


Content

  De Hermite-polynoom komt veel voor in toepassingen als een orthogonale functie. Hermite polynoom is de reeksoplossing van Hermite differentiaalvergelijking.

Hermite's vergelijking

    De differentiaalvergelijking van de tweede orde met specifieke coëfficiënten als

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

[latex]\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0[/latex]

staat bekend als de vergelijking van Hermite, door deze differentiaalvergelijking op te lossen, krijgen we de polynoom die is Hermite Polynoom.

Laten we de oplossing van de vergelijking vinden

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

[latex]\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0[/latex]

met behulp van serie-oplossing van differentiaalvergelijking

[latex]\begin{array}{l}
y=a_{0} x^{m}+a_{1} x^{m+1}+a_{2} x^{m+2}+a_{3} x^{m+3}+\ldots \ldots .+a_{k} x^{m+k} \\
y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{m+k}\\
\frac{dy}{dx}=\sum a_{k}(m+k) x^{m+k-1}\\
\frac{d^{2} y}{dx^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m +k-2}
\end{array}[/latex]

nu vervangen we al deze waarden in de Hermite-vergelijking die we hebben

[latex]$\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 x \sum a_{k}(m+k) x ^{m+k-1}+2 n \sum a_{k} x^{m+k}=0$
$\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 \sum a_{k}(m+k) x^{m+ k}+2 n \sum a_{k} x^{m+k}=0$
$\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 \sum a_{k}[(m+k)-n] x ^{m+k}=0$[/latex]

Deze vergelijking voldoet voor de waarde van k=0 en aangezien we aannamen dat de waarde van k niet negatief zal zijn, nu voor de laagste graad term xm-2 neem k=0 in de eerste vergelijking aangezien de tweede een negatieve waarde geeft, dus de coëfficiënt xm-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

een0 ≠ 0

[latex]a_{0} m(m-1)=0 \Rechterpijl m=0, m=1[/latex]

[latex]als \quad a_{0} \neq 0[/latex]

nu op dezelfde manier de coëfficiënt van x . gelijkstellenm-1 vanaf de tweede sommatie

[latex]a_{1} m(m+1)=0 \Rightarrow\left[\begin{array} { l }
{ a _ { 1 } \text { kan wel of niet nul zijn als } m = 0 } \\
{ een _ { 1 } = 0 , \tekst { wanneer } m = 1 }
\end{array} \quad \left(\begin{array}{l}
m+1 \neq 0 \text { as } \mathrm{m} \text { is } \\
\tekst { al gelijk aan nul }
\end{array}\right)\right.[/latex]

en het gelijkstellen van de coëfficiënten van xm+k naar nul,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

[latex]a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0[/latex]

we kunnen het schrijven als

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(m+kn)}{(m+k+2)(m+k+1)} a_{k}[/latex]

als m=0

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

[latex]\quad a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k} \quad[/latex]

als m=1

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

voor deze twee gevallen bespreken we nu de gevallen voor k

Wanneer $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

Als, $k=0 a2 =-2 n/2 a0=-na0$

$k=1, a3=2(1-n)/6 a1 =-2(n-1)/3 ! a1$

Als $k=2, a4 =2(2-n)/12 a2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! a0$

[latex]When \quad $m=0, a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k}$[/latex]

[latex]If \quad $k=0, a_{2}=\frac{-2 n}{2} a_{0}=-n a_{0}$[/latex]

[latex]If \quad $k=1, a_{3}=\frac{2(1-n)}{6} a_{1}=-2 \frac{(n-1)}{3 !} a_ {1}$[/latex]

[latex]If \quad $k=2, a_{4}=\frac{2(2-n)}{12} a_{2}=2 \frac{(2-n)}{12}\left( -n a_{0}\right)=(2)^{2} \frac{n(n-2)}{4 !} a_{0}$[/latex]

[latex]If \quad $k=3, a_{5}=\frac{2(3-n)}{20} a_{3}=\frac{2(3-n)}{20}\left(-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{1}\right)=(2)^{2} \frac{(n-1)(n-3)}{5 !} a_{1}$\\
$a_{2 r}=\frac{(-2)^{r} n(n-2)(n-4) \ldots \ldots(n-2 r+2)}{(2 r) !} a_ {0}$\\
$a_{2 r+1}=\frac{(-2)^{r}(n-1)(n-3) \ldots \ldots(n-2 r+1)}{(2 r+1) !} a_{1}=0$[/latex]

tot dusver m=0 hebben we twee voorwaarden wanneer a1=0, dan a3=a5=a7=….=a2r+1=0 en wanneer a1 is dan niet nul

[latex]\begin{array}{c}
y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \\
y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{ 5}+\ldots \ldots \ldots \\
=a_{0}+a_{2} x^{2}+a_{4} x^{4}+\ldots . .+a_{1} x+a_{3} x^{3}+a_{5} x^{5}
\end{array}[/latex]

door dit te volgen zet u de waarden van a0,a1,a2,a3,a4 en5 we

[latex]\begin{array}{l}
=a_{0}\left[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{4 !} x^{4} -\ldots+(-1)^{r} \frac{2}{(2 r) !} n(n-2) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r}+\ldots\right ] \\
+a_{1} x\left[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)} {5 !}-\ldots .\right. \\
\links.+(-1)^{r} \frac{2^{r}}{(2 r+1) !}(n-1)(x-3) \ldots(n-2 r+1) x^{2 r}+\ldots\right] \\
=a_{0}\left[1+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2^{r}}{(2 r) !} n(n- 2) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r}\rechts] \\
\left.+a_{0}\left[x+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2^{r}}{(2 r+1)}( n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r+1}\right] \quad \text { (If } a_{1}=a_{0}\right)
\end{array}[/latex]

en voor m=1 a1=0 door k=0,1,2,3,….. te zetten krijgen we

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
a_{2}=-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{0} \\
a_{4}=\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} a_{0} \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
a_{2 r}=(-1)^{r} \frac{2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1)}{(2 r+1) !} een_{0}
\end{array}[/latex]

dus de oplossing zal zijn

[latex]=a_{0} x\left[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n- 3)}{5 !} x^{4} \cdots+\frac{(-1)^{r} 2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1) }{(2 r+1) !} x^{2 r}+\ldots\right][/latex]

dus de complete oplossing is

[latex]y=A\left[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{4 !} x^{4 }-\ldots\right]+B\left[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n- 3)}{5 !} x^{4} \ldots\right][/latex]

waarbij A en B de willekeurige constanten zijn

Hermite Polynoom

   De oplossing van de Hermite-vergelijking heeft de vorm y(x)=Ay1(x)+door2(x) waar y1(x) en y2(x) zijn de reekstermen zoals hierboven besproken,

[latex]y_{1}(x)=1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+2^{2} n \frac{(n-2)}{4 !} x^ {4}-\frac{2^{3} n(n-2)(n-4)}{6 !} x^{6}+\cdots[/latex]

[latex]y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots[/latex]

een van deze reeksen eindigt als n een niet-negatief geheel getal is als n even is y1 eindigt anders y2 als n oneven is, en we kunnen gemakkelijk verifiëren dat voor n=0,1,2,3,4…….. deze polynomen zijn

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

[latex]1, x, 1-2 x^{2}, x-\frac{2}{3} x^{3}, 1-4 x^{2}+\frac{4}{3} x ^{4}, x-\frac{4}{3} x^{3}+\frac{4}{15} x^{5}[/lac

dus we kunnen hier zeggen dat de oplossing van de vergelijking van Hermite een constant veelvoud is van deze polynomen en dat de termen met de hoogste macht van x de vorm 2 hebbennxn aangeduid met Hn(x) staat bekend als Hermite polynoom

Genererende functie van Hermite polynoom

Hermite polynoom meestal gedefinieerd met behulp van een relatie met behulp van de genererende functie

[latex]\mathrm{e}^{\left(2 x tt^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{H}_{\mathrm{n}} (\mathbf{x}) \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{a}}}{\mathrm{n} !}, \quad[/latex]

[latex]\begin{uitgelijnd}
\mathrm{e}^{\left(2 x tt^{2}\right)}=\mathrm{e}^{2 ut} \mathrm{e}^{-t^{2}} &=\left [\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(2 \mathrm{xt})^{\mathrm{m}}}{\mathrm{m} !}\right]\left[\sum_{ \mathrm{k}=0}^{\infty} \frac{\left(-\mathrm{t}^{2}\right)^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k} !}\ Rechtsaf] \\
&=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n} / 2]} \frac{(-1)^{ \mathrm{k}}(2 \mathrm{x})^{\mathrm{n}-2 \mathrm{k}}}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-2 \mathrm{k} ) !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

[n/2] is het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan n/2, dus het volgt de waarde van Hn(X) as

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n} / 2]} \frac{ (-1)^{\mathrm{k}} \mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-2 \mathrm{k}) !}(2 \mathrm{x}) ^{\mathrm{n}-2 \mathrm{k}}[/latex]

[latex]waar \quad $\left[\frac{\mathrm{n}}{2}\right]=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{n}}{2} , & \text { if } \mathrm{n} \text { is even } \\ \frac{\mathrm{n}-1}{2}, & \text { if } \mathrm{n} \text { is oneven }\end{array}\right.$[/latex]

dit laat zien dat Hn(X) is een polynoom van graad n in x en

Hn(x) = 2nxn +n-2 (X)

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\pi_{ \mathrm{n}-2}(\mathrm{x})[/latex]

WAAR πn-2 (x) is de polynoom van graad n-2 in x, en het zal een even functie zijn van x voor een even waarde van n en een oneven functie van x voor een oneven waarde van n, dus

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(-\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}} (\mathrm{x})[/latex]

enkele van de beginnende Hermite-polynomen zijn

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x

[latex]\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{0}(\mathrm{x})=1 \\
\mathrm{H}_{1}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x} \\
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{2}-2 \\
\mathrm{H}_{3}(\mathrm{x})=8 \mathrm{x}^{3}-12 \\
\mathrm{H}_{4}(\mathrm{x})=16 \mathrm{x}^{4}-48 \mathrm{x}^{2}+12 \\
\mathrm{H}_{5}(\mathrm{x})=32 \mathrm{x}^{5}-160 \mathrm{x}^{3}+120 \mathrm{x}
\end{array}
[/latex]

Rodrigue Formule van Hermite polynoom | Genererende functie van Hermite polynoom door Rodrigue Formula

Hermite Polynoom kan ook worden gedefinieerd met behulp van de Rodrigue-formule met behulp van de genererende functie

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{ 2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x }^{2}}\right)[/latex]

sinds de relatie van het genereren van functie

[latex]\mathrm{e}^{2 \mathrm{tx}-\mathrm{t}^{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}-(\mathrm{t }-\mathrm{x})^{2}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{ x})}{\mathrm{n} !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}}[/latex]

  Met behulp van de stelling van Maclaurin hebben we:

[latex]\left.\frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm {tx}-\mathrm{t}^{2}}\right)\right|_{\mathrm{t}=0}=\left.\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2} } \frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{-(t-\mathrm{x })^{2}}\right)\right|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})[/latex]

or

[latex]\left.\frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left[\mathrm{e}^{-(\ mathrm{t}-\mathrm{x})^{2}}\right]\right|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2} } \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})[/latex]

door z=xt en . te zetten

[latex]\frac{\partial}{\partial \mathrm{t}}=-\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}[/latex]

voor t=0, dus z=x geeft

[latex]\begin{array}{l}
\left.(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d} \mathrm{z}^{\mathrm{n} }}\left(\mathrm{e}^{-z^{2}}\right)\right|_{\mathrm{z}=\mathrm{x}}=(-1)^{\mathrm{n }} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}\right)}{\mathrm{dx}^ {\mathrm{n}}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}) \\
\daarom \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2 }} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{- \mathrm{x}^{2}}\right)
\end{array}[/latex]

dit kunnen we op een andere manier laten zien als

[latex]e^{x^{2}} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\} }=H_{n}(x)+H_{n+1}(x) t+H_{n+2}(x) . t^{2}+\ldots \ldots[/latex]

differentiëren

[latex]e^{ \left.-(tx)^{2}\right\}[/latex]

met betrekking tot t geeft

[latex]\frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2(tx) e^{\left\{-(tx )^{2}\right\}}[/latex]

het nemen van limiet t neigt naar nul

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=2 xe^{-x ^{2}}[/latex]

nu differentiëren met betrekking tot x

[latex]\frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=(-1)^{2}(tx) e^{\ left\{-(tx)^{2}\right\}}[/latex]

het nemen van limiet t neigt naar nul

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2 xe^{- x^{2}}[/latex]

van deze twee uitdrukkingen kunnen we schrijven

[latex]\left.\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=(-1 )^{1} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right.}\right\}[/ latex]

op dezelfde manier waarop we kunnen schrijven

[latex]\left.\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} e^{\left\{-(tx)^{2}\ right\}}=(-1)^{2} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{\left\{-( tx)^{2}\right.}\right\}[/latex]

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\} }=(-1)^{n} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}} e^{\left\{-(tx)^ {2}\right\}}=(-1)^{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}[/latex]

 differentiëren n keer zet t=0, we krijgen

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} e^{x^{2}} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx )^{2}\right\}}=H_{n}(x)[/latex]

van deze waarden kunnen we schrijven

[latex]\begin{array}{l}
(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}=H_{n}(x ) \\
H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2} } \\
n = 0
\end{array}[/latex]

van deze kunnen we de waarden krijgen

[latex]\begin{array}{l}
n=0\\
H_{0}(x)=(-1)^{0} e^{x^{2}} e^{-x^{2}}=1 \\
H_{0}(x)=1
\end{array}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
n=1\\
H_{1}(x)=(-1)^{1} e^{x^{2}} \frac{d}{dx} e^{-x^{2}}=-e^{x^ {2}}(-2 x) e^{-x^{2}}=2 x \\
H_{1}(x)=2x \\
n = 2
\end{array}[/latex]

[latex]\begin{uitgelijnd}
H_{2}(x) &=(-1)^{2} e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}} e^{-x^{2} }}=e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 xe^{-x^{2}}\right) \\
&=e^{x^{2}}\left[-2 e^{x^{2}}-2 x(-2 x) e^{-x^{2}}\right.\\
&=-2+4x^{2} \\
& H_{2}(x)=4 x^{2}-2 \\
n = 3
\end{uitgelijnd}[/latex]

[latex]\begin{uitgelijnd}
H_{3}(x) &=(-1)^{3} e^{x^{2}} \frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(e^{-x ^{2}}\right)=-e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(-2 xe^{-x^{2}} \Rechtsaf) \\
&=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 e^{-x^{2}}+(-2 x)(-2 x) e^{- x^{2}}\rechts) \\
&=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2+4 x^{2}\right) e^{-x^{2}}=-e^{ x^{2}}\left[8 xe^{-x^{2}}+\left(4 x^{2}-2\right)(-2 x) e^{-x^{2}} \Rechtsaf]
\end{uitgelijnd}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
=-\left[8 x+\left(4 x^{2}-2\right)(-2 x)\right]=-8 x+8 x^{3}-4 x=8 x^{3} -12 x \\
H_{3}(x)=8 x^{3}-12 x \\
H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12
\end{array}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
H_{5}(x)=32 x^{5}-160 x^{3}+120 x \\
H_{6}(x)=64 x^{6}-480 x^{4}+720 x^{2}-120 \\
H_{7}(x)=128 x^{7}-1344 x^{5}+3360 x^{3}-1680 x
\end{array}[/latex]

Voorbeeld op Hermite Polynoom           

  1. Vind de gewone veelterm van

[latex]2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}[/latex]

Oplossing: met behulp van de Hermite polynoomdefinitie en de relaties die we hebben

[latex]\begin{array}{l}
2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0} \\
\quad=2\left[16 x^{4}-48 x^{2}+12\right]+3\left\{8 x^{3}-12 x\right\}-\left(4 x^{2}-2\right)+5(2 x)+6(1) \\
\quad=32 x^{4}-96 x^{2}+24+24 x^{3}-36 x-4 x^{2}+2+10 x+6\\
=32 x^{4}+24 x^{3}-100 x^{2}-26 x+32
\end{array}[/latex]

2. Vind het Hermite-polynoom van het gewone polynoom

[latex]64 x^{4}+8 x^{3}-32 x^{2}+40 x+10[/latex]

Oplossing: De gegeven vergelijking kunnen we converteren naar Hermite als

[latex]\begin{aligned} 64 x^{4}+8 x^{3} &-32 x^{2}+40 x+10=\mathrm{AH}_{4}(x)+\mathrm {BH}_{3}(x)+\mathrm{CH}_{2}(x)+\mathrm{DH}_{1}(x)+\mathrm{EH}_{0}(x) \ \ &=\mathrm{A}\left(16 x^{4}-48 x^{2}+12\right)+\mathrm{B}\left(8 x^{3}-12 x\right) +\mathrm{C}\left(4 x^{2}-2\right)+\mathrm{D}(2 x)+\mathrm{E}(1) \\ &=16 \mathrm{~A} x^{4}+8 \mathrm{~B} x^{3}(-48 \mathrm{~A}+4 \mathrm{C}) x^{2}+(-12 \mathrm{~B} +2 \mathrm{D}) x+12 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}+\mathrm{E} \end{aligned}[/latex]

