Content
- Gezamenlijk verdeelde willekeurige variabelen
- Gezamenlijke distributiefunctie | Gezamenlijke cumulatieve kansverdelingsfunctie | gezamenlijke kans massafunctie | gezamenlijke kansdichtheidsfunctie
- Voorbeelden van gezamenlijke distributie
- Onafhankelijke willekeurige variabelen en gezamenlijke distributie
- Voorbeeld van onafhankelijke gezamenlijke distributie
- SOMMEN VAN ONAFHANKELIJKE WILLEKEURIGE VARIABELEN DOOR GEZAMENLIJKE DISTRIBUTIE
- som van onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen
- som van onafhankelijke willekeurige Gamma-variabelen
- som van onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen
- Som van onafhankelijke normale willekeurige variabele | som van onafhankelijke Normale distributie
- Sommen van onafhankelijke willekeurige Poisson-variabelen
- Sommen van onafhankelijke binominale willekeurige variabelen
Gezamenlijk verdeelde willekeurige variabelen
De gezamenlijk verdeelde willekeurige variabelen zijn de willekeurige variabele meer dan één met waarschijnlijkheid gezamenlijk verdeeld voor deze willekeurige variabelen, met andere woorden in experimenten waarbij de verschillende uitkomst met hun gemeenschappelijke waarschijnlijkheid bekend staat als gezamenlijk verdeelde willekeurige variabele of gezamenlijke verdeling, treedt een dergelijke situatie op vaak terwijl ze de problemen van de kansen aanpakken.
Gezamenlijke distributiefunctie | Gezamenlijke cumulatieve kansverdelingsfunctie | gezamenlijke kans massafunctie | gezamenlijke kansdichtheidsfunctie
Voor de willekeurige variabelen X en Y is de verdelingsfunctie of gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie
waarbij de aard van de gezamenlijke kans afhangt van de aard van willekeurige variabelen X en Y, discreet of continu, en de individuele verdelingsfuncties voor X en Y kunnen worden verkregen met behulp van deze gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie als
hetzelfde geldt voor Y als
deze individuele distributiefuncties van X en Y staan bekend als marginale distributiefuncties wanneer gezamenlijke distributie wordt overwogen. Deze verdelingen zijn erg handig om de waarschijnlijkheden te krijgen zoals
en daarnaast is de gezamenlijke kansmassafunctie voor de willekeurige variabelen X en Y gedefinieerd als
de individuele kansmassa- of dichtheidsfuncties voor X en Y kunnen worden verkregen met behulp van een dergelijke gezamenlijke kansmassa- of dichtheidsfunctie zoals in termen van discrete willekeurige variabelen as
en in termen van continue willekeurige variabele zal de gezamenlijke waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie zijn
waarbij C een tweedimensionaal vlak is, en de gezamenlijke verdelingsfunctie voor continue willekeurige variabele zal zijn
de kansdichtheidsfunctie uit deze verdelingsfunctie kan worden verkregen door te differentiëren
en de marginale kans van de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie
as
en
met betrekking tot respectievelijk de willekeurige variabelen X en Y
Voorbeelden van gezamenlijke distributie
- De gezamenlijke kansen voor de willekeurige variabelen X en Y vertegenwoordigen het aantal wiskunde- en statistiekboeken uit een set boeken die 3 wiskunde-, 4 statistiek- en 5 natuurkundeboeken bevat als 3 boeken willekeurig worden genomen
- Vind de joint kansdichtheidsfunctie voor de steekproef van gezinnen met 15% geen kind, 20% 1 kind, 35% 2 kind en 30% 3 kind als het gezin dat we willekeurig uit deze steekproef voor kind kiezen een jongen of een meisje is?
De gezamenlijke waarschijnlijkheid zullen we vinden door de definitie te gebruiken als
en dit kunnen we als volgt in tabelvorm illustreren
- Bereken de kansen
als voor de willekeurige variabelen X en Y de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie wordt gegeven door
met behulp van de definitie van gezamenlijke kans voor continue willekeurige variabele
en de gegeven gewrichtsdichtheidsfunctie zal de eerste kans voor het gegeven bereik zijn
op dezelfde manier de waarschijnlijkheid
en tot slot
- Zoek de gewrichtsdichtheidsfunctie voor het quotiënt X / Y van willekeurige variabelen X en Y als hun gewrichtswaarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie is
Om de kansdichtheidsfunctie voor de functie X / Y te vinden, vinden we eerst de gewrichtsverdelingsfunctie en vervolgens differentiëren we het verkregen resultaat,
dus door de definitie van gewrichtsverdelingsfunctie en gegeven kansdichtheidsfunctie hebben we
dus door deze verdelingsfunctie te differentiëren met betrekking tot a krijgen we de dichtheidsfunctie als
waarbij a tussen nul en oneindig ligt.
Onafhankelijke willekeurige variabelen en gezamenlijke distributie
In het gezamenlijke distributie de kans voor twee willekeurige variabelen X en Y zou onafhankelijk zijn als
waarbij A en B de echte sets zijn. Zoals al in termen van gebeurtenissen weten we dat de onafhankelijke willekeurige variabelen de willekeurige variabelen zijn waarvan de gebeurtenissen onafhankelijk zijn.
Dus voor alle waarden van a en b
en de gezamenlijke distributie of cumulatieve verdelingsfunctie voor de onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y zal zijn
als we de discrete willekeurige variabelen X en Y dan beschouwen
sinds
hetzelfde geldt ook voor de continue willekeurige variabele
Voorbeeld van onafhankelijke gezamenlijke distributie
- Als voor een specifieke dag in een ziekenhuis de ingevoerde patiënten vergiftigd zijn met parameter λ en de kans op mannelijke patiënt als p en de kans op vrouwelijke patiënt als (1-p), laat dan zien dat het aantal mannelijke patiënten en vrouwelijke patiënten dat in het ziekenhuis is binnengekomen zijn onafhankelijke willekeurige poissonvariabelen met parameters λp en λ (1-p)?
overweeg dan het aantal mannelijke en vrouwelijke patiënten per willekeurige variabele X en Y
aangezien X + Y het totale aantal patiënten is dat in het ziekenhuis is opgenomen, wordt het gif zo verdeeld
aangezien de kans op mannelijke patiënt p is en vrouwelijke patiënt (1-p), dus exact van het totale fix-aantal zijn mannelijk of vrouwelijk toont binominale kans als
met behulp van deze twee waarden krijgen we de bovenstaande gezamenlijke kans als
dus de kans op mannelijke en vrouwelijke patiënten zal zijn
en
waaruit blijkt dat ze allebei willekeurige variabelen zijn met de parameters λp en λ (1-p).
2. zoek de kans dat een persoon meer dan tien minuten moet wachten op de vergadering voor een cliënt alsof elke cliënt en die persoon arriveert tussen 12 en 1 uur na uniforme verdeling.
overweeg de willekeurige variabelen X en Y om de tijd voor die persoon en cliënt tussen 12 en 1 aan te duiden, zodat de kans gezamenlijk voor X en Y zal zijn
berekenen
waarbij X, Y en Z een uniforme willekeurige variabele zijn over het interval (0,1).
hier zal de kans zijn
voor de gelijkmatige verdeling de dichtheidsfunctie
voor het gegeven bereik dus
SOMMEN VAN ONAFHANKELIJKE WILLEKEURIGE VARIABELEN DOOR GEZAMENLIJKE DISTRIBUTIE
De som van onafhankelijke variabelen X en Y met de kansdichtheid functioneert als continue willekeurige variabelen, de cumulatieve verdelingsfunctie zal zijn
door deze cumulatieve verdelingsfunctie te differentiëren voor de kansdichtheidsfunctie van deze onafhankelijke sommen
door deze twee resultaten te volgen, zullen we enkele continue willekeurige variabelen zien en hun som als onafhankelijke variabelen
som van onafhankelijke uniforme willekeurige variabelen
voor de willekeurige variabelen X en Y uniform verdeeld over het interval (0,1) is de kansdichtheidsfunctie voor beide onafhankelijke variabelen
dus voor de som X + Y hebben we
voor elke waarde ligt a tussen nul en één
als we a tussen één en twee beperken, zal het zijn
dit geeft de driehoekige vormdichtheidsfunctie
als we generaliseren voor de n onafhankelijke uniforme willekeurige variabelen 1 tot n dan hun verdelingsfunctie
door wiskundige inductie zal zijn
som van onafhankelijke willekeurige Gamma-variabelen
Als we twee onafhankelijke gamma-willekeurige variabelen hebben met hun gebruikelijke dichtheidsfunctie
vervolgens de dichtheid volgen voor de som van onafhankelijke willekeurige gamma-variabelen
dit toont de dichtheidsfunctie voor de som van willekeurige gamma-variabelen die onafhankelijk zijn
som van onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen
Op dezelfde manier als de willekeurige gamma-variabele, de som van onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen, kunnen we dichtheidsfunctie en verdelingsfunctie verkrijgen door gewoon specifiek waarden van willekeurige gamma-variabelen toe te wijzen.
Som van onafhankelijke normale willekeurige variabele | som van onafhankelijke Normale distributie
Als we n aantal onafhankelijke normale willekeurige variabelen hebben Xi , i=1,2,3,4….n met respectievelijke gemiddelden μi en varianties σ2i dan hun som is ook een normale willekeurige variabele met het gemiddelde als Σμi en varianties Σσ2i
We laten eerst de normaal verdeelde onafhankelijke som zien voor twee normale willekeurige variabele X met de parameters 0 en σ2 en Y met de parameters 0 en 1, laten we de kansdichtheidsfunctie voor de som X + Y met vinden
in de gezamenlijke verdelingsdichtheidsfunctie
met behulp van de definitie van de dichtheidsfunctie van de normale verdeling
dus de dichtheidsfunctie zal zijn
wat niets anders is dan de dichtheidsfunctie van a normale verdeling met gemiddelde 0 en variantie (1+-2) volgens hetzelfde argument kunnen we zeggen:
met gebruikelijke gemiddelde en varianties. Als we de uitbreiding nemen en observeren, wordt de som normaal verdeeld met het gemiddelde als de som van de respectievelijke gemiddelden en de variantie als de som van de respectieve varianties,
dus op dezelfde manier zal de n-de som de normaal verdeelde willekeurige variabele zijn met het gemiddelde als Σμi en varianties Σσ2i
Sommen van onafhankelijke willekeurige Poisson-variabelen
Als we twee onafhankelijke Poisson-willekeurige variabelen X en Y hebben met parameters λ1 en λ2 dan is hun som X + Y ook Poisson-willekeurige variabele of Poisson-verdeeld
aangezien X en Y Poisson-verdeeld zijn en we hun som kunnen schrijven als de unie van onsamenhangende gebeurtenissen dus
door gebruik te maken van de waarschijnlijkheid van onafhankelijke willekeurige variabelen
dus we krijgen de som X + Y is ook Poisson verdeeld met de gemiddelde λ1 + λ2
Sommen van onafhankelijke binominale willekeurige variabelen
Als we twee onafhankelijke binominale willekeurige variabelen X en Y hebben met parameters (n, p) en (m, p), dan is hun som X + Y ook een binominale willekeurige variabele of binominaal verdeeld met parameter (n + m, p)
laten we de waarschijnlijkheid van de som gebruiken met de definitie van binominaal als
wat geeft
dus de som X + Y is ook binominaal verdeeld met parameter (n + m, p).
Conclusie:
Het concept van gezamenlijk verdeelde willekeurige variabelen die de verdeling relatief geeft voor meer dan één variabele in de situatie wordt besproken, daarnaast wordt het basisconcept van onafhankelijke willekeurige variabelen besproken met behulp van gezamenlijke verdeling en som van onafhankelijke variabelen met een voorbeeld van verdeling wordt gegeven met hun parameters. Als u verder wilt lezen, ga dan door de genoemde boeken. Voor meer bericht over wiskunde, alstublieft klik hier.
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH
