11 feiten over wiskundige verwachtingen en willekeurige variabelen


Wiskundige verwachting en willekeurige variabele    

     De wiskundige verwachting speelt een zeer belangrijke rol in de waarschijnlijkheidstheorie, de basisdefinitie en basiseigenschappen van wiskundige verwachting die we al in eerdere artikelen hebben besproken, nu na het bespreken van de verschillende distributies en soorten distributies, in het volgende artikel zullen we wat meer leren kennen geavanceerde eigenschappen van wiskundige verwachting.

Verwachting van som van willekeurige variabelen | Verwachting van functie van willekeurige variabelen | Verwachting van gezamenlijke kansverdeling

     We weten dat de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele van discrete aard is

en voor de continue is

nu voor de willekeurige variabele X en Y indien discreet dan met het gewricht kansdichtheidsfunctie p(x,y)

verwachting van functie van willekeurige variabele X en Y zal zijn

en als continu dan met de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f(x, y) de verwachting van de functie van willekeurige variabele X en Y zal zijn

als g de optelling van deze twee willekeurige variabelen in continue vorm is, is de

en als we voor de willekeurige variabelen X en Y hebben

X>Y

dan de verwachting ook

Voorbeeld

Een Covid-19-ziekenhuis is gelijkmatig verdeeld over de weg van de lengte L op een punt X, een voertuig met zuurstof voor de patiënten bevindt zich op een locatie Y die ook gelijkmatig over de weg is verdeeld, Zoek de verwachte afstand tussen het Covid-19-ziekenhuis en zuurstofdragend voertuig als ze onafhankelijk zijn.

Oplossing:

Om de verwachte afstand tussen X en Y te vinden, moeten we E { | . berekenen XY | }

Nu zal de gewrichtsdichtheidsfunctie van X en Y zijn

sinds

door dit te volgen hebben we

nu zal de waarde van integraal zijn

Dus de verwachte afstand tussen deze twee punten zal zijn

Verwachting van steekproefgemiddelde

  Als steekproefgemiddelde van de reeks willekeurige variabelen X1, X2, ………, Xn met verdelingsfunctie F en verwachte waarde van elk als μ is

dus de verwachting van dit steekproefgemiddelde zal zijn

waaruit blijkt dat de verwachte waarde van het steekproefgemiddelde ook μ is.

De ongelijkheid van Boole

                Boole's ongelijkheid kan worden verkregen met behulp van eigenschappen van verwachtingen, stel dat de willekeurige variabele X gedefinieerd is als

WAAR

hier eeni 's zijn de willekeurige gebeurtenissen, dit betekent willekeurige variabele X staat voor het optreden van het aantal gebeurtenissen Ai en een andere willekeurige variabele Y as

duidelijk

X>=Y

E[X] >= E[Y]

en zo is

als we nu de waarde van willekeurige variabele X en Y nemen, zal deze verwachting zijn:

en

als we deze verwachting in de bovenstaande ongelijkheid vervangen, krijgen we de ongelijkheid van Boole als

Verwachting van binomiale willekeurige variabele | Gemiddelde van binomiale willekeurige variabele

  We weten dat het binominale willekeurige variabele is de willekeurige variabele die het aantal successen in n onafhankelijke proeven met kans op succes als p en mislukking als q=1-p laat zien, dus als

X=X1 + X2+ …….+ Xn

Waar

hier deze Xi 's zijn de Bernoulli en de verwachting zal zijn

dus de verwachting van X zal zijn

Verwachting van negatieve binomiale willekeurige variabele | Gemiddelde van negatieve binominale willekeurige variabele

  Laat een willekeurige variabele X die het aantal pogingen vertegenwoordigt dat nodig is om r successen te verzamelen, dan staat zo'n willekeurige variabele bekend als negatieve binomiale willekeurige variabele en kan worden uitgedrukt als

hier elke Xi geef het aantal pogingen aan dat nodig is na het (i-1)ste succes om het totaal van i successen te verkrijgen.

Aangezien elk van deze Xi vertegenwoordigen de geometrische willekeurige variabele en we weten dat de verwachting voor de geometrische willekeurige variabele is

so

welke is de verwachting van een negatieve binominale willekeurige variabele.

Verwachting van hypergeometrische willekeurige variabele | Gemiddelde van hypergeometrische willekeurige variabele

De verwachting of het gemiddelde van de hypergeometrische willekeurige variabele die we zullen verkrijgen met behulp van een eenvoudig voorbeeld uit de praktijk, als n aantal boeken willekeurig wordt geselecteerd uit een plank met N boeken waarvan m van wiskunde zijn, dan om het verwachte aantal boeken te vinden wiskundeboeken laat X het aantal geselecteerde wiskundeboeken aangeven, dan kunnen we X schrijven als

WAAR

so

=n/N

wat geeft

wat het gemiddelde is van zo'n hypergeometrische willekeurige variabele.

Verwacht aantal wedstrijden

   Dit is een erg populair probleem met betrekking tot verwachting, stel dat er in een kamer N aantal mensen zijn die hun hoeden in het midden van de kamer gooien en alle hoeden worden gemengd, daarna kiest elke persoon willekeurig één hoed en dan het verwachte aantal mensen die hun eigen hoed selecteren, kunnen we verkrijgen door X het aantal overeenkomsten te laten zijn, dus

Waar

aangezien elke persoon gelijke kansen heeft om een ​​van de hoed uit N hoeden te kiezen dan

so

wat betekent dat gemiddeld precies één persoon zijn eigen hoed kiest.

De kans op een vereniging van gebeurtenissen

     Laten we de waarschijnlijkheid van de vereniging van de gebeurtenissen verkrijgen met behulp van verwachting, dus voor de gebeurtenissen Ai

hiermee nemen we

dus de verwachting hiervan zal zijn

en uitbreiden met verwachtingseigenschap als

sinds we hebben

Wiskundige verwachting
Wiskundige verwachting: de waarschijnlijkheid van een vereniging van gebeurtenissen

en

so

dit impliceert de kans op vereniging als

Grenzen aan verwachting met behulp van de probabilistische methode

    Stel dat S een eindige verzameling is en f is de functie op de elementen van S en

hier kunnen we de ondergrens voor deze m verkrijgen door de verwachting van f (s) waarbij "s" een willekeurig element van S is waarvan we de verwachting kunnen berekenen

hier krijgen we verwachting als de ondergrens voor de maximale waarde

Maximum-Minimum identiteit

 Maximum Minimale identiteit is het maximum van de reeks getallen tot de minima van de subsets van deze getallen, dat is voor alle getallen xi

Laten we om dit te laten zien de x . beperkeni stel binnen het interval [0,1] een uniforme willekeurige variabele U op het interval (0,1) en de gebeurtenissen Ai aangezien de uniforme variabele U kleiner is dan xi dat is

aangezien ten minste één van de bovenstaande gebeurtenissen plaatsvindt omdat U kleiner is dan één, is de waarde van xi

en

Het is duidelijk dat we het weten

en alle gebeurtenissen zullen plaatsvinden als U kleiner is dan alle variabelen en

de kans geeft

we hebben het resultaat van de waarschijnlijkheid van vereniging als

volgens deze inclusie-uitsluitingsformule voor de kans

overwegen

dit geeft

sinds

wat betekent

  • daarom kunnen we het schrijven als

met verwachting kunnen we verwachte waarden van maximale en gedeeltelijke minima vinden als find

Conclusie:

De verwachting in termen van verschillende distributie en correlatie van verwachting met enkele van de waarschijnlijkheids theorie concepten waren de focus van dit artikel, dat het gebruik van verwachting laat zien als een hulpmiddel om verwachte waarden van verschillende soorten willekeurige variabelen te krijgen, als je verder wilt lezen, ga dan door onderstaande boeken.

Voor meer artikelen over wiskunde, zie onze Wiskunde pagina.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in de wiskunde en werkzaam als universitair docent in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een enorme kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws