2D-coördinatengeometrie: 11 belangrijke feiten

Locus in 2D-coördinatengeometrie

Locus is een Latijns woord. Het is afgeleid van het woord 'Plaats' of 'Locatie'. Het meervoud van locus is Loci.

Definitie van locus:

In Geometrie is 'Locus' een verzameling punten die voldoen aan een of meer gespecificeerde voorwaarden van een figuur of vorm. In de moderne wiskunde wordt de locatie of het pad waarop een punt beweegt op het vlak dat aan bepaalde geometrische voorwaarden voldoet, de plaats van het punt genoemd.

Locus wordt gedefinieerd voor lijn, lijnsegment en de regelmatige of onregelmatige gebogen vormen, behalve de vormen met vertex of hoeken erin in Geometry. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Voorbeelden op Locus:

lijnen, cirkels, ellips, parabool, hyperbool enz. al deze geometrische vormen worden gedefinieerd door de meetkundige plaats van punten.

Vergelijking van de Locus:

De algebraïsche vorm van de geometrische eigenschappen of voorwaarden waaraan wordt voldaan door de coördinaten van alle punten op Locus, staat bekend als de vergelijking van de locus van die punten.

Methode voor het verkrijgen van de vergelijking van de locus:

Volg de onderstaande procedure om de vergelijking van de meetkundige plaats van een bewegend punt op een vlak te vinden:

(i) Neem eerst aan dat de coördinaten van een bewegend punt op een vlak (h,k) zijn.

(ii) Ten tweede, leid een algebraïsche vergelijking met h en k af van de gegeven geometrische voorwaarden of eigenschappen.

(iii) Ten derde, vervang h en k door respectievelijk x en y in de bovengenoemde vergelijking. Nu wordt deze vergelijking de vergelijking van de meetkundige plaats van het bewegende punt op het vlak genoemd. (x,y) is de huidige coördinaten van het bewegende punt en de vergelijking van de meetkundige plaats moet altijd worden afgeleid in de vorm van x en y dwz huidige coördinaten.

Hier zijn enkele voorbeelden om de opvatting over locus duidelijk te maken.

4+ verschillende soorten opgeloste problemen op Locus:

Probleem 1: If P elk punt op het XY-vlak zijn dat op gelijke afstand ligt van twee gegeven punten EEN(3,2) en B(2,-1) op hetzelfde vlak, zoek dan de meetkundige plaats en de vergelijking van de meetkundige plaats van het punt P met grafiek.

Oplossing: 

Neem aan dat de coördinaten van een willekeurig punt op de meetkundige plaats van P op XY-vlak zijn (u, k).

Aangezien P op gelijke afstand van A en B ligt, kunnen we schrijven

De afstand van P van A=De afstand van P van B

Of |PA|=|PB|

Of, (H² -6u+9+k² -4k+4) = (u² -4u+4+k² +2k+1)——– vierkant naar beide kanten nemen.

Of, h² -6u+13+k² -4k -u²+4u-5-k² -2k = 0

Of: -2h -6k+8 = 0

Of h+3k -4 = 0

Of h+3k = 4 ——– (1)

Dit is een eerstegraadsvergelijking van h en k.

Als h en k nu worden vervangen door x en y, wordt vergelijking (1) de eerstegraadsvergelijking van x en y in de vorm van x + 3y = 4, wat een rechte lijn vertegenwoordigt.

Daarom is de meetkundige plaats van het punt P(h, k) op het XY-vlak een rechte lijn en is de vergelijking van de meetkundige plaats x + 3y = 4 . (Ant.)

Probleem 2: Als een punt R beweegt op het XY-vlak zodanig dat RA: RB = 3:2 waar de coördinaten van de punten A en B zijn (-5,3) en (2,4) respectievelijk op hetzelfde vlak, zoek dan de meetkundige plaats van het punt R.

Welk type kromme geeft de vergelijking van de meetkundige plaats van R aan?

Oplossing: Laten we aannemen dat de coördinaten van een willekeurig punt op de meetkundige plaats van een bepaald punt R op XY-vlak be (m, n).

Asper gegeven voorwaarde RA: RB = 3:2,

wij hebben,

(De afstand van R van A) / (De afstand van R van B) = 3/2

Of, (m² +10m+34+n² -6n) / (m² -4m+n² -8n+20) =9/4 ———– vierkant naar beide kanten nemen.

Of 4 (m² +10m+34+n² -6n) = 9(m² -4m+n² -8n+20)

Of, 4m² +40m+136+4n² -24n = 9m² -36m+9n² -72n+180)

Of, 4m² +40m+136+4n² -24n – 9m² +36m-9n² +72n-180 = 0

Of -5m² +76m-5n²+48n-44 = 0

Of 5 (m²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Dit is een tweedegraads vergelijking van m en n .

Als nu m en n worden vervangen door x en y, wordt vergelijking (1) de tweedegraadsvergelijking van x en y in de vorm van 5(x²+y²)-76x+48y+44 = 0 waarbij de coëfficiënten van x² en y² zijn hetzelfde en de coëfficiënt van xy is nul. Deze vergelijking stelt een cirkel voor.

Daarom is de meetkundige plaats van het punt R(m, n) op het XY-vlak een cirkel en is de vergelijking van de meetkundige meetkundige plaats

5(x)²+y²)-76x+48j+44 = 0 (Ant.)

Probleem 3: Voor alle waarden van (θ,aCosθ,bSinθ) zijn de coördinaten een punt P dat beweegt op het XY-vlak. Vind de vergelijking van de locus van P.

Oplossing: laat (h, k) de coördinaten zijn van elk punt dat op de meetkundige plaats van P op het XY-vlak ligt.

Dan asper de vraag, kunnen we zeggen:

h= een Cosθ

Of, h/a = Cosθ —————(1)

En k = b Sinθ

Of, k/b = Sinθ —————(2)

Als we nu beide vergelijkingen (1) en (2) kwadrateren en dan optellen, hebben we de vergelijking

h²/a² +k²/b² =Kos²θ + Zonde²θ

Of, h²/a² +k²/b² = 1 (sinds Cos²θ + Zonde²θ =1 in trigonometrie)

Daarom is de meetkundige vergelijking van het punt P x²/a² + y²/b² = 1. (Ant.)

Probleem 4: Vind de vergelijking van de meetkundige plaats van een punt Q, bewegend op het XY-vlak, als de coördinaten van Q zijn

waarbij u de variabele parameter is.

oplossing: Laat de coördinaten van een willekeurig punt op de meetkundige plaats van het gegeven punt Q tijdens het bewegen op het XY-vlak zijn (h, k).

Dan h = en k =

dat wil zeggen h(3u+2) = 7u-2 en k(u-1) = 4u+5

dat wil zeggen (3h-7)u = -2h-2 en (k-4)u = 5+k

dat wil zeggen u = —————(1)

en jij = —————(2)

Nu we de vergelijkingen (1) en (2) gelijkstellen, krijgen we,

Of (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Of -5hk-7h+5k = -43

Of, 5hk+7h-5k = 43

Daarom is de vergelijking van de meetkundige plaats van Q 5xy+7x-5y = 43.

Meer voorbeelden op Locus met antwoorden om zelf te oefenen:

problemen 5: Als θ een variabele is en u een constante, zoek dan de meetkundige vergelijking van het snijpunt van de twee rechte lijnen x Cosθ + y Sinθ = u en x Sinθ- y Cosθ = u. (Antwoord x²+y² =2u² )

problemen 6: Vind de vergelijking van de meetkundige plaats van het middelpunt van het lijnstuk van de rechte x Sinθ + y Cosθ = t tussen de assen. (Ant. 1/x²+ 1 /y² =4/t² )

problemen 7: Als een punt P zo beweegt op het XY-vlak dat de oppervlakte van de driehoek wordt gevormd door het punt met twee punten (2,-1) en (3,4). (Ant. 5x-y=11)

Basisvoorbeelden van de formules "Centroid of a Triangle"  in 2D-coördinatengeometrie

zwaartepunt: De drie medianen van een driehoek snijden elkaar altijd in een punt, gelegen in het binnengebied van de driehoek, en verdeelt de mediaan in de verhouding 2:1 van elk hoekpunt tot het middelpunt van de tegenoverliggende zijde. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd.   

Opgave 1: Zoek het zwaartepunt van de driehoek met hoekpunten (-1,0), (0,4) en (5,0).

Oplossing:  Weten we al,

                                             If  Bijl₁,y₁) B(x₂,y₂) en C(x₃,y₃) de hoekpunten zijn van een driehoek en G(x, y) wees het zwaartepunt van de driehoek, dan Coördinaten van G zijn

en

Met behulp van deze formule hebben we, 

(x₁,y₁) ≌(-1,0) dwz x₁=-1, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,4) dwz   x₂= 0, y₂= 4 en

(x₃,y₃) ≌(5,0) dwz   x₃= 5, y₃=0

(Zie formules grafiek)

Dus de x-coördinaat van het zwaartepunt G,   

dat wil zeggen

dat wil zeggen x=4/3

                  en 

de y-coördinaat van het zwaartepunt G,  

d.w.z

dat wil zeggen y=4/3

Daarom zijn de coördinaten van het zwaartepunt van de gegeven driehoek . (Antwoord)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven voor verdere oefening met behulp van de procedure beschreven in bovenstaande probleem 1: -

problemen 2: Zoek de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek met hoekpunten op de punten (-3,-1), (-1,3)) en (1,1).

Ans. (-1,1)

problemen 3: Wat is de x-coördinaat van het zwaartepunt van de driehoek met hoekpunten (5,2), (10,4) en (6,-1) ?

Ans. 7 

problemen 4: Drie hoekpunten van een driehoek zijn (5,9), (2,15) en (11,12). Zoek het zwaartepunt van deze driehoek.

Ans. (6,12)

Verschuiving van oorsprong / Vertaling van assen - 2D-coördinaatgeometrie

Verschuiving van oorsprong betekent het verschuiven van de oorsprong naar een nieuw punt waarbij de oriëntatie van de assen ongewijzigd blijft, dwz de nieuwe assen blijven evenwijdig aan de oorspronkelijke assen in hetzelfde vlak. Door deze vertaling van assen of verschuiving van oorsprong worden veel problemen met de algebraïsche vergelijking van een geometrische vorm vereenvoudigd en gemakkelijk opgelost.

De formule van "verschuiving van oorsprong" of "vertaling van assen" wordt hieronder beschreven met grafische weergave.

Formule:

Als O de oorsprong is, is P(x,y) een willekeurig punt in het XY-vlak en wordt O verschoven naar een ander punt O′(a,b) waartegen de coördinaten van het punt P worden (x₁,y₁) in hetzelfde vlak met nieuwe assen X₁Y₁  ,Dan zijn de nieuwe coördinaten van P

x₁ = x- een

y₁ = y- b

Grafische weergave ter verduidelijking: Volg de grafieken

weinig opgelost Problemen met de formule van 'verschuiving van oorsprong':

Probleem-1 : Als er twee punten (3,1) en (5,4) in hetzelfde vlak liggen en de oorsprong wordt verschoven naar het punt (3,1) waarbij de nieuwe assen evenwijdig aan de oorspronkelijke assen worden gehouden, zoek dan de coördinaten van het punt (5,4) met betrekking tot de nieuwe oorsprong en assen.

Oplossing: Vergeleken met de hierboven beschreven formule van 'Verschuiving van Oorsprong', hebben we een nieuwe Oorsprong, O′(a, b) ≌ (3,1) dwz a=3, b=1 en het vereiste punt P, (x, y) ≌ (5,4) dwz x=5 , y=4

Als nu (x₁,y₁) de nieuwe coördinaten zijn van het punt P(5,4) en vervolgens volgens formule x₁ = xa en y₁ =yb,

wij krijgen x₁ = 5-3 en y₁ =-4 1

dat wil zeggen x₁ = 2 en y₁ =3

Daarom zijn de vereiste nieuwe coördinaten van het punt (5,4) (2,3) . (Ant.)

Probleem-2 : Nadat de oorsprong naar een punt in hetzelfde vlak is verschoven, waarbij de assen evenwijdig aan elkaar blijven, worden de coördinaten van een punt (5,-4) (4,-5). Vind de coördinaten van de nieuwe oorsprong.

Oplossing: Met behulp van de formule 'Verschuiven van de oorsprong' of 'Vertaling van assen' kunnen we zeggen dat de coördinaten van het punt P met betrekking tot respectievelijk de oude en nieuwe oorsprong en assen (x, y) ≌ (5,-4) zijn, dat wil zeggen x=5, y= -4 en (x₁,y₁) ≌ (4,-5) dwz  x₁= 4, ja₁= -5

Nu moeten we de coördinaten van de nieuwe Oorsprong vinden O′(a, b) dat wil zeggen a=?, b=?

Asper-formule,

x₁ = x- a

y₁ = y- b

dat wil zeggen a=xx₁ en b=yy₁

Of, a=5-4 en b= -4-(-5)

Of, a=1 en b= -4+5

Of, a=1 en b= 1

Daarom is O'(1,1) de nieuwe oorsprong, dwz de coördinaten van de nieuwe oorsprong zijn (1,1). (Ant.)

Basisvoorbeelden van de formules "Collineariteit van punten (drie punten)" in 2D Coördinatengeometrie

problemen 1:  Controleer of de punten (1,0), (0,0) en (-1,0) collineair zijn of niet.

Oplossing:  Weten we al,

                                            If  Bijl₁,y₁) B(x₂,y₂) en C(x₃,y₃) drie willekeurige collineaire punten zijn, dan moet de oppervlakte van de door hen gemaakte driehoek nul zijn, dwz de oppervlakte van de driehoek is ½[x₁ (y₂– ja₃) +x₂ (y₃– ja₁) +x₃ (y₁-y₂)] =0

(Zie formules grafiek)

Met behulp van deze formule hebben we,

(x₁,y₁) ≌(-1,0) dwz   x₁=-1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) ≌(0,0) dwz   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) ≌(1,0) dwz    x₃= 1, y₃= 0

De oppervlakte van de driehoek is dus = |½[x₁ (y₂-  y₃) +x₂ (y₃-  y₁) +x₃ (y₁-y₂)]| d.w.z.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (RHS)

Daarom wordt het gebied van de driehoek gemaakt door die gegeven punten nul, wat betekent dat ze op dezelfde lijn liggen.

Daarom zijn de gegeven punten collineaire punten. (Antwoord)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de hierboven beschreven procedure probleem 1:-

problemen 2: Controleer of de punten (-1,-1), (0,0) en (1,1) collineair zijn of niet.

Ans. Ja

problemen 3: Is het mogelijk om één lijn te trekken door drie punten (-3,2), (5,-3) en (2,2)?

Ans.Nee

problemen 4: Controleer of de punten (1,2), (3,2) en (-5,2), verbonden door lijnen, een driehoek kunnen vormen in het coördinatenvlak.

Ans. Nee

______________________________

Basisvoorbeelden van de formules "Incenter of a Triangle" in 2D-coördinatengeometrie

In het midden:Het is het middelpunt van de grootste incircle van de driehoek die binnen de driehoek past. Het is ook het snijpunt van de drie bissectrices van de binnenhoeken van de driehoek.

problemen 1: De hoekpunten van een driehoek met zijden zijn respectievelijk (-2,0), (0,5) en (6,0). Zoek het midden van de driehoek.

Oplossing: Weten we al,

If  Bijl₁,y₁) B(x₂,y₂) en C(x₃,y₃) zijn de hoekpunten, BC=a, CA=b en AB=c , G′(x,y) wees het middelpunt van de driehoek,

De coördinaten van G' zijn

en         

(Zie formules grafiek)

Asper de formule die we hebben,

(x₁,y₁) ≌(-4,0) dwz  x₁=-4, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,3) dwz  x₂= 0, y₂=3;

(x₃,y₃) ≌(0,0) dwz   x₃= 0, y₃=0

We hebben nu,

a= √ [(x₂-x₁)²+ (ja₂-y₁)² ]

Of, a= √ [(0+4)²+(3-0)² ]

Of, a= √ [(4)²+ (3)² ]

Of, a= √ (16+9)

Of, a= √25

Of, a = 5 ——————(1)

b=√ [(x₁-x₃)²+ (ja₁-y₃)² ]

Of b= √ [(-4-0)²+(0-0)² ]

Of b= √ [(-4)²+ (0)² ]

Of b= √ (16+0)

Of b= √16

Of, b= 4 ——————–(2)

c= √ [(x₃-x₂)²+ (ja₃-y₂)² ]

Of, c= √ [(0-0)²+(0-3)² ]

Of, c= √ [(0)²+(-3)² ]

Of c= √ (0+9)

Of c= √9

Of, c= 3 ——————–(3)

enx₁+ bx₂ +cx₃ = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20+0+18

Of, ax₁+ bx₂ +cx₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ cy₃ = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

Of, ay₁+ door₂+ cy₃ = 12 ——————–(5)

a+b+c = 5+4+3

Of, a+b+c = 12 ——————(6)

Met behulp van de bovenstaande vergelijkingen (1), (2), (3), (4), (5) en (6) we kunnen de waarde van berekenen x en y oppompen van

Of x = -2/12

Of x = -1/6

en

Of, y = 12/12

Of, y = 1

Daarom zijn de vereiste coördinaten van het incenter van de gegeven driehoek: (-1/6, 1). (Ant.)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven voor verdere oefening met behulp van de procedure beschreven in bovenstaande probleem 1: -

problemen 2: Zoek de coördinaten van het midden van de driehoek met hoekpunten op de punten (-3,-1), (-1,3)) en (1,1).

problemen 3: Wat is de x-coördinaat van het incenter van de driehoek met hoekpunten (0,2), (0,0) en (0,-1) ?

problemen 4: Drie hoekpunten van een driehoek zijn (1,1), (2,2) en (3,3). Zoek het midden van deze driehoek.