Macaulay's methode en Moment Area-methode: 11 belangrijke feiten

Inhoud: Moment Area Method en Macaulay's Method

Macaulay's methode Definitie
Macaulay's Methode voor helling en afbuiging
Macaulay's Method voorbeeld 1: Helling en afbuiging in een eenvoudig ondersteunde balk for Gelijkmatig verdeelde belasting
Macaulay's Methodevoorbeeld 2: Helling en afbuiging in een overhangende balk
Momentgebied-methode
Moment Gebied Stelling
Voorbeeld gerelateerd aan Moment Area Method
Buigmoment door onderdelen
Moment Area-methode toepassen op overhangende balk met gelijkmatig verdeelde belasting voor het vinden van helling en doorbuiging
Maximale doorbuiging door asymmetrische belasting
Vragen en antwoorden over de methode van Macaulay en de methode van het momentgebied

Macaulay's methode

De heer WH Macaulay bedacht de methode van Macaulay. De methode van Macaulay is zeer efficiënt voor discontinue laadomstandigheden.

Macaulay's Methode (de dubbele integratiemethode) is een techniek die wordt gebruikt in structurele analyse om de doorbuiging van Euler-Bernoulli-balken te bepalen en deze methode is erg handig in het geval van discontinue en / of discrete belastingstoestand.

Macaulay's methode voor helling en afbuiging

Beschouw een klein gedeelte van een balk waarin, op een bepaald gedeelte X, de afschuifkracht is Q en het buigmoment is M zoals hieronder weergegeven. Op een ander gedeelte Y, afstand 'een' langs de balk, een geconcentreerde lading F wordt toegepast waardoor het buigmoment voor de punten daarbuiten verandert Y.

Tussen X en Y,

$\\\\M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx………[1]\\\\\\\EI \\frac{dy}{dx }=Mx+Q\\frac{x^2}{2} +C_1……………[2]\\\\\\\\EIy=M \\frac{x^2}{2}+Q \\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2……………[3]$

En verder dan Y

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(x-a)……… [4]\\\\\\\EI \\frac{d y}{ dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3……… [5]$

$EIy=M (x^2/2)+Q (x^3/6)-F (x^3/6)+Fa (x^2/2) C_3 x+C_4……… [6]$

Voor de helling bij Y, gelijk aan [5] en [2], krijgen we,

$Mx+Q (x^2/2)+C_1= Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3$

Maar op punt Y, x = a

$C_1=-F (a^2/2)+Fa^2+C_3\\\\\\\\C_3=C_1-F (a^2/2)$

De bovenstaande vergelijking vervangen in [5]

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_1-F (a^2/2)$

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F(x-a)^2/2+C_1………….[7]$

Ook krijgen we voor dezelfde afbuiging bij Y die (3) en (6) gelijkstelt met (x = a)

$M(a^2/2)+Q(a^3/6)+C_1 a+C_2=M(a^2/2)+Q(a^3/6)-F(a^3/6)+F(a^3/6)+C_3 a+C_4$

Over het oplossen van deze vergelijkingen en het vervangen van de waarde van C3

$C_4=F(a^3/6)+C_2$

Vervanging in vergelijking [6] krijgen we,

$\\large EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F x^3/6+Fa (x^2/2)(C_1-F a^2/2)x+F(a^3/6)+C_2$

$\\groot EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F (x-a)^3/6+C_1 x+C_2……[8]$

Door de vergelijkingen [4], [7] en [8] verder te onderzoeken, kunnen we concluderen dat de enkele integratiemethode voor het verkrijgen van helling en afbuiging nog steeds van toepassing zal zijn, op voorwaarde dat de term F (xa) is geïntegreerd met betrekking tot (xa) en niet x. Ook is de term W (xa) alleen van toepassing voor (x> a) of wanneer (xa) positief is. Deze termen worden dus genoemd Macaulay-termen. Macaulay-termen moeten worden geïntegreerd met betrekking tot zichzelf en moeten worden verwaarloosd als ze negatief zijn.

Dus de gegeneraliseerde vergelijking voor de hele balk wordt,

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(xa)$

Macaulay's Methode voorbeeld 1: Helling en afbuiging in een eenvoudig ondersteunde balk voor gelijkmatig verdeelde belasting

Beschouw een eenvoudig ondersteunde balk met gelijkmatig verdeelde belasting over de volledige overspanning. Laat het gewicht werken op afstand a van End A en W2 handelend op afstand b van einde A.

beeld 6 — Eenvoudig ondersteunde straal met gelijkmatig verdeelde belasting over de gehele overspanning

De buigmomentvergelijking voor de bovenstaande balk kan worden gegeven door

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw(x^2/2)- W_1 (xa)-W_2 (xb)$

De UDL die over de volledige balk wordt aangebracht, vereist geen speciale behandeling in verband met de beugels van Macaulay of de termen van Macaulay. Houd er rekening mee dat de termen van Macaulay geïntegreerd zijn met betrekking tot zichzelf. Voor bovenstaand geval (xa) als het negatief uitkomt, moet het worden genegeerd. Het vervangen van de eindcondities levert de waarden van integratieconstanten op de conventionele manier op en dus de vereiste waarde van hellingen en afbuiging.

In dit geval begint de UDL bij punt B, wordt de buigmomentvergelijking gewijzigd en wordt de gelijkmatig verdeelde belastingterm Macaulay's Bracket-termen.

De buigmomentvergelijking voor het bovenstaande geval wordt hieronder gegeven

$EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw[(xa)^2/2]- W_1 [(xa)]-W_2 [(xb)]$

Integratie krijgen we,

$EI\\frac{dy}{dx}=R_A(x^2/2)-w[(x-a)^3/6]-W_1 [(x-a)^2/2]-W_2 [(x-b)^2/2]+A$

$EIy=R_A(x^3/6)-w[(x-a)^4/24]-W_1 [(x-a)^3/6]-W_2 [(x-b)^3/6]+Ax+B$

Macaulay's Methodevoorbeeld 2: Helling en afbuiging in een overhangende balk

Hieronder is de overhangende balk in figuur (a) weergegeven, we moeten berekenen

Zie ook Klepstandsteller: wat is het, werking, type, noodzaak en veelgestelde vragen

(1) de equⁿ voor de elastische curve.

(2) de middenwaarden tussen de steunen en op punt E (geef aan of ze omhoog of omlaag zijn).

Om het buigmoment voor de bovenstaande balk te bepalen, wordt de equivalente belasting gebruikt, zoals hieronder weergegeven in figuur (b). Om de beugel van Macaulay te gebruiken in de buigmomentvergelijkingen, moeten we elke verdeelde belasting uitbreiden naar het rechteruiteinde van de balk. We breiden de belastingen van 800 N/m uit naar punt E en elimineren het onnodige deel door gelijke en tegengestelde belastingen toe te passen op C-E. De globale uitdrukking voor het buigmoment weergegeven door het vrijlichaamsdiagram in figuur (c).

Vervanging van M in de differentiaalvergelijking voor de elastische curve,

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=1000x-400(x-1)^2+400(x-4)^2+2600(x-6)$

Het integreren,

$EI\\frac{dy}{dx}=500x^2-400 (x-1)^3/3+400 (x-4)^3/3+1300(x-6)^2+P$

Nogmaals, het integreren,

$EIy=500x^3/3 -100 (x-1)^4/3+100 (x-4)^4/3+1300 (x-6)^3/3+Px+Q….[a]$

Op punt A is de doorbuiging beperkt vanwege eenvoudige ondersteuning bij A.Dus bij x = 0, y = 0,

$EI*0=500*0^3/3-100 (0-1)^4/3+100 (0-4)^4/3+1300 (0-6)^3/3+P*0+Q\\\\\\\\Q=-85100$

Nogmaals, op punt D is de doorbuiging beperkt vanwege eenvoudige ondersteuning bij D. op x = 6 m, y = 0,

$EI*0=500*6^3/3-100 *(6-1)^4/3+100 *(6-4)^4/3+1300*(6-6)^3/3+P*6-85100\\\\\\\\0=500*6^3/3-100 *(5)^4/3+100*(2)^4/3+0+P*6-85100\\\\\\\\P= -69400$

Wanneer we de waarden voor P en Q vervangen door Eq. (a), we krijgen

$EIy=500 x^3/3-100 (x-1)^4/3+100(x-4)^4/3 +1300 (x-6)^3/3-69400x-85100….[b]$

Dit is de algemene vergelijking om doorbuiging te vinden over de volledige overspanning van de overhangende balk.

Om de afbuiging te vinden op een afstand van 3 m van het linker uiteinde A, vervangt u de waarde van x = 3 in Vgl. (b),

De aldus verkregen vergelijking van de elastische curve wordt gegeven door,

$EIy=500*3^3/3 -100*(3-1)^4/3+100*(3-4)^4/3+1300*(3-6)^3/3-69400*3-85100$

$Wij\\; hebben\\; naar\\; opmerking\\; Dat\\; (3-4)^4=0 \\;en \\;(3-6)^3=0$

$EIy=-289333.33 \\;N.m^3$

Het minteken van de waarde geeft aan dat de afbuiging van de straal in dat gebied naar beneden is gericht.
Zoek nu de afbuiging aan het uiterste van de straal, dwz in punt E
Zet x = 8 m in eq. [b]

$EIy=500*8^3/3-100*(8-1)^4/3+100*(8-4)^4/3+1300*(8-6)^3/3-69400*8-85100$

$EIy=-699800 \\;N.m^3$

Nogmaals, het minteken geeft de neerwaartse afbuiging aan.

Momentgebied-methode

Om de helling of afbuiging van een straal op een bepaalde locatie te bepalen, wordt de momentoppervlakmethode als het meest effectief beschouwd.

In deze Moment Area Method wordt de integratie van het buigmoment indirect uitgevoerd, gebruikmakend van de geometrische eigenschappen van het gebied onder het buigmomentdiagram, nemen we aan dat de vervorming van de balk onder het elastische bereik ligt en dit resulteert in kleine hellingen en kleine verplaatsingen.

De eerste stelling van de Moment Area-methode gaat over hellingen; de tweede stelling Moment Area-methode gaat over doorbuigingen. Deze twee stellingen vormen de basis van de Moment Area-methode.

Momentgebied Theorema

Stelling van het eerste moment

Beschouw een liggersegment dat aanvankelijk recht is. De elastische curve AB voor het beschouwde segment wordt getoond in figuur (a). Beschouw twee doorsneden van de balk bij P en Q en draai ze over de hoek dϴ ten opzichte van elkaar, ook gescheiden door de afstand dx.

Laten we aannemen dat de doorsneden loodrecht op de as van de ligger blijven.

dϴ = verschil in de helling van kromme P en Q zoals afgebeeld in figuur (a).

Uit de gegeven geometrie zien we dat dx = R dϴ, waarbij R de kromtestraal is van de elastische kromme van het vervormde element. Daarom is dϴ = dx / R, die bij gebruik van de moment-kromming-relatie.

$\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI} \\;wordt\\;d\\theta=\\frac{M}{EI}dx \\;\\;… …..[A]$

Integratie van vergelijking (a) over het segment AB levert op

$\\int_{B}^{A}d\\theta=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}dx\\;\\;………..[b ]$

beeld 14 — (a) Elastische curve van de balk (b) BMD voor het segment.

De linkerkant van Eq. (b) is de verandering in de helling tussen A en B. De rechterkant vertegenwoordigt het gebied onder het M / EI-diagram tussen A en B, weergegeven als het gearceerde gebied in figuur (b). Als we de juiste notatie introduceren, Vgl. (b) kan worden uitgedrukt in de vorm

Zie ook Isentropisch proces: 5 belangrijke factoren die ermee verband houden

$\\theta_{B/A}=Gebied\\;van buiging \\;Moment\\; Diagram \\;voor\\;sectie\\;A-B$

Dit is de eerste stelling van de Moment Area Method. De methode Eerste stelling van Moment Area behandelt hellingen

Tweede-moment-gebiedsstelling

Laat t (B / A) de verticale afstand zijn van punt B vanaf de raaklijn aan de elastische curve bij A. Deze afstand wordt de tangentiële afwijking van B ten opzichte van A genoemd.Om de tangentiële afwijking te berekenen, bepalen we eerst de bijdrage dt van het oneindig kleine element PQ.

Vervolgens gebruiken we integratie voor A tot B dt = t (B / A) om alle elementen tussen A en B op te tellen. Zoals weergegeven in de figuur, is dt de verticale afstand bij B tussen de raaklijnen die zijn getrokken aan de elastische curve bij P en Q. Herinnerend dat de hellingen erg klein zijn, verkrijgen we uit geometrie,

$dt=x'd\\theta$

Waar x 'de horizontale afstand is van het element van B. Daarom is de tangentiële afwijking

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}dt=\\int_{B}^{A}x' d\\theta$

beeld 16 — (a) elastische curve van de balk. (b) BMD voor het segment.

Als we de waarde dϴ van in vergelijking [a] plaatsen die we krijgen,

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}x'dx\\;\\;………………..[c]$

De rechterkant van Eq. (c) vertegenwoordigt het eerste moment van het gearceerde gebied van het M / (EI) -diagram in Fig. (b) rond punt B. Om de afstand tussen B en het zwaartepunt C van dit gebied aan te duiden, kunnen we Vgl. (c) als

$t_{B/A}= Oppervlakte \\;van \\;M/EI \\;diagram\\; voor\\; sectie\\; A-B* \\bar{x}_B$

$t_{B/A}= Afstand \\;van\\; Centrum\\; van\\; zwaartekracht \\;van\\; BMD$

$\\bar{x}_B \\; is\\; de \\;Afstand \\;van\\; centrum \\;van \\;zwaartekracht \\;van \\;M/EI \\;vanaf \\;punt \\;onder\\; overweging\\; (B).$

Dit is de tweede stelling van de momentoppervlakmethode. De tweede stelling Moment Area-methode behandelt doorbuigingen.

Buigmoment door onderdelen

Voor het bestuderen van complexe toepassingen kan de evaluatie van de hoek ϴ (B/A) en de tangentiële afwijking worden vereenvoudigd door onafhankelijk het effect van elke belasting op de balk te evalueren. een aparte Buigmoment diagram wordt voor elke belasting getekend en de helling wordt verkregen door algebraïsche sommatie van de gebieden onder de verschillende BMD's. Evenzo wordt de doorbuiging verkregen door het eerste momentgebied rond een verticale as door punt B op te tellen. Een buigmomentdiagram wordt in delen uitgezet. Wanneer een buigmoment in delen wordt getekend, bestaan de verschillende gebieden die door de BMD worden gedefinieerd uit vormen, zoals het gebied onder 2e graads krommen, kubische krommen, rechthoeken, driehoeken en parabolische krommen, enz.

Stappen om buigmomenten per stuk te tekenen

Zorg voor passende vaste ondersteuning op een gewenste locatie. Eenvoudige steunen worden doorgaans als de beste keuze beschouwd; afhankelijk van de situatie wordt echter een ander type ondersteuning gebruikt.
Bereken de ondersteuningsreacties en neem aan dat het om toegepaste belastingen gaat.
Teken voor elke belasting een buigmomentdiagram. Volg de juiste tekenconventies tijdens het tekenen van een buigmomentdiagram.
De helling wordt verkregen door algebraïsche optelling van de gebieden onder de verschillende BMD's.
de afbuiging wordt verkregen door het eerste momentgebied om een verticale as door punt B op te tellen.

Moment Area-methode toepassen op overhangende balk met gelijkmatig verdeelde belasting voor het vinden helling en afbuiging

Overweeg een Simply Supported overhangende balk met gelijkmatig verdeelde belasting van A naar B en C naar D zoals hieronder getoond [. Vind helling en afbuiging door de Moment Area-methode te gebruiken.]

overhangende balk met gelijkmatig verdeelde belasting met behulp van de Moment Area-methode

Uit een vrijlichaam-diagram van de balk bepalen we de reacties en tekenen we vervolgens de afschuif- en buigmomentdiagrammen, aangezien de buigstijfheid van de balk constant is, om het (M / EI) -diagram te berekenen, moeten we elke waarde delen of M door EI.

$R_B+R_D=2*3*200$

$R_B+R_D=1200$

$Ook\\;\\som M_B=0$

$(200*3*1.5)+(R_D*10)=200*3*11.5$

$R_D=600 N$

$Dus\\;R_B=600 N$

Schuifkracht en buigmomentdiagram tekenen voor de gegeven balk

Voor referentie tangens: aangezien de balk symmetrisch is samen met zijn belasting ten opzichte van punt C. De tangens op C zal fungeren als een referentie tangens. Uit het bovenstaande diagram

Zie ook Soorten borstelloze motoren: met hun toepassingen

$hierboven\\;\\theta_c=0$

Dus raaklijn aan E kan worden gegeven door,

$\\theta_E=\\theta_c+\\theta_{E/C}=\\theta_{E/C} …………..[1]$

Macaulay 2 — Moment Area Diagram met berekeningen

Helling bij E: volgens M / EI-diagram en toepassing van de First Moment-gebiedsmethode zoals hierboven besproken, krijgen we,

$A_1= \\frac{-(wa^2)}{2EI}*(L/2)$

$A_1=\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*5$

$A_1=-0.2230$

Evenzo voor A2

$A_2=(1/3)* \\frac{-(wa^2)}{2EI}*a$

$A_2=(1/3)*\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*3$

$A_2=-0.0446$

Uit vergelijking [1] krijgen we,

$\\theta_E=A_1+A_2$

$\\theta_E=-0.2230-0.0446=-0.2676$

Doorbuiging op punt E kan worden berekend met behulp van de tweede momentoppervlak-methode

$t_{D/C}=A_1*[L/4]$

$t_{D/C}=(-0.2230)*[10/4]$

$t_{D/C}=-0.5575$

Evenzo

$t_{E/C}=A_1*(a+L/4)+A_2 *(3a/4)$

$t_{E/C}=(-0.2230)*(3+10/4)+(-0.0446)*(3*3/4)$

$t_{E/C}=-1.326$

Maar dat weten we

$y_E=t_{E/C}-t_{D/C}\\\\y_E=-1.326-(-0.5575)\\\\y_E=-0.7685 m$

Maximale doorbuiging door asymmetrische belasting

Wanneer een eenvoudig ondersteunde balk een asymmetrische belasting draagt, zal de maximale doorbuiging niet plaatsvinden in het midden van de balk en moet het K-punt van de balk worden geïdentificeerd waar de raaklijn horizontaal is om de maximale doorbuiging in een balk te evalueren.

We beginnen met het vinden van referentieraaklijnen op een van de steunen van de ligger. Laat a is de helling van de raaklijn op steunpunt A.
Bereken de tangentiële afwijking t van ondersteuning B met betrekking tot A.
Verdeel de verkregen hoeveelheid door de overspanning L tussen de steunen A en B.
Sinds de helling k= 0, we moeten krijgen,

$\\theta_{K/A}= \\theta_K-\\theta_A=-\\theta_A$

Met behulp van de eerste momentoppervlakstelling kunnen we afdoende voorspellen dat punt K kan worden gevonden door een gebied A te meten

$Gebied\\;A=\\theta_{K/A}=-\\theta_A\\;onder M/EI\\;Diagram$

Door observatie concluderen we dat de maximale doorbuiging y (max) = de tangentiële afwijking t van steun A ten opzichte van K (Fig. A) en we kunnen y (max) bepalen door het eerste momentoppervlak tussen steun A en punt K te berekenen met met betrekking tot de verticale as.

Vraag en antwoord van Macaulay's methode en momentgebiedmethode

V.1) Welke methode is nuttig om de helling en doorbuiging op een punt op een balk te bepalen?

Ans: De methode van Macaulay is in dit geval zeer efficiënt.

V.2) Wat zegt de Second Moment Area Method?

Ans: De Second Moment Area-methode stelt dat, "het moment van buigmomentdiagram BMD tussen twee punten op een elastische lijn gedeeld door buigstijfheid (EI) gelijk is aan het snijpunt genomen op een verticale referentielijn van de raaklijn op deze punten over de referentielijn. "

Q.3) Bereken de afbuiging van de balk als de helling 0.00835 radialen is. De afstand van het vrije uiteinde tot het zwaartepunt van het buigmoment is 5 m?

Ans: De doorbuiging op elk punt van de elastische curve is gelijk aan Mx / EI.

Maar we weten dat M / EI een hellingsvergelijking is = 0.00835 rad.

Dus doorbuiging = helling × (De afstand van het vrije uiteinde tot het zwaartepunt van het buigmoment

Doorbuiging = 0.00835 * 5 = 0.04175 m = 41.75 mm.

Om te weten over de sterkte van materiaal (klik hier)en buigmomentdiagram Klik hier .

Hakimuddin Bawangaonwala

Ik ben Hakimuddin Bawangaonwala, een mechanisch ontwerpingenieur met expertise in mechanisch ontwerp en ontwikkeling. Ik heb M. Tech in Design Engineering afgerond en heb 2.5 jaar onderzoekservaring. Tot nu toe twee onderzoeksartikelen gepubliceerd over hard draaien en eindige-elementenanalyse van warmtebehandelingsarmaturen. Mijn interessegebied is machineontwerp, sterkte van materiaal, warmteoverdracht, thermische engineering enz. Vaardig in CATIA- en ANSYS-software voor CAD en CAE. Behalve onderzoek.

Macaulay's methode & Moment Area-methode: 11 belangrijke feiten