en uit deze vergelijking die dezelfde machtscoëfficiënt gelijkstelt

[latex]\begin{uitgelijnd}
16 \mathrm{~A}=64 & \Rightarrow \mathrm{A}=4 \\
8 \mathrm{~B}=8 & \Rightarrow \mathrm{B}=1 \\
-48 \mathrm{~A}+4 \mathrm{C}=-32 & \Rightarrow 4 \mathrm{C}=-32+192 \Rightarrow \mathrm{C}=40 \\
-12 \mathrm{~B}+2 \mathrm{D}=40 & \Rightarrow-12+2 \mathrm{D}=40 \Rightarrow 2 \mathrm{D}=52 \Rightarrow \mathrm{D}=26 \\
12 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}+\mathrm{E}=10 & \Rightarrow 12 \times 4-2(40)+\mathrm{E}=10 \Rightarrow \mathrm{E}= 42
\end{uitgelijnd}[/latex]

vandaar dat de Hermite polynoom zal zijn

[latex]4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)[/latex]

Orthogonaliteit van Hermite Polynoom | Orthogonale eigenschap van Hermite Polynomial

Het belangrijke kenmerk van Hermite polynoom is de orthogonaliteit die stelt dat:

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\begin{array} {ll}
0, & m \neq n \\
2^{n} n ! \sqrt{\pi}, & m=n
\end{array}\rechts.[/latex]

Laten we, om deze orthogonaliteit te bewijzen, herinneren dat:

[latex]e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}}=\sum \frac{H_{n}(x) }{n !} t_{1}^{n}[/latex]

wat de genererende functie is voor de Hermite polynoom en we weten:

[latex]e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right)^{2}\right\}}=\sum \frac{H_{m}(x) }{m !} t_{2}^{m}[/latex]

dus als we deze twee vergelijkingen vermenigvuldigen, krijgen we

[latex]\begin{uitgelijnd}
e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}} \cdot e^{\left\{x^{2}-\ left(t_{2}-x\right)^{2}\right\}} &=\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n !} t_{1}^{n}\right]\left[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{H_{m}(x)}{m !} t_{2}^{m }\Rechtsaf] \\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left[H_{n}(x)\left|H_{m}(x)\right|\right] \frac{t_{1}^{n } \cdot t_{2}^{m}}{n ! m !}
\end{uitgelijnd}[/latex]

vermenigvuldigen en integreren binnen oneindige grenzen

[latex]\begin{array}{l}
\left.\left.\sum_{nm}\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right] \frac{t_{1}^{n} t_{2}^{m}}{n ! m !}=e^{-x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right )^{2}\right.}\right\}_{.} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right)^{2}\right.} \right\}_{dx} \\
=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}-\left( t_{2}-x\right)^{2}} dx \\
=e^{\left(-\left(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\right)\right\}} \int_{-\infty}^{\infty} e^ {\left\{-x^{2}+2 x\left(t_{1}+t_{2}\right)\right\}} dx
\end{array}[/latex]

en sindsdien

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-ax^{2}+2 bx\right\}} dx=\sqrt{\frac{\pi}{2} e^{\frac{b^{2}}{a}}} \quad[/latex]

so

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-x^{2}+2 x\left(t_{1}+t_{2}\right)\right\} } dx=\sqrt{\pi} e^{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}[/latex]

met behulp van deze waarde in bovenstaande uitdrukking hebben we

[latex]\begin{uitgelijnd}
e^{\left\{-\left(i+1+r_{2}\right)^{2}\right\}} \cdot \sqrt{\pi} e^{\left(t_{1}+ t_{2}\right)^{2}} &=\sqrt{\pi} e^{-t^{2}-t_{2}^{2}+t_{1}^{2}+t_{ 2}^{2}+2 \uparrow r_{2}}=\sqrt{\pi} e^{2 l_{1} l_{2}} \\
&=\sqrt{\pi}\left[1+2 t_{1} t_{2}+\frac{\left(2 t_{1} t_{2}\right)^{2}}{2 !} +\frac{\left(2 t_{1} t_{2}\right)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots .\right]=\sqrt{\pi} \sum \frac{\ links(2 t_{1} t_{2}\rechts)^{n}}{n !} \\
&=\sqrt{\pi} \sum \frac{2^{n} t_{1}^{n} t_{2}^{n}}{n !}=\sqrt{\pi} \sum_{m =0 \op n=0}^{\infty} 2^{n} t_{1}^{n} t_{2}^{m} \delta_{m, n} \quad\left[t_{2} ^{n}=t_{2}^{m} \delta_{n, m}\right]
\end{uitgelijnd}[/latex]

