INLEIDING
Wat is wiskunde? Is het een berekening? Is het logisch? Zijn het symbolen? Afbeeldingen? Grafieken? Blijkt dat het dit allemaal is en nog veel meer. HET IS MAAR EEN TAAL. De universele taal, met zijn symbolen, karakters, uitdrukkingen, vocabulaire, grammatica, alles wat een taal maakt, allemaal perfect beredeneerd, uniek en ondubbelzinnig in hun betekenis. Het is de taal waarin de wetten van het universum zijn geschreven. Daarom is het de taal die we moeten leren en onderzoeken om de mysteries van de natuur te ontrafelen. We moeten onze discussie over een van de mooiste en meest fundamentele wiskundige onderwerpen, FUNCTIETHEORIE, beginnen met deze filosofie.
WAT ZIJN UITDRUKKINGEN, VERGELIJKINGEN EN IDENTITEITEN?
Zoals alle goed gedefinieerde talen, heeft wiskunde zijn eigen set symbolen en tekens, numeriek en alfabetisch. Een uitdrukking in de wiskunde is een combinatie van dergelijke symbolen en karakters. Deze zullen hierin allemaal worden uitgelegd functie theorie discussie.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Dit zijn allemaal wiskundige uitdrukkingen. Het maakt niet uit of ze geëvalueerd kunnen worden of niet, of ze zinvol zijn en of ze de juiste syntaxis volgen, het zijn uitdrukkingen.
Als we nu twee uitdrukkingen vergelijken met een '=' teken, hebben we zoiets als ...
(1+x)2 = 1+2x+x2
Dat is een uitdrukking voor gelijkheid van twee uitdrukkingen geschreven aan weerszijden van een = -teken. Merk op dat deze gelijkheid geldt voor alle waarden van x. Dit soort gelijkheden wordt IDENTITEITEN genoemd.
(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)
Of zoals
(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)
Dan zijn ze niet waar voor alle waarden van x, maar zouden ze waar zijn voor sommige waarden van x zoals (2) of ze zouden waar zijn voor NO waarden van x, zoals (1). Dit worden VERGELIJKINGEN genoemd.
Dus om samen te vatten, gelijkheden die gelden voor alle waarden van de variabelen, zijn IDENTITEITEN. En gelijkheden die gelden voor sommige of geen waarden van de variabelen zijn VERGELIJKINGEN.
WAAROM HEBBEN WE HET BEGRIP FUNCTIE NODIG?
Is het niet verbazingwekkend dat het universum zo perfect in balans is? Een systeem van zo'n enorme omvang gemaakt van zoveel kleinere systemen, elk met zoveel variabelen die met elkaar in wisselwerking staan, maar toch zo braaf. Lijkt het er niet op dat alles wordt beheerst door een reeks regels, ongezien maar overal aanwezig? Neem het voorbeeld van de zwaartekracht. Het is omgekeerd evenredig met de afstand tussen lichamen, en deze regel wordt overal in het universum door alle zaken gevolgd. We moeten dus een manier hebben om dergelijke regels uit te drukken, zoals verbanden tussen variabelen.
We zijn omringd door dergelijke variabelen die afhankelijk zijn van andere variabelen. De lengte van de schaduw van een gebouw hangt af van de hoogte en het tijdstip van de dag. De afstand die met de auto wordt afgelegd, is afhankelijk van het door de motor gegenereerde koppel. Het is het concept van de functietheorie dat ons in staat stelt om dergelijke relaties wiskundig uit te drukken.
WAT IS EEN FUNCTIE IN WISKUNDE?
Functieregel of FUNCTIE als een regel
Simpel gezegd: een functie is een regel die twee of meer variabelen bindt. Als de variabelen alleen reële waarden mogen aannemen, is het gewoon een uitdrukking die een regel definieert of een set regels die een reëel getal toewijst aan elk van bepaalde reële getallen.
Nu vereist deze definitie zeker enige verduidelijking die wordt gegeven door de voorbeelden zoals
1. De regel die de derde macht van dat getal aan elk getal toewijst.
f(x) = x3
2. De regel die toewijst (x2-x-1)/x3 aan elke x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. De regel die (x2-x-1)/(x2+ x + 1) voor alle x die niet gelijk zijn aan 1 en het getal 0 tegen 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) voor x ≠ 1
= 0 voor x = 1
- f(x) = x2
voor -1 <x <π / 3
- De regel die toewijst
2 tot nummer 5
3 tot nummer 8/3
π / 2 tot nummer 1
en aan de rest
- De regel die aan een getal x toekent, het aantal enen in de decimale uitbreiding als de telling eindig is en 1 als er oneindig veel enen in de uitbreiding zijn.
Deze voorbeelden zouden één ding heel duidelijk moeten maken dat een functie een regel is die getallen toewijst aan specifieke andere getallen. Deze regels kunnen niet altijd worden uitgedrukt door algebraïsche formulering. Deze wijzen misschien niet eens op één unieke voorwaarde die van toepassing is op alle nummers. En het hoeft geen regel te zijn die je in de praktijk of in de echte wereld kunt vinden, zoals die in regel 6. Niemand kan vertellen welk getal deze regel toekent aan het getal π of √2. De regel is mogelijk ook niet van toepassing op sommige nummers. Regel 2 is bijvoorbeeld niet van toepassing op x=0. De reeks getallen waarop de regel van toepassing is, wordt het DOMAIN van de functie genoemd.
DUS WAT BETEKENT y = f (x)?
Merk op dat we de uitdrukking y=f(x) gebruiken om een functie te schrijven. Telkens wanneer we een uitdrukking beginnen met 'f(x) = y', bedoelen we dat we op het punt staan een functie te definiëren die een reeks getallen relateert aan een reeks waarden van de variabele x.
FUNCTIE als relatie
Met andere woorden, en misschien in meer algemene zin, een functie is een relatie tussen twee sets A en B, waarbij aan alle elementen in set A een element is toegewezen uit set B. De elementen uit set B heten de AFBEELDINGEN en de elementen van set A worden de VOORBEELDEN.
Het proces van het relateren van de elementen wordt genoemd MAPPING. Er kunnen natuurlijk veel manieren zijn waarop deze toewijzingen kunnen worden gedaan, maar we zouden ze niet allemaal als functies aanroepen. Alleen die mappings die de elementen zodanig met elkaar in verband brengen dat elk element in set A precies één afbeelding in set B heeft, mogen functies worden genoemd. Het wordt soms geschreven als f: A–> B. Dit moet worden gelezen als 'f is een functie van A naar B'.
De set A heet de DOMEIN van de functie en de set B heet de CO-DOMEIN van de functie. Als f zodanig is dat de afbeelding van een element a van set A het element b is van set B, dan schrijven we f (a) = b, gelezen als 'f van a is gelijk aan b', of 'b is de waarde van f bij a ', of' b is het beeld van a onder f '.
SOORTEN FUNCTIES
Functies kunnen worden geclassificeerd op basis van de manier waarop ze de twee sets met elkaar in verband brengen.
Een - een of injectieve functie
De figuur zegt het allemaal. Het is wanneer een functie elk element van een set relateert aan een uniek element van een andere set, het is een een-op-een of injectieve functie.
Veel - een functie
Nogmaals, het cijfer spreekt voor zich. Blijkbaar zijn er meer dan één voorafbeelding voor een bepaalde afbeelding. Daarom is het in kaart brengen veel op één. Merk op dat het de definitie van een functie niet schendt, aangezien geen enkel element uit set A meer dan één afbeelding in set B heeft.
ONTO-functie of SURJECTIVE-functie
Als alle elementen van set B ten minste één voorafbeelding hebben, wordt de functie Onto of surjectief genoemd. Op mapping kan een op een of veel op een zijn. De hierboven afgebeelde is klaarblijkelijk veel op een kaart. Merk op dat de afbeelding die eerder werd gebruikt om een-op-een mapping weer te geven, ook op mapping is. Dit soort één-op-één op mapping is ook bekend als BIJECTIEF in kaart brengen.
In functie
Als er ten minste één afbeelding is zonder voorafbeelding, is dit een INTO-functie. In functie kan één op één of veel op één zijn. De hierboven afgebeelde is duidelijk één op één in.
GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE
Zoals eerder is gezegd dat een functie reële getallen toewijst aan bepaalde reële getallen, is het heel goed mogelijk en handig om het paar getallen op XY Cartesiaans vlak te plotten. Het spoor dat wordt verkregen door de punten te verbinden, is de grafiek van de functie.
Laten we een functie beschouwen f(x) = x + 3. Dan kunnen we f(x) evalueren op x=1,2,3 om drie paren van x en f(x) te verkrijgen als (1,4) , ( 3,6) en (5,8). Door deze punten uit te zetten en te verbinden, blijkt dat de functie een rechte lijn in het xy-vlak volgt. Deze lijn is de grafiek van de functie.
Het is duidelijk dat de aard van het spoor zal variëren naargelang de uitdrukking voor de functie. Zo krijgen we een reeks grafieken voor verschillende soorten uitdrukkingen. Er worden er een paar gegeven.
De grafieken van f(x) = sin x, f(x) = x2 en f(x) = ex van links naar rechts
Op dit punt kan men zien dat de uitdrukking voor een functie er eigenlijk uitziet als die van een vergelijking. En het is waar, bijvoorbeeld y = x + 3 is inderdaad zowel een vergelijking als een functiedefinitie. Dit brengt ons de vraag, zijn alle vergelijkingsfuncties? Zoniet dan
Hoe weet je of een vergelijking een functie is?
Alle vergelijkingen die in de eerdere grafieken zijn weergegeven, zijn eigenlijk functies, want voor al die vergelijkingen is er precies één waarde van f(x) of y voor een bepaalde waarde van x. Dit betekent dat de uitdrukking voor f(x) slechts één waarde zou moeten opleveren wanneer geëvalueerd voor een waarde van x. Dit geldt voor elke lineaire vergelijking. Maar als we de vergelijking y . beschouwen2 = 1x2vinden we dat er altijd twee oplossingen zijn voor alle x binnen 0 tot 1, met andere woorden, twee afbeeldingen worden toegewezen aan elke waarde van x binnen zijn bereik. Dit is in strijd met de definitie van een functie en kan daarom geen functie worden genoemd.
Dit zou uit de grafiek duidelijker moeten lijken dat er precies twee afbeeldingen van elke x zijn, aangezien een verticale lijn die op een willekeurig punt op de x-as wordt getekend, de grafiek op precies twee punten zal uitsnijden.
Dit brengt ons dus tot een belangrijke conclusie: niet alle vergelijkingen zijn functies. En of een vergelijking een functie is, kan worden geverifieerd door de verticale lijntest, wat simpelweg een variabele verticale lijn voorstelt op elk punt op de x-as en kijken of deze de grafiek op een enkel punt ontmoet.
Dit beantwoordt ook een andere belangrijke vraag, namelijk: hoe weet je of een functie één op één is? Dat antwoord staat zeker ook in de grafiek en kan worden geverifieerd door de verticale lijntest.
Nu zou je je kunnen afvragen of er een manier is om hetzelfde te vertellen zonder de grafiek te verkrijgen, of dat het algebraïsch verteld kan worden, aangezien het niet altijd gemakkelijk is om grafieken van functies te tekenen. Het antwoord is ja. Het kan eenvoudigweg worden gedaan door te testen dat f(a)=f(b) a=b impliceert. Dit wil zeggen dat zelfs als f(x) dezelfde waarde aanneemt voor twee waarden van x, de twee waarden van x niet verschillend kunnen zijn. Laten we een voorbeeld van de functie nemen
y = (x-1) / (x-2)
Zoals je zou opmerken, is het moeilijk om de grafiek van deze functie te plotten, omdat deze niet-lineair van aard is en niet past in de beschrijving van een bekende curve en bovendien niet is gedefinieerd als x = 2. Dit probleem vraagt dus zeker om een andere benadering dan de verticale lijntest.
Dus we beginnen met te laten
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Dit is alleen mogelijk voor a-b=0 of a=b
De functie is dus inderdaad één op één, en we hebben het bewezen zonder grafieken.
Nu zouden we willen zien wanneer een functie deze test niet doorstaat. Misschien willen we de vergelijking testen van de cirkel die we eerder hebben getest. We beginnen met schrijven
f (a) = f (b)
f(x) = x2
=> een2=b2
a2 =b2
=> a = b of a = -b
Wat simpelweg betekent dat er andere oplossingen zijn dan a = b, dus f (x) is geen functie.
IS HET ZO MOEILIJK OM TE PLOTEN y = (x-1) / (x-2)?
We gaan de grafieken van een functie in de komende artikelen veel gedetailleerder bespreken, maar hier is het noodzakelijk om vertrouwd te raken met de basisprincipes van grafieken, aangezien het enorm helpt bij het oplossen van problemen. Een visuele interpretatie van een calculusprobleem maakt het probleem vaak erg gemakkelijk en weten hoe je een functie moet plotten is de sleutel tot een goede visuele interpretatie.
Dus om de grafiek van (x-1)/(x-2) te plotten, we beginnen met enkele kritische observaties zoals
1. De functie wordt 0 bij x = 1.
2. De functie wordt ongedefinieerd bij x = 2.
3. De functie is overal positief behalve 1
Omdat in dit interval (x-1) positief is en (x-2) negatief, is hun verhouding hierdoor negatief.
4. Als x naar -∞ gaat, nadert de functie de eenheid vanaf de onderkant, wat betekent dat het dichtbij 1 komt, maar altijd kleiner is dan 1.
Omdat voor x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 as | x | +2> | x | +1
5. Als x naar + ∞ gaat, nadert de functie de eenheid vanaf de bovenkant, wat betekent dat het dicht bij 1 komt maar altijd groter is dan 1.
6. Als x vanaf de linkerkant naar 2 gaat, gaat de functie naar -∞.
7. Als x vanaf de rechterkant naar 2 gaat, gaat de functie naar + ∞.
8. De functie neemt altijd af voor x> 2.
BEWIJS:
We nemen twee dichte waarden van x als (a, b) zodat (a, b)> 2 en b> a
nu, f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 als (ab) <0 voor b> a
en (a-2) (b-2)> 0 als (a, b)> 2
Dit impliceert f (b) 2, met andere woorden f (x) is strikt afnemend voor x> 2
- 9. De functie neemt altijd af voor x <2
- BEWIJS: hetzelfde als voorheen. We laten het aan jou over om te proberen.
Door deze waarnemingen te combineren, is het tekenen van grafieken vrij eenvoudig. Door 4,9 en 6 te combineren, kunnen we zeggen dat als x van -∞ naar 2 gaat, het spoor begint bij eenheid en geleidelijk daalt om 0 aan te raken bij x = 1 en verder daalt tot -∞ bij x = 2. Nogmaals door 7,5 en 8 te combineren, is het gemakkelijk te zien dat als x van 2 naar + ∞ gaat, het spoor begint te vallen van + ∞ en steeds dichter bij de eenheid komt en het nooit echt aanraakt.
Hierdoor ziet de complete grafiek eruit
Nu wordt duidelijk dat de functie inderdaad één op één is.
CONCLUSIE
Tot dusver hebben we de basisprincipes van de functietheorie besproken. We zouden nu duidelijk moeten zijn over de definities en soorten functies. We hadden ook een klein idee van grafische interpretatie van functies. Het volgende artikel zal veel meer details behandelen over concepten zoals bereik en domein, inverse functies, verschillende functies en hun grafieken, en veel uitgewerkte problemen. Om dieper op de studie in te gaan, wordt u aangemoedigd om te lezen
Calculus door Michael Spivak.
Algebra door Michael Artin.
Voor meer wiskundeartikel, alstublieft klik hier.
Het TechieScience Core MKB-team is een groep ervaren vakexperts uit diverse wetenschappelijke en technische vakgebieden, waaronder natuurkunde, scheikunde, technologie, elektronica en elektrotechniek, auto-industrie en werktuigbouwkunde. Ons team werkt samen om hoogwaardige, goed onderbouwde artikelen te creëren over een breed scala aan wetenschappelijke en technologische onderwerpen voor de TechieScience.com-website.
Al onze senior MKB-bedrijven hebben meer dan 7 jaar ervaring op de betreffende gebieden. Ze zijn professionals uit de werkende industrie of verbonden aan verschillende universiteiten. Refereren Onze auteurs Pagina om meer te weten te komen over onze kern-KMO's.
