Wiskundige verwachting en willekeurige variabele
De wiskundige verwachting speelt een zeer belangrijke rol in de waarschijnlijkheidstheorie, de basisdefinitie en basiseigenschappen van wiskundige verwachting die we al in eerdere artikelen hebben besproken, nu na het bespreken van de verschillende distributies en soorten distributies, in het volgende artikel zullen we wat meer leren kennen geavanceerde eigenschappen van wiskundige verwachting.
Verwachting van som van willekeurige variabelen | Verwachting van functie van willekeurige variabelen | Verwachting van gezamenlijke kansverdeling
We weten dat de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele van discrete aard is
en voor de continue is
nu voor de willekeurige variabele X en Y indien discreet dan met het gewricht kansdichtheidsfunctie p(x,y)
verwachting van functie van willekeurige variabele X en Y zal zijn
en als continu dan met de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f(x, y) de verwachting van de functie van willekeurige variabele X en Y zal zijn
als g de optelling van deze twee willekeurige variabelen in continue vorm is, is de
en als we voor de willekeurige variabelen X en Y hebben
X>Y
dan de verwachting ook
Voorbeeld
Een Covid-19-ziekenhuis is gelijkmatig verdeeld over de weg van de lengte L op een punt X, een voertuig met zuurstof voor de patiënten bevindt zich op een locatie Y die ook gelijkmatig over de weg is verdeeld, Zoek de verwachte afstand tussen het Covid-19-ziekenhuis en zuurstofdragend voertuig als ze onafhankelijk zijn.
Oplossing:
Om de verwachte afstand tussen X en Y te vinden, moeten we E { | . berekenen XY | }
Nu zal de gewrichtsdichtheidsfunctie van X en Y zijn
sinds
door dit te volgen hebben we
nu zal de waarde van integraal zijn
Dus de verwachte afstand tussen deze twee punten zal zijn
Verwachting van steekproefgemiddelde
Als steekproefgemiddelde van de reeks willekeurige variabelen X1, X2, ………, Xn met verdelingsfunctie F en verwachte waarde van elk als μ is
dus de verwachting van dit steekproefgemiddelde zal zijn
waaruit blijkt dat de verwachte waarde van het steekproefgemiddelde ook μ is.
De ongelijkheid van Boole
Boole's ongelijkheid kan worden verkregen met behulp van eigenschappen van verwachtingen, stel dat de willekeurige variabele X gedefinieerd is als
WAAR
hier eeni 's zijn de willekeurige gebeurtenissen, dit betekent willekeurige variabele X staat voor het optreden van het aantal gebeurtenissen Ai en een andere willekeurige variabele Y as
duidelijk
X>=Y
E[X] >= E[Y]
en zo is
als we nu de waarde van willekeurige variabele X en Y nemen, zal deze verwachting zijn:
en
als we deze verwachting in de bovenstaande ongelijkheid vervangen, krijgen we de ongelijkheid van Boole als
Verwachting van binomiale willekeurige variabele | Gemiddelde van binomiale willekeurige variabele
We weten dat het binominale willekeurige variabele is de willekeurige variabele die het aantal successen in n onafhankelijke proeven met kans op succes als p en mislukking als q=1-p laat zien, dus als
X=X1 + X2+ …….+ Xn
Waar
hier deze Xi 's zijn de Bernoulli en de verwachting zal zijn
dus de verwachting van X zal zijn
Verwachting van negatieve binomiale willekeurige variabele | Gemiddelde van negatieve binominale willekeurige variabele
Laat een willekeurige variabele X die het aantal pogingen vertegenwoordigt dat nodig is om r successen te verzamelen, dan staat zo'n willekeurige variabele bekend als negatieve binomiale willekeurige variabele en kan worden uitgedrukt als
hier elke Xi geef het aantal pogingen aan dat nodig is na het (i-1)ste succes om het totaal van i successen te verkrijgen.
Aangezien elk van deze Xi vertegenwoordigen de geometrische willekeurige variabele en we weten dat de verwachting voor de geometrische willekeurige variabele is
so
welke is de verwachting van een negatieve binominale willekeurige variabele.
Verwachting van hypergeometrische willekeurige variabele | Gemiddelde van hypergeometrische willekeurige variabele
De verwachting of het gemiddelde van de hypergeometrische willekeurige variabele die we zullen verkrijgen met behulp van een eenvoudig voorbeeld uit de praktijk, als n aantal boeken willekeurig wordt geselecteerd uit een plank met N boeken waarvan m van wiskunde zijn, dan om het verwachte aantal boeken te vinden wiskundeboeken laat X het aantal geselecteerde wiskundeboeken aangeven, dan kunnen we X schrijven als
WAAR
so
=n/N
wat geeft
wat het gemiddelde is van zo'n hypergeometrische willekeurige variabele.
Verwacht aantal wedstrijden
Dit is een erg populair probleem met betrekking tot verwachting, stel dat er in een kamer N aantal mensen zijn die hun hoeden in het midden van de kamer gooien en alle hoeden worden gemengd, daarna kiest elke persoon willekeurig één hoed en dan het verwachte aantal mensen die hun eigen hoed selecteren, kunnen we verkrijgen door X het aantal overeenkomsten te laten zijn, dus
Waar
aangezien elke persoon gelijke kansen heeft om een van de hoed uit N hoeden te kiezen dan
so
wat betekent dat gemiddeld precies één persoon zijn eigen hoed kiest.
De kans op een vereniging van gebeurtenissen
Laten we de waarschijnlijkheid van de vereniging van de gebeurtenissen verkrijgen met behulp van verwachting, dus voor de gebeurtenissen Ai
hiermee nemen we
dus de verwachting hiervan zal zijn
en uitbreiden met verwachtingseigenschap als
sinds we hebben
en
so
dit impliceert de kans op vereniging als
Grenzen aan verwachting met behulp van de probabilistische methode
Stel dat S een eindige verzameling is en f is de functie op de elementen van S en
hier kunnen we de ondergrens voor deze m verkrijgen door de verwachting van f (s) waarbij "s" een willekeurig element van S is waarvan we de verwachting kunnen berekenen
hier krijgen we verwachting als de ondergrens voor de maximale waarde
Maximum-Minimum identiteit
Maximum Minimale identiteit is het maximum van de reeks getallen tot de minima van de subsets van deze getallen, dat is voor alle getallen xi
Laten we om dit te laten zien de x . beperkeni stel binnen het interval [0,1] een uniforme willekeurige variabele U op het interval (0,1) en de gebeurtenissen Ai aangezien de uniforme variabele U kleiner is dan xi dat is
aangezien ten minste één van de bovenstaande gebeurtenissen plaatsvindt omdat U kleiner is dan één, is de waarde van xi
en
Het is duidelijk dat we het weten
en alle gebeurtenissen zullen plaatsvinden als U kleiner is dan alle variabelen en
de kans geeft
we hebben het resultaat van de waarschijnlijkheid van vereniging als
volgens deze inclusie-uitsluitingsformule voor de kans
overwegen
dit geeft
sinds
wat betekent
- daarom kunnen we het schrijven als
met verwachting kunnen we verwachte waarden van maximale en gedeeltelijke minima vinden als find
Conclusie:
De verwachting in termen van verschillende distributie en correlatie van verwachting met enkele van de waarschijnlijkheids theorie concepten waren de focus van dit artikel, dat het gebruik van verwachting laat zien als een hulpmiddel om verwachte waarden van verschillende soorten willekeurige variabelen te krijgen, als je verder wilt lezen, ga dan door onderstaande boeken.
Voor meer artikelen over wiskunde, zie onze Wiskunde pagina.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.