wat geeft

[latex]\sum_{nm}\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right ] \frac{t_{1}^{n} t_{2}^{m}}{n ! m !}=\sqrt{\pi} \sum_{nm} \frac{2^{n}}{n !} e^{n} t_{2}^{m} \delta_{n, m}[/ latex]

stel nu de coëfficiënten aan beide zijden gelijk

[latex]\begin{array}{ll}
& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{H_{n}(x) H_{m}(x)}{n ! m !} dx=\frac{\sqrt{\pi} 2^{n}}{n !} \delta_{n, m} \\
\Rightarrow & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{\pi} 2^{ n} m \mid \delta_{n, m} \\
\Rightarrow & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\begin{array} {ll}
0 & m \neq n\left[\delta_{n, m}=0, \text { if } m \neq n\right. \\
2^{n} n ! \sqrt{\pi}, & m=n
\end{array}\left[\begin{array}{l}
=1, \text { if } m=n
\end{array}\rechts]\rechts.
\end{array}[/latex]

die de orthogonale eigenschap van Hermite polynoom toont.

  Het resultaat van de orthogonale eigenschap van Hermite polynoom kan op een andere manier worden getoond door de recursierelatie te beschouwen

Voorbeeld op orthogonaliteit van Hermite Polynomial

1.Evalueer de integraal

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x) dx[/latex]

Oplossing: door de eigenschap van orthogonaliteit van hermietpolynoom te gebruiken

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x)=0 \text { if } m \neq n
\end{array}[/latex]

aangezien de waarden hier m=3 en n=2 zijn dus

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x)=0[/latex]

2. Evalueer de integraal

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx[/latex]

Oplossing: met behulp van de orthogonaliteitseigenschap van Hermite-polynoom kunnen we schrijven

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{n}(x)\right]^{2} dx=2^{n}(n) ! \sqrt{\pi} \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx=2^{2}(2 !) \sqrt{\pi}=8 \sqrt{\pi}
\end{array}[/latex]

Recursierelaties van Hermite polynoom

De waarde van Hermite-polynoom kan gemakkelijk worden achterhaald door de recursierelaties

Hermite polynoom
Hermite polynoom recursierelaties

Deze relaties kunnen eenvoudig worden verkregen met behulp van definitie en eigenschappen.

Bewijzen:1. We kennen de Hermite-vergelijking

y”-2xy'+2ny = 0

[latex]y^{\prime \prime}-2 xy^{\prime}+2 ny=0[/latex]

en de relatie

[latex]e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}[/ latex]

door differentiatie met betrekking tot x gedeeltelijk te nemen, kunnen we het schrijven als

[latex]2 te^{2t xt^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}^{'}(x) \frac{r^{m}}{n ! }[/latex]

van deze twee vergelijkingen

[latex]\quad 2 t \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}=\sum_{n=0}^{\ infty} H_{n}^{'}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

[latex]\quad 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=0}^{ \infty} H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

vervang nu n door n-1

[latex]2 \frac{H_{\mathrm{m}-1}(\mathrm{x}) t^{n}}{(n-1) !}=H_{n}^{'}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

[latex]\quad \frac{2 n H_{n-1}(x) t^{n}}{n !}=H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n} }{n !}[/latex]

door de coëfficiënt van t . gelijk te stellenn

[latex]2 \frac{n !}{(n-1) !} H_{n-1}(x)=H^{\prime}{ }_{n}(x)[/latex]

[latex]\quad 2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)[/latex]

dus het vereiste resultaat is:

[latex]\mathbf{2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)}[/latex]

2. Op dezelfde manier gedeeltelijk differentiëren met betrekking tot t de vergelijking

[latex]e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}[/ latex]

we krijgen

[latex]2(xt) e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{nt^{n-1}} {(n-1) !}[/latex]

[latex]2(xt) e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n-1}}{ (n-1) !} [/latex]

n=0 verdwijnt dus door deze waarde van e

[latex]2(xt) \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}=\sum_{n=1}^{\ infty} H_{n}(x) \frac{t^{n-1}}{(n-1) !}[/latex]

[latex]\quad 2 x \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}-2 \sum_{n=0}^{ \infty} H_{n}(x) \frac{t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{r^ {n-1}}{(n-1) !}[/latex]

nu gelijk aan de coëfficiënten van tn

[latex]2 x \frac{H_{n}(x)}{n !}-2 \frac{H_{n-1}(x)}{(n-1) !}=\frac{H_{n +1}(x)}{n !} \quad[/latex]

dus

[latex]\quad \mathbf{2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)}[/latex]

3. Om dit resultaat te bewijzen, zullen we H . eliminerenn-1 van

[latex] 2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)[/latex]

en

[latex]2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)[/latex]

dus we krijgen

[latex]\begin{uitgelijnd} 2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{m+1}(x) &(x) \\ 2 x H_{n }(x)=H_{n}^{r}(x)+H_{n+1}(x) \\\ldots \ldots\end{uitgelijnd}[/latex]

dus kunnen we het resultaat schrijven

[latex]\mathbf{H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)}[/latex]

4. Om dit resultaat te bewijzen, differentiëren we

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)[/latex]

we krijgen de relatie

[latex]H_{n}^{\prime \prime}(x)=2 x H_{n}^{'}(x)+2 H_{n}(x)-H_{n+1}^{\ prime}(x)[/latex]

de waarde vervangen

[latex]H_{n+1}^{'}(x)=2(n+1) H_{n}(x)[/latex]

en n vervangen door n+1

[latex]H_{n}^{'}(x)=2 \mathrm{x} H_{n}^{\prime}(x)+2 H_{n}(x)-2(n+1) H_ {n}(x)[/latex]

[latex]\quad H_{n}^{'}(x)-2 x H_{n}^{\prime}(x)+2 n H_{n}(x)=0[/latex]

wat geeft

[latex]\mathbf{H_{n}^{\prime \prime}(x)-2 x H_{n}^{1}(x)+2 n H_{n}(x)=0]}[/ latex]

Voorbeelden van recursierelaties van Hermite polynoom

1. Laat zien dat

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

[latex]H_{2 n}(0)=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}[/latex]

Oplossing:

Om het resultaat te laten zien hebben we

H2n(x) =

[latex]H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}[/latex]

nemend x=0 hier krijgen we

[latex]\begin{uitgelijnd} H_{2 n}(0) &=\frac{(-1)^{n}(2 n) !}{(n) !}=(-1)^{n} \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2) \cdot \ldots}{n(n-1)(n-2) \ldots \ldots 1} \\ &=(-1) ^{n} \frac{2(2 n-1) 2(2 n-3) 2(2 n-5) 2 \cdot \ldots 2.1}{n !} n ! \\ &=(-1)^{n} 2^{n} \cdot 2^{n} \frac{(2 n-1)}{2} \frac{(2 n-3)}{2} \frac{(2 n-5)}{2} \\ &=(-1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac {3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right) \ldots \ldots\left(\frac{2 n- 3}{2}\right)\left(\frac{2 n-1}{2}\right) \\&=(-1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1 }{2}\right)^{m} \end{aligned}[/latex]

2. Laat zien dat

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

[latex]H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}[/latex]

Oplossing:

Omdat uit de herhalingsrelatie

H'n(x) = 2nHn-1(X)

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

hier vervang n door 2n+1 dus

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(X)

[latex]H_{2 n+1}^{\prime}(x)=2(2 n+1) H_{2 n}(x)[/latex]

x=0 . nemen

[latex]\begin{uitgelijnd}
H_{2 n+1}^{\prime}(0) &=2(2 n+1) H_{2 n}(0) \\
&=2(2 n+1)(-1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\
&=(2 n+1)(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left[\frac{(2 n-1)(2 n-3) \ldots \ldots 3.1}{2 ^{n}}\rechts]\\
&=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right) \ldots \ldots\left(\frac{3}{2}+n-1\right)\right] \\
&=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}
\end{uitgelijnd}[/latex]

3. Zoek de waarde van

H2n + 1(0)

[latex]H_{2 n+1}(0)[/latex]

oplossing

Sinds we weten

[latex]H_{2 n+1}(x)=\sum_{k=0}^{2 n+1 / 2} \frac{(-1)^{k}(2 n+1) !(2 x)^{2 n+1-2 k}}{k !(2 n+1-2 k)}
[/latex]

gebruik x=0 hier

H2n-1(0) = 0

[latex]\daarom H_{2 n+1}(0)=0[/latex]

4. Zoek de waarde van H'2n(0).

oplossing :

we hebben de herhalingsrelatie

H'n(x) = 2nHn-1(X)

[latex]H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

vervang hier n door 2n

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)

[latex]H^{\prime}_{2 n}(x)=2(2 n) H_{2 n-1}(x)[/latex]

zet x=0

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

[latex]H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0[/latex]

5. Toon het volgende resultaat

[latex]\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=\frac{2^{n}(n) !}{( nm) !} H_{nm} \quad m<n
[/latex]

oplossing :

De herhalingsrelatie gebruiken

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

[latex]H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

so

[latex]\begin{uitgelijnd}
\quad \frac{d}{dx}\left\{H_{n}(x)\right\} &=2 m H_{n-1}(x) \\
\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left\{H_{n}(x)\right\} &=2 n \frac{d}{dx}\left[H_{ n-1}(x)\rechts] \\
&=2 n H^{\prime} n-1 \atop(x) \\
&=2 n\links[2(n-1) H_{n-2}(x)\rechts] \\
&=2^{2} n(n-1) H_{n-2}(x)
\end{uitgelijnd}[/latex]

en

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)

[latex]\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)[/latex]

dit m keer differentiëren

[latex]\frac{d^{m}}{d^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{m} n(n-1) \ldots \ldots (n-m+1) H_{nm}(x)\\=\frac{2^{\prime m}}{(nm) !} H_{nw}(x), m

wat geeft

[latex]\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left{H_{n}(x)\right}=\frac{2^{n}(n) !}{(nm) !} H_{nm} \quad m<n
[/latex]

6. Laat zien dat

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

[latex]H_{n}(-x)=(-1)^{n} H_{n}(x)[/latex]

oplossing :

we kunnen schrijven

[latex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}=e^{2 nt^{2}}=e^{ 2 \pi} e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x)^{n} t^{n}}{n !} \times \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1) t^{2 n}}{n !}[/latex]

[latex]=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k}(2 x)^{n-2 k }}{k(n-2k) !}[/latex]

van de coëfficiënt van tn we

[latex]H_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{ k !(n-2 k) !}[/latex]

en voor -x

[latex]\begin{uitgelijnd}
H_{n}(-x) &=\sum_{k=0}^{\pi / 2} \frac{(-1)^{k} n !(-2 x)^{n-2 k}} {k(n-2 k) !} \\
&=\sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k}(-1)^{n-2 k} n !(2 x)^{n-2 k} }{k(n-2 k) !} \\
&=(-1)^{n} \sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{k (n-2 k) !}=(-1)^{n} H_{n}(x)
\end{uitgelijnd}[/latex]

7. Evalueer de integraal en toon

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{x}\left[2 ^{n-1} m \mid 8_{m, n-1}+2^{n}(n+1) \delta_{n * 1, m}\right] .[/latex]

oplossing : Gebruik voor het oplossen van deze integraal integratiedelen als

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\left[-\frac{1}{2} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right]_{-\infty}^{\infty} \\
\quad+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{d}{dx}\left\{H_{n}(x ) H_{m}(x)\right\} dx \\
=0+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{d}{dx}\left\{H_{n}( x) H_{m}(x)\right\} dx \text { (Orthogonaliteitseigenschap) }
\end{array}[/latex]

Nu differentiatie onder het Integraal teken differentiëren met

respect voor x

[latex]=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left\{H_{n}^{\prime}(x) H_{m}(x)+H_{n}(x) H_{m}^{\prime}(x)\right\} dx[/latex]

gebruik

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

en

H'm(x) = 2mHm-1 (X)

[latex]H_{m}^{\prime}(x)=2 m H_{m-1}(x)[/latex]

we

[latex]\begin{array}{l}
=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[2 n H_{n-1}(x) H_{m}( x)+2 m H_{n}(x) H_{m-1}(x)\rechts] dx \\
=n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n-1}(x) H_{m}(x) d x+m \int_{-\infty }^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m-1}(x) dx \\
=n \sqrt{\pi} 2^{n-1}(n-1) ! \delta_{m, n-1}+m \sqrt{\pi} 2^{n} n ! \delta_{n, m-1}
\end{array}[/latex]

en sindsdien

𝝳 n,m-1 =n+1, m

[latex]\delta_{n, m-1}=\delta_{n+1, m}[/latex]

dus de waarde van integraal zal zijn

[latex]=\sqrt{\pi}\left[2^{n-1} n ! \delta_{m, n-1}+2^{n}(n+1) ! \delta_{n+1, m}\rechts][/latex]

Conclusie:

De specifieke polynoom die vaak voorkomt bij toepassing is Hermite polynoom, dus de basisdefinitie, genererende functie, recursierelaties en voorbeelden met betrekking tot Hermite Polynoom werden hier in het kort besproken, als u meer informatie nodig heeft, ga door

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Voor meer berichten over wiskunde, volg onze Wiskunde pagina

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistent-professor in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Grote kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en zelfverklarend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws