Inverse gammaverdeling: 21 belangrijke feiten


Inverse gammadistributie en momentgenererende functie van gammadistributie

      In het verlengde van de gammadistributie zullen we het concept van inverse gammadistributie en momentgenererende functie, meting van het gemiddelde van de centrale tendensen, modus en mediaan van gammadistributie zien door enkele van de basiseigenschappen van gammadistributie te volgen.

gamma-distributie-eigenschappen

Enkele belangrijke eigenschappen van gammaverdeling zijn als volgt ingelijfd:

De kansdichtheidsfunctie voor de gamma-verdeling is

or

waar de gammafunctie is

2. de cumulatieve verdelingsfunctie voor de gammadistributie is

waarbij f (x) de kansdichtheidsfunctie is zoals hierboven gegeven in het bijzonder is cdf

en

respectievelijk of

E [X] = α * β

en

  • De momentgenererende functie M (t) voor de gamma-verdeling is

or

  • De curve voor de pdf en cdf is
Inverse gammadistributie
  • De inverse gammadistributie kan worden gedefinieerd door reciproque te nemen van de kansdichtheidsfunctie van gammadistributie als
  • De som van de onafhankelijke gammadistributie is weer de gammadistributie met de som van de parameters.

inverse gammadistributie | normale inverse gammadistributie

                Als in de gammadistributie in de kansdichtheidsfunctie

or

nemen we de variabele reciproque of inverse, dan zal de kansdichtheidsfunctie zijn

Het is dus bekend dat de willekeurige variabele met deze kansdichtheidsfunctie de inverse willekeurige willekeurige variabele of de inverse gammadistributie of de omgekeerde gammadistributie is.

De bovenstaande kansdichtheidsfunctie in elke parameter die we kunnen aannemen in de vorm van lambda of theta. De kansdichtheidsfunctie die het omgekeerde is van de gammadistributie is de kansdichtheidsfunctie van de inverse gammadistributie.

Cumulatieve verdelingsfunctie of cdf van inverse gammadistributie

                De cumulatieve verdelingsfunctie voor de inverse gammadistributie is de verdelingsfunctie

waarin de f (x) de kansdichtheidsfunctie is van de inverse gammadistributie als

Gemiddelde en variantie van de inverse gammadistributie

  Het gemiddelde en de variantie van de inverse gammadistributie door de gebruikelijke definitie van verwachting en variantie te volgen, zullen zijn

en

Gemiddelde en variantie van het omgekeerde gammadistributiebewijs

        Om het gemiddelde en de variantie van de inverse gammadistributie te krijgen met behulp van de kansdichtheidsfunctie

en de definitie van verwachtingen, vinden we eerst de verwachting voor elke macht van x as

in de bovenstaande integraal gebruikten we de dichtheidsfunctie als

nu voor de waarde van α groter dan één en n als één

op dezelfde manier is de waarde voor n = 2 voor alfa groter dan 2

het gebruik van deze verwachtingen geeft ons de waarde van variantie als

Invers gamma-distributieplot | Inverse gammadistributiegrafiek

                De omgekeerde gammadistributie is het omgekeerde van de gammadistributie, dus terwijl je de gammadistributie observeert, is het goed om de aard van de curven van de inverse gammadistributie te observeren met een kansdichtheidsfunctie als

en de cumulatieve verdelingsfunctie door te volgen

Inverse gammadistributie
Inverse gammadistributiegrafiek

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te stellen op 1 en de waarde van β te variëren.

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te leggen op 2 en de waarde van β te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te leggen op 3 en de waarde van β te variëren.

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 1 en de waarde van α te variëren.

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 2 en de waarde van α te variëren

Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 3 en de waarde van α te variëren.

momentgenererende functie van gammadistributie

Voordat we het concept van de momentgenererende functie voor de gammadistributie begrijpen, laten we ons een idee van een momentgenererende functie herinneren

Moments

    Het moment van de willekeurige variabele wordt gedefinieerd met behulp van verwachting als:

dit staat bekend als het r-de moment van de willekeurige variabele X het is het moment over de oorsprong en algemeen bekend als het ruwe moment.

     Als we het r-de moment van de willekeurige variabele nemen rond de gemiddelde μ as

dit moment over het gemiddelde staat bekend als het centrale moment en de verwachting zal zijn zoals de aard van de willekeurige variabele als

op het centrale moment als we waarden van r plaatsen, krijgen we enkele beginmomenten als

Als we de binominale expansie op de centrale momenten nemen, kunnen we gemakkelijk de relatie tussen de centrale en ruwe momenten krijgen als

enkele van de aanvankelijke relaties zijn als volgt

Moment genererende functie

   De momenten die we kunnen genereren met behulp van een functie die functie staat bekend als momentgenererende functie en wordt gedefinieerd als

deze functie genereert de momenten met behulp van expansie van de exponentiële functie in beide vormen

met behulp van Taylors-formulier als

het differentiëren van deze uitgebreide functie ten opzichte van t geeft de verschillende momenten als

op een andere manier als we de afgeleide rechtstreeks nemen als

sinds voor beide discreet

en continu hebben we

dus voor t = 0 krijgen we

hetzelfde

as

en in het algemeen

er zijn momenteel twee belangrijke relaties die functies genereren

momentgenererende functie van een gammadistributie | mgf van gamma-distributie | momentgenererende functie voor gammadistributie

Nu voor de gamma distributie de momentgenererende functie M(t) voor de pdf

is

en voor de pdf

de momentgenererende functie is

gamma distributie moment genereren functie proof | mgf van gamma-distributiebewijs

    Neem nu eerst de vorm van de kansdichtheidsfunctie als

[latex]f(x) = \begin{gevallen} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{cases}[/latex]

en met behulp van de definitie van momentgenererende functie M (t) die we hebben

we kunnen het gemiddelde en de variantie van de gammadistributie vinden met behulp van de momentgenererende functie als differentiërend met betrekking tot t twee keer deze functie die we krijgen

als we t = 0 plaatsen, is de eerste waarde

en

Breng nu de waarde van deze verwachting in

afwisselend voor de pdf van het formulier

de momentgenererende functie zal zijn

en differentiëren en t = 0 zetten geeft het gemiddelde en de variantie als volgt

2e moment van gammadistributie

   Het tweede moment van gammadistributie door de momentgenererende functie twee keer te differentiëren en de waarde van t = 0 in de tweede afgeleide van die functie te zetten, krijgen we

derde moment van gammadistributie

                Het derde moment van gammadistributie kunnen we vinden door de momentgenererende functie drie keer te differentiëren en de waarde van t = 0 in de derde afgeleide van de mgf te zetten

of direct door te integreren als

 sigma voor gammadistributie

   sigma of standaarddeviatie van gammadistributie kunnen we vinden door de vierkantswortel van variantie van gammadistributie van het type te nemen

or

voor elke gedefinieerde waarde van alpha, beta en lambda.

karakteristieke functie van gammadistributie | gamma distributie karakteristieke functie

      Als de variabele t in de momentgenererende functie puur een denkbeeldig getal is als t = iω dan staat de functie bekend als de karakteristieke functie van gammadistributie, aangeduid en uitgedrukt als

zoals voor elke willekeurige variabele zal de karakteristieke functie zijn

Dus voor de gammadistributie is de karakteristieke functie door de pdf van gammadistributie te volgen

volgend

Er is ook een andere vorm van deze karakteristieke functie als

harte

som van gamma-verdelingen | som van exponentiële distributie gamma

  Om het resultaat van de som van de gammadistributie te kennen, moeten we allereerst de som van de onafhankelijke willekeurige variabele voor de continue willekeurige variabele begrijpen, laten we hiervoor kansdichtheidsfuncties hebben voor de continue willekeurige variabelen X en Y en vervolgens de cumulatieve verdelingsfunctie voor de som van willekeurige variabelen zullen zijn

differentiëren van deze convolutie van integraal voor de kansdichtheidsfuncties van X en Y geeft de kansdichtheidsfunctie voor de som van willekeurige variabelen als

Laten we nu bewijzen dat X en Y de willekeurige gamma-variabelen zijn met respectieve dichtheidsfuncties, dan zal er ook een gamma-verdeling zijn met de som van dezelfde parameters

rekening houdend met de kansdichtheidsfunctie van het formulier

neem voor de willekeurige variabele X alpha als s en voor willekeurige variabele Y neem je alpha als t, dus met behulp van de waarschijnlijkheidsdichtheid voor de som van willekeurige variabelen hebben we

hier is C onafhankelijk van a, nu zal de waarde zijn

die de kansdichtheidsfunctie van de som van X en Y vertegenwoordigen en die van de Gamma-verdeling is, vandaar dat de som van de gamma-verdeling ook de gamma-verdeling vertegenwoordigt door de respectievelijke som van parameters.

wijze van gammadistributie

    Om de wijze van gammadistributie te vinden, beschouwen we de kansdichtheidsfunctie als

differentieer nu deze pdf met betrekking tot x, we krijgen de differentiatie als

dit is nul voor x = 0 of x = (α -1) / λ

dus dit zijn alleen kritieke punten waarbij onze eerste afgeleide nul zal zijn als alfa groter is dan of gelijk is aan nul, dan zal x=0 geen modus zijn omdat dit pdf nul maakt, dus modus zal (α -1)/λ zijn

en voor alfa strikt kleiner dan één neemt de afgeleide af van oneindig naar nul als x toeneemt van nul naar oneindig, dus dit is niet mogelijk, vandaar dat de modus van gamma-distributie is

mediaan van gamma-distributie

De mediaan van de gammadistributie kan worden gevonden met behulp van een inverse gammadistributie als

or

mits

wat geeft

gamma distributie vorm

     Gammadistributie neemt een andere vorm aan, afhankelijk van de vormparameter wanneer de vormparameter één is, gammadistributie is gelijk aan de exponentiële verdeling, maar wanneer we de vormparameter variëren, neemt de scheefheid van de curve van de gammadistributie af naarmate de vormparameter toeneemt, met andere woorden de vorm van de curve van gammadistributie verandert volgens de standaarddeviatie.

scheefheid van gamma-distributie

    scheefheid van elke verdeling kan worden waargenomen door de kansdichtheidsfunctie van die verdeling en scheefheidscoëfficiënt te observeren

voor de gammadistributie die we hebben

so

dit toont aan dat de scheefheid alleen van alfa afhangt als alfa stijgt tot oneindig, de curve meer symmetrisch en scherper zal zijn en als alfa naar nul gaat, is de gammadistributiedichtheidscurve positief scheef, wat kan worden waargenomen in de dichtheidsgrafieken.

gegeneraliseerde gammadistributie | vorm en schaalparameter in gammadistributie | drie parameter gammadistributie | multivariate gammadistributie

waarbij γ, μ en β respectievelijk de vorm-, locatie- en schaalparameters zijn, door specifieke waarden aan deze parameters toe te kennen, kunnen we de gammadistributie met twee parameters specifiek krijgen als we μ = 0, β = 1 plaatsen, dan krijgen we standaard gammadistributie als

met behulp van deze 3-parameter gamma-kansverdelingskansdichtheidsfunctie kunnen we de verwachting en variantie vinden door hun definitie respectievelijk te volgen.

Conclusie:

Het concept van reciproque van gammadistributie dat wil zeggen omgekeerde gammadistributie in vergelijking met gammadistributie en het meten van centrale tendensen van gammadistributie met behulp van de momentgenererende functie waren de focus van dit artikel, als je verder wilt lezen, ga dan door de voorgestelde boeken en links. Bezoek ons ​​voor meer berichten over wiskunde wiskunde pagina.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in de wiskunde en werkzaam als universitair docent in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een enorme kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws