Inverse gammadistributie en momentgenererende functie van gammadistributie
In het verlengde van de gammadistributie zullen we het concept van inverse gammadistributie en momentgenererende functie, meting van het gemiddelde van de centrale tendensen, modus en mediaan van gammadistributie zien door enkele van de basiseigenschappen van gammadistributie te volgen.
gamma-distributie-eigenschappen
Enkele belangrijke eigenschappen van gammaverdeling zijn als volgt ingelijfd:
De kansdichtheidsfunctie voor de gamma-verdeling is
or
waar de gammafunctie is
2. de cumulatieve verdelingsfunctie voor de gammadistributie is
waarbij f (x) de kansdichtheidsfunctie is zoals hierboven gegeven in het bijzonder is cdf
en
respectievelijk of
E [X] = α * β
en
- De momentgenererende functie M (t) voor de gamma-verdeling is
or
- De curve voor de pdf en cdf is
- De inverse gammadistributie kan worden gedefinieerd door reciproque te nemen van de kansdichtheidsfunctie van gammadistributie als
- De som van de onafhankelijke gammadistributie is weer de gammadistributie met de som van de parameters.
inverse gammadistributie | normale inverse gammadistributie
Als in de gammadistributie in de kansdichtheidsfunctie
or
nemen we de variabele reciproque of inverse, dan zal de kansdichtheidsfunctie zijn
Het is dus bekend dat de willekeurige variabele met deze kansdichtheidsfunctie de inverse willekeurige willekeurige variabele of de inverse gammadistributie of de omgekeerde gammadistributie is.
De bovenstaande kansdichtheidsfunctie in elke parameter die we kunnen aannemen in de vorm van lambda of theta. De kansdichtheidsfunctie die het omgekeerde is van de gammadistributie is de kansdichtheidsfunctie van de inverse gammadistributie.
Cumulatieve verdelingsfunctie of cdf van inverse gammadistributie
De cumulatieve verdelingsfunctie voor de inverse gammadistributie is de verdelingsfunctie
waarin de f (x) de kansdichtheidsfunctie is van de inverse gammadistributie als
Gemiddelde en variantie van de inverse gammadistributie
Het gemiddelde en de variantie van de inverse gammadistributie door de gebruikelijke definitie van verwachting en variantie te volgen, zullen zijn
en
Gemiddelde en variantie van het omgekeerde gammadistributiebewijs
Om het gemiddelde en de variantie van de inverse gammadistributie te krijgen met behulp van de kansdichtheidsfunctie
en de definitie van verwachtingen, vinden we eerst de verwachting voor elke macht van x as
in de bovenstaande integraal gebruikten we de dichtheidsfunctie als
nu voor de waarde van α groter dan één en n als één
op dezelfde manier is de waarde voor n = 2 voor alfa groter dan 2
het gebruik van deze verwachtingen geeft ons de waarde van variantie als
Invers gamma-distributieplot | Inverse gammadistributiegrafiek
De omgekeerde gammadistributie is het omgekeerde van de gammadistributie, dus terwijl je de gammadistributie observeert, is het goed om de aard van de curven van de inverse gammadistributie te observeren met een kansdichtheidsfunctie als
en de cumulatieve verdelingsfunctie door te volgen
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te stellen op 1 en de waarde van β te variëren.
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te leggen op 2 en de waarde van β te variëren
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van α vast te leggen op 3 en de waarde van β te variëren.
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 1 en de waarde van α te variëren.
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 2 en de waarde van α te variëren
Beschrijving: grafieken voor de kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie door de waarde van β vast te leggen op 3 en de waarde van α te variëren.
momentgenererende functie van gammadistributie
Voordat we het concept van de momentgenererende functie voor de gammadistributie begrijpen, laten we ons een idee van een momentgenererende functie herinneren
Moments
Het moment van de willekeurige variabele wordt gedefinieerd met behulp van verwachting als:
dit staat bekend als het r-de moment van de willekeurige variabele X het is het moment over de oorsprong en algemeen bekend als het ruwe moment.
Als we het r-de moment van de willekeurige variabele nemen rond de gemiddelde μ as
dit moment over het gemiddelde staat bekend als het centrale moment en de verwachting zal zijn zoals de aard van de willekeurige variabele als
op het centrale moment als we waarden van r plaatsen, krijgen we enkele beginmomenten als
Als we de binominale expansie op de centrale momenten nemen, kunnen we gemakkelijk de relatie tussen de centrale en ruwe momenten krijgen als
enkele van de aanvankelijke relaties zijn als volgt
Moment genererende functie
De momenten die we kunnen genereren met behulp van een functie die functie staat bekend als momentgenererende functie en wordt gedefinieerd als
deze functie genereert de momenten met behulp van expansie van de exponentiële functie in beide vormen
met behulp van Taylors-formulier als
het differentiëren van deze uitgebreide functie ten opzichte van t geeft de verschillende momenten als
op een andere manier als we de afgeleide rechtstreeks nemen als
sinds voor beide discreet
en continu hebben we
dus voor t = 0 krijgen we
hetzelfde
as
en in het algemeen
er zijn momenteel twee belangrijke relaties die functies genereren
momentgenererende functie van een gammadistributie | mgf van gamma-distributie | momentgenererende functie voor gammadistributie
Nu voor de gamma distributie de momentgenererende functie M(t) voor de pdf
is
en voor de pdf
de momentgenererende functie is
gamma distributie moment genereren functie proof | mgf van gamma-distributiebewijs
Neem nu eerst de vorm van de kansdichtheidsfunctie als
en met behulp van de definitie van momentgenererende functie M (t) die we hebben
we kunnen het gemiddelde en de variantie van de gammadistributie vinden met behulp van de momentgenererende functie als differentiërend met betrekking tot t twee keer deze functie die we krijgen
als we t = 0 plaatsen, is de eerste waarde
en
Breng nu de waarde van deze verwachting in
afwisselend voor de pdf van het formulier
de momentgenererende functie zal zijn
en differentiëren en t = 0 zetten geeft het gemiddelde en de variantie als volgt
2e moment van gammadistributie
Het tweede moment van gammadistributie door de momentgenererende functie twee keer te differentiëren en de waarde van t = 0 in de tweede afgeleide van die functie te zetten, krijgen we
derde moment van gammadistributie
Het derde moment van gammadistributie kunnen we vinden door de momentgenererende functie drie keer te differentiëren en de waarde van t = 0 in de derde afgeleide van de mgf te zetten
of direct door te integreren als
sigma voor gammadistributie
sigma of standaarddeviatie van gammadistributie kunnen we vinden door de vierkantswortel van variantie van gammadistributie van het type te nemen
or
voor elke gedefinieerde waarde van alpha, beta en lambda.
karakteristieke functie van gammadistributie | gamma distributie karakteristieke functie
Als de variabele t in de momentgenererende functie puur een denkbeeldig getal is als t = iω dan staat de functie bekend als de karakteristieke functie van gammadistributie, aangeduid en uitgedrukt als
zoals voor elke willekeurige variabele zal de karakteristieke functie zijn
Dus voor de gammadistributie is de karakteristieke functie door de pdf van gammadistributie te volgen
volgend
Er is ook een andere vorm van deze karakteristieke functie als
harte
som van gamma-verdelingen | som van exponentiële distributie gamma
Om het resultaat van de som van de gammaverdeling te kennen, moeten we eerst de som van de onafhankelijke willekeurige variabele voor de begrijpen continue willekeurige variabeleLaten we hiervoor waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties hebben voor de continue willekeurige variabeles X en Y dan zal de cumulatieve verdelingsfunctie voor de som van willekeurige variabelen zijn
differentiëren van deze convolutie van integraal voor de kansdichtheidsfuncties van X en Y geeft de kansdichtheidsfunctie voor de som van willekeurige variabelen als
Laten we nu bewijzen dat X en Y de willekeurige gamma-variabelen zijn met respectieve dichtheidsfuncties, dan zal er ook een gamma-verdeling zijn met de som van dezelfde parameters
rekening houdend met de kansdichtheidsfunctie van het formulier
neem voor de willekeurige variabele X alpha als s en voor willekeurige variabele Y neem je alpha als t, dus met behulp van de waarschijnlijkheidsdichtheid voor de som van willekeurige variabelen hebben we
hier is C onafhankelijk van a, nu zal de waarde zijn
die de kansdichtheidsfunctie van de som van X en Y vertegenwoordigen en die van de Gamma-verdeling is, vandaar dat de som van de gamma-verdeling ook de gamma-verdeling vertegenwoordigt door de respectievelijke som van parameters.
wijze van gammadistributie
Om de wijze van gammadistributie te vinden, beschouwen we de kansdichtheidsfunctie als
differentieer nu deze pdf met betrekking tot x, we krijgen de differentiatie als
dit is nul voor x = 0 of x = (α -1) / λ
dus dit zijn alleen kritieke punten waarbij onze eerste afgeleide nul zal zijn als alfa groter is dan of gelijk is aan nul, dan zal x=0 geen modus zijn omdat dit pdf nul maakt, dus modus zal (α -1)/λ zijn
en voor alfa strikt kleiner dan één neemt de afgeleide af van oneindig naar nul als x toeneemt van nul naar oneindig, dus dit is niet mogelijk, vandaar dat de modus van gamma-distributie is
mediaan van gamma-distributie
De mediaan van de gammadistributie kan worden gevonden met behulp van een inverse gammadistributie als
or
mits
wat geeft
gamma distributie vorm
Gammadistributie neemt een andere vorm aan, afhankelijk van de vormparameter wanneer de vormparameter één is, gammadistributie is gelijk aan de exponentiële verdeling, maar wanneer we de vormparameter variëren, neemt de scheefheid van de curve van de gammadistributie af naarmate de vormparameter toeneemt, met andere woorden de vorm van de curve van gammadistributie verandert volgens de standaarddeviatie.
scheefheid van gamma-distributie
scheefheid van elke verdeling kan worden waargenomen door de kansdichtheidsfunctie van die verdeling en scheefheidscoëfficiënt te observeren
voor de gammadistributie die we hebben
so
dit toont aan dat de scheefheid alleen van alfa afhangt als alfa stijgt tot oneindig, de curve meer symmetrisch en scherper zal zijn en als alfa naar nul gaat, is de gammadistributiedichtheidscurve positief scheef, wat kan worden waargenomen in de dichtheidsgrafieken.
gegeneraliseerde gammadistributie | vorm en schaalparameter in gammadistributie | drie parameter gammadistributie | multivariate gammadistributie
waarbij γ, μ en β respectievelijk de vorm-, locatie- en schaalparameters zijn, door specifieke waarden aan deze parameters toe te wijzen, kunnen we de gammaverdeling met twee parameters specifiek krijgen als we μ = 0, β = 1 plaatsen, dan krijgen we de standaard gammaverdeling als
met behulp van deze 3-parameter gamma-kansverdelingskansdichtheidsfunctie kunnen we de verwachting en variantie vinden door hun definitie respectievelijk te volgen.
Conclusie:
Het concept van reciproque van gammadistributie dat wil zeggen omgekeerde gammadistributie in vergelijking met gammadistributie en het meten van centrale tendensen van gammadistributie met behulp van de momentgenererende functie waren de focus van dit artikel, als je verder wilt lezen, ga dan door de voorgestelde boeken en links. Bezoek ons voor meer berichten over wiskunde wiskunde pagina.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.
Hallo medelezer,
We zijn een klein team bij Techiescience, dat hard werkt tussen de grote spelers. Als je het leuk vindt wat je ziet, deel dan onze inhoud op sociale media. Uw steun maakt een groot verschil. Bedankt!