Functies voor het genereren van momenten: 13 belangrijke feiten

Moment genererende functie    

Momentgenererende functie is een zeer belangrijke functie die de momenten van willekeurige variabele genereert die betrekking hebben op gemiddelde, standaarddeviatie en variantie enz., Dus met behulp van alleen de momentgenererende functie kunnen we zowel basismomenten als hogere momenten vinden. In dit artikel zullen we zal momentgenererende functies zien voor de verschillende discrete en continue willekeurige variabelen. aangezien de Moment-genererende functie (MGF) wordt gedefinieerd met behulp van wiskundige verwachting aangeduid met M(t) als

gif

en met behulp van de definitie van verwachting voor de discrete en continue willekeurige variabele deze functie wordt

gif.latex?M%28t%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%20%5Csum %7Bx%7D%20e%5E%7Bt%20x%7D%20p%28x%29%20%26%20%5Ctext%20%7B%20if%20%7D%20X%20%5Ctext%20%7B%20is%20discrete%20with%20mass%20function%20%7D%20p%28x%29%20%5C%5C%20%5Cint %7B

die door de waarde van t als nul te vervangen, respectieve momenten genereert. Deze momenten moeten we verzamelen door deze momentgenererende functie te differentiëren, bijvoorbeeld voor het eerste moment of gemiddelde dat we kunnen verkrijgen door eenmaal te differentiëren als

gif

Dit geeft de hint dat differentiatie uitwisselbaar is onder de verwachting en we kunnen het schrijven als

gif

en

gif

als t=0 zijn de bovenstaande momenten

gif

en

gif

In het algemeen kunnen we zeggen dat

gif

Vandaar

gif

Momentgenererende functie van binominale distributie||Binominale distributie momentgenererende functie||MGF van binominale distributie||Gemiddelde en variantie van binominale distributie met behulp van momentgenererende functie

De Moment-genererende functie voor de willekeurige variabele X die binomiale verdeling is, zal de waarschijnlijkheidsfunctie van binomiale verdeling volgen met de parameters n en p als

gif

wat het resultaat is van de binomiale stelling, nu differentiërend en de waarde van t=0 . zettend

gif

wat het gemiddelde of eerste moment van binominale verdeling is, net zoals het tweede moment zal zijn

gif

dus de variantie van de binominale verdeling zal zijn

gif

wat het standaardgemiddelde en de variantie is van de binomiale verdeling, net als de hogere momenten die we ook kunnen vinden met behulp van deze momentgenererende functie.

Momentgenererende functie van Vis distributie||Vis distributiemoment genererende functie||MGF van Vis distributie||Gemiddelde en variantie van Poisson-verdeling met behulp van de momentgenererende functie

 Als we de willekeurige variabele X hebben die Poisson is, verdeeld met parameter Lambda, dan is de momentgenererende functie voor deze verdeling:

gif

nu differentiëren dit zal geven

gif

dit geeft

gif

wat het gemiddelde en de variantie voor de Poisson-verdeling geeft, hetzelfde wat waar is

Momentgenererende functie van exponentiële verdeling||Exponentiële distributiemoment genererende functie||MGF van Exponentiële distributie||Gemiddelde en variantie van Exponentiële distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten

                De Moment-genererende functie voor de exponentiële willekeurige variabele X door de definitie te volgen is

gif

hier is de waarde van t kleiner dan de parameter lambda, nu differentiëren hiervan geeft

gif

die zorgt voor de momenten

gif

duidelijk

gif

Wat zijn het gemiddelde en de variantie van exponentiële verdeling.

Momentgenererende functie van Normale verdeling||Normal distributiemoment genererende functie||MGF van Normal distributie||Gemiddelde en variantie van Normaal distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten

  De momentgenererende functie voor de continue verdelingen is ook hetzelfde als de discrete, dus de momentgenererende functie voor de normale verdeling met standaard kansdichtheidsfunctie zal zijn

deze integratie kunnen we oplossen door aanpassing als:

%202%7D%20%5Cend%7Barray%7D

omdat de waarde van integratie 1 is. Dus de momentgenererende functie voor de standaard normale variatie zal zijn

%202%7D

hieruit kunnen we voor elke algemene normale willekeurige variabele de momentgenererende functie vinden met behulp van de relatie

gif

dus

%202%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3De%5E%7B%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%20t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5Cmu%20t%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

dus differentiatie geeft ons

gif

dus

gif

dus de variantie zal zijn

gif

Momentgenererende functie van Som van willekeurige variabelen

De Moment genererende functie van de som van willekeurige variabelen geeft een belangrijke eigenschap dat het gelijk is aan het product van de momentgenererende functie van de respectieve onafhankelijke willekeurige variabelen die voor onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y is, dan is de momentgenererende functie voor de som van de willekeurige variabele X+Y is

Moment genererende functie
MGF VAN SUM

hier momentgenererende functies van elke X en Y zijn onafhankelijk door de eigenschap van wiskundige verwachting. In de opeenvolging zullen we de som vinden van momentgenererende functies van verschillende distributies.

Som van binominale willekeurige variabelen

Als de willekeurige variabelen X en Y worden verdeeld door binomiale verdeling met respectievelijk de parameters (n,p) en (m,p), dan is de momentgenererende functie van hun som X+Y

gif

waarbij de parameters voor de som (n+m,p) zijn.

Som van willekeurige Poisson-variabelen

De verdeling voor de som van onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y met respectieve gemiddelden die worden verdeeld door Poisson-verdeling kunnen we vinden als

gif

Waar

gif

is het gemiddelde van de willekeurige variabele X+Y van Poisson.

Som van normale willekeurige variabelen

     Overweeg de onafhankelijke normale willekeurige variabelen X en Y met de parameters

gif

dan voor de som van willekeurige variabelen X+Y met parameters

gif

dus de momentgenererende functie zal zijn

gif

dat is een momentgenererende functie met additief gemiddelde en variantie.

Som van willekeurig aantal willekeurige variabelen

Om de momentgenererende functie van de som van het willekeurige aantal willekeurige variabelen te vinden, nemen we de willekeurige variabele aan

gif

waar de willekeurige variabelen X1,X2, ... zijn reeksen willekeurige variabelen van elk type, die onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, dan zal de momentgenererende functie zijn

gif
gif

Dat geeft de momentgenererende functie van Y bij differentiatie als

gif

Vandaar

gif

op dezelfde manier zal de differentiatie twee keer geven

gif

die geven

gif

dus de variantie zal zijn

gif

Voorbeeld van een willekeurige chikwadraatvariabele

Bereken de momentgenererende functie van de Chi-kwadraat willekeurige variabele met n-vrijheidsgraad.

Oplossing: beschouw de Chi-kwadraat stochastische variabele met de n-vrijheidsgraad voor

gif

de reeks van standaard normale variabelen, dan is de momentgenererende functie

gif

dus het geeft

%202%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

de normale dichtheid met gemiddelde 0 en variantie σ2 integreert tot 1

%202%7D

dat is de vereiste momentgenererende functie van n vrijheidsgraad.

Voorbeeld van uniforme willekeurige variabele

Vind de momentgenererende functie van willekeurige variabele X die binomiaal is verdeeld met parameters n en p gegeven de voorwaardelijk willekeurige variabele Y=p op het interval (0,1)

Oplossing: om de momentgenererende functie van willekeurige variabele X te vinden, gegeven Y

gif

met behulp van de binominale verdeling is sin Y de uniforme willekeurige variabele op het interval (0,1)

gif.latex?%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20E%5Cleft%5Be%5E%7Bt%20X%7D%5Cright%5D%3D%5Cint %7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cleft%28p%20e%5E%7Bt%7D+1 p%5Cright%29%5E%7Bn%7D%20d%20p%20%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bt%7D 1%7D%20%5Cint %7B1%7D%5E%7Be%5E%7Bt%7D%7D%20y%5E%7Bn%7D%20d%20y%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn+1%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bt%28n+1%29%7D 1%7D%7Be%5E%7Bt%7D

Gezamenlijke momentgenererende functie

De gezamenlijke momentgenererende functie voor het n aantal willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn

gif

waar t1,t2,……Tn zijn de reële getallen, van de gezamenlijke momentgenererende functie kunnen we de individuele momentgenererende functie vinden als find

gif

Stelling: De willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn onafhankelijk dan en slechts dan als de gezamenlijke geheugengenererende functie

gif

Bewijs: Laten we aannemen dat de gegeven willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn dan onafhankelijk

gif

Neem nu aan dat de gezamenlijke momentgenererende functie voldoet aan de vergelijking

gif
  • om de willekeurige variabelen X . te bewijzen1,X2,…,Xn onafhankelijk zijn, hebben we het resultaat dat de gezamenlijke momentgenererende functie op unieke wijze de gezamenlijke verdeling geeft (dit is een ander belangrijk resultaat dat bewijs vereist), dus we moeten een gezamenlijke verdeling hebben die laat zien dat de willekeurige variabelen onafhankelijk zijn, vandaar dat de noodzakelijke en voldoende voorwaarde is bewezen.

Voorbeeld van een functie voor het genereren van gezamenlijke momenten:

1.Bereken de gezamenlijke momentgenererende functie van de willekeurige variabele X+Y en X-Y

Oplossing : Aangezien de som van de willekeurige variabelen X+Y en het aftrekken van de willekeurige variabelen XY onafhankelijk zijn zoals voor de onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y, is de gezamenlijke momentgenererende functie hiervoor

%202%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3De%5E%7B2%20%5Cmu%20t+%5Csigma%5E%7B2%7D%20t%5E%7B2%7D%7D%20e%5E%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%20s%5E%7B2%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

aangezien deze momentgenererende functie de gezamenlijke verdeling bepaalt, kunnen we daaruit concluderen dat X+Y en XY onafhankelijke willekeurige variabelen zijn.

2. Beschouw voor het experiment het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen verdeeld door poissonverdeling met kans p en het gemiddelde λ, laat zien dat het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen onafhankelijk is met respectievelijke gemiddelden λp en λ(1-p).

Oplossing: we beschouwen X als het aantal gebeurtenissen en Xc het aantal getelde gebeurtenissen, dus het aantal niet-getelde gebeurtenissen is XXc, zal de gezamenlijke momentgenererende functie moment genereren;

gif

en op het moment dat de functie van binominale distributie wordt gegenereerd

gif

en het wegnemen van de verwachting van deze zal geven

gif

Conclusie:

Door gebruik te maken van de standaarddefinitie van de momentgenererende functie werden de momenten voor de verschillende verdelingen zoals binomiaal, poisson, normaal enz. besproken en werd de som van deze willekeurige variabelen, ofwel de discrete of continue de momentgenererende functie daarvoor, en de gezamenlijke momentgenererende functie verkregen met geschikte voorbeelden, als u meer wilt lezen, blader dan door onderstaande boeken.

Voor meer artikelen over wiskunde, zie onze Wiskunde pagina.

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH