Moment genererende functie
Momentgenererende functie is een zeer belangrijke functie die de momenten van willekeurige variabele genereert die betrekking hebben op gemiddelde, standaarddeviatie en variantie enz., Dus met behulp van alleen de momentgenererende functie kunnen we zowel basismomenten als hogere momenten vinden. In dit artikel zullen we zal momentgenererende functies zien voor de verschillende discrete en continue willekeurige variabelen. aangezien de Moment-genererende functie (MGF) wordt gedefinieerd met behulp van wiskundige verwachting aangeduid met M(t) als
en met behulp van de definitie van verwachting voor de discrete en continue willekeurige variabele deze functie wordt
die door de waarde van t als nul te vervangen, respectieve momenten genereert. Deze momenten moeten we verzamelen door deze momentgenererende functie te differentiëren, bijvoorbeeld voor het eerste moment of gemiddelde dat we kunnen verkrijgen door eenmaal te differentiëren als
Dit geeft de hint dat differentiatie uitwisselbaar is onder de verwachting en we kunnen het schrijven als
en
als t=0 zijn de bovenstaande momenten
en
In het algemeen kunnen we zeggen dat
Vandaar
Momentgenererende functie van binominale distributie||Binominale distributie momentgenererende functie||MGF van binominale distributie||Gemiddelde en variantie van binominale distributie met behulp van momentgenererende functie
De Moment-genererende functie voor de willekeurige variabele X die binomiale verdeling is, zal de waarschijnlijkheidsfunctie van binomiale verdeling volgen met de parameters n en p als
wat het resultaat is van de binomiale stelling, nu differentiërend en de waarde van t=0 . zettend
wat het gemiddelde of eerste moment van binominale verdeling is, net zoals het tweede moment zal zijn
dus de variantie van de binominale verdeling zal zijn
wat het standaardgemiddelde en de variantie is van de binomiale verdeling, net als de hogere momenten die we ook kunnen vinden met behulp van deze momentgenererende functie.
Momentgenererende functie van Vis distributie||Vis distributiemoment genererende functie||MGF van Vis distributie||Gemiddelde en variantie van Poisson-verdeling met behulp van de momentgenererende functie
Als we de willekeurige variabele X hebben die Poisson is, verdeeld met parameter Lambda, dan is de momentgenererende functie voor deze verdeling:
nu differentiëren dit zal geven
dit geeft
wat het gemiddelde en de variantie voor de Poisson-verdeling geeft, hetzelfde wat waar is
Momentgenererende functie van exponentiële verdeling||Exponentiële distributiemoment genererende functie||MGF van Exponentiële distributie||Gemiddelde en variantie van Exponentiële distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten
De Moment-genererende functie voor de exponentiële willekeurige variabele X door de definitie te volgen is
hier is de waarde van t kleiner dan de parameter lambda, nu differentiëren hiervan geeft
die zorgt voor de momenten
duidelijk
Wat zijn het gemiddelde en de variantie van exponentiële verdeling.
Momentgenererende functie van Normale verdeling||Normal distributiemoment genererende functie||MGF van Normal distributie||Gemiddelde en variantie van Normaal distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten
De momentgenererende functie voor de continue verdelingen is ook hetzelfde als de discrete, dus de momentgenererende functie voor de normale verdeling met standaard kansdichtheidsfunctie zal zijn
deze integratie kunnen we oplossen door aanpassing als:
omdat de waarde van integratie 1 is. Dus de momentgenererende functie voor de standaard normale variatie zal zijn
hieruit kunnen we voor elke algemene normale willekeurige variabele de momentgenererende functie vinden met behulp van de relatie
dus
dus differentiatie geeft ons
dus
dus de variantie zal zijn
Momentgenererende functie van Som van willekeurige variabelen
De Moment genererende functie van de som van willekeurige variabelen geeft een belangrijke eigenschap dat het gelijk is aan het product van de momentgenererende functie van de respectieve onafhankelijke willekeurige variabelen die voor onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y is, dan is de momentgenererende functie voor de som van de willekeurige variabele X+Y is
hier momentgenererende functies van elke X en Y zijn onafhankelijk door de eigenschap van wiskundige verwachting. In de opeenvolging zullen we de som vinden van momentgenererende functies van verschillende distributies.
Som van binominale willekeurige variabelen
Als de willekeurige variabelen X en Y worden verdeeld door binomiale verdeling met respectievelijk de parameters (n,p) en (m,p), dan is de momentgenererende functie van hun som X+Y
waarbij de parameters voor de som (n+m,p) zijn.
Som van willekeurige Poisson-variabelen
De verdeling voor de som van onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y met respectieve gemiddelden die worden verdeeld door Poisson-verdeling kunnen we vinden als
Waar
is het gemiddelde van de willekeurige variabele X+Y van Poisson.
Som van normale willekeurige variabelen
Overweeg de onafhankelijke normale willekeurige variabelen X en Y met de parameters
dan voor de som van willekeurige variabelen X+Y met parameters
dus de momentgenererende functie zal zijn
dat is een momentgenererende functie met additief gemiddelde en variantie.
Som van willekeurig aantal willekeurige variabelen
Om de momentgenererende functie van de som van het willekeurige aantal willekeurige variabelen te vinden, nemen we de willekeurige variabele aan
waar de willekeurige variabelen X1,X2, ... zijn reeksen willekeurige variabelen van elk type, die onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, dan zal de momentgenererende functie zijn
Dat geeft de momentgenererende functie van Y bij differentiatie als
Vandaar
op dezelfde manier zal de differentiatie twee keer geven
die geven
dus de variantie zal zijn
Voorbeeld van een willekeurige chikwadraatvariabele
Bereken de momentgenererende functie van de Chi-kwadraat willekeurige variabele met n-vrijheidsgraad.
Oplossing: beschouw de Chi-kwadraat stochastische variabele met de n-vrijheidsgraad voor
de reeks van standaard normale variabelen, dan is de momentgenererende functie
dus het geeft
de normale dichtheid met gemiddelde 0 en variantie σ2 integreert tot 1
dat is de vereiste momentgenererende functie van n vrijheidsgraad.
Voorbeeld van uniforme willekeurige variabele
Vind de momentgenererende functie van willekeurige variabele X die binomiaal is verdeeld met parameters n en p gegeven de voorwaardelijk willekeurige variabele Y=p op het interval (0,1)
Oplossing: om de momentgenererende functie van willekeurige variabele X te vinden, gegeven Y
met behulp van de binominale verdeling is sin Y de uniforme willekeurige variabele op het interval (0,1)
Gezamenlijke momentgenererende functie
De gezamenlijke momentgenererende functie voor het n aantal willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn
waar t1,t2,……Tn zijn de reële getallen, van de gezamenlijke momentgenererende functie kunnen we de individuele momentgenererende functie vinden als find
Stelling: De willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn onafhankelijk dan en slechts dan als de gezamenlijke geheugengenererende functie
Bewijs: Laten we aannemen dat de gegeven willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn dan onafhankelijk
Neem nu aan dat de gezamenlijke momentgenererende functie voldoet aan de vergelijking
- om de willekeurige variabelen X . te bewijzen1,X2,…,Xn onafhankelijk zijn, hebben we het resultaat dat de gezamenlijke momentgenererende functie op unieke wijze de gezamenlijke verdeling geeft (dit is een ander belangrijk resultaat dat bewijs vereist), dus we moeten een gezamenlijke verdeling hebben die laat zien dat de willekeurige variabelen onafhankelijk zijn, vandaar dat de noodzakelijke en voldoende voorwaarde is bewezen.
Voorbeeld van een functie voor het genereren van gezamenlijke momenten:
1.Bereken de gezamenlijke momentgenererende functie van de willekeurige variabele X+Y en X-Y
Oplossing : Aangezien de som van de willekeurige variabelen X+Y en het aftrekken van de willekeurige variabelen XY onafhankelijk zijn zoals voor de onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y, is de gezamenlijke momentgenererende functie hiervoor
aangezien deze momentgenererende functie de gezamenlijke verdeling bepaalt, kunnen we daaruit concluderen dat X+Y en XY onafhankelijke willekeurige variabelen zijn.
2. Beschouw voor het experiment het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen verdeeld door poissonverdeling met kans p en het gemiddelde λ, laat zien dat het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen onafhankelijk is met respectievelijke gemiddelden λp en λ(1-p).
Oplossing: we beschouwen X als het aantal gebeurtenissen en Xc het aantal getelde gebeurtenissen, dus het aantal niet-getelde gebeurtenissen is XXc, zal de gezamenlijke momentgenererende functie moment genereren;
en op het moment dat de functie van binominale distributie wordt gegenereerd
en het wegnemen van de verwachting van deze zal geven
Conclusie:
Door gebruik te maken van de standaarddefinitie van de momentgenererende functie werden de momenten voor de verschillende verdelingen zoals binomiaal, poisson, normaal enz. besproken en werd de som van deze willekeurige variabelen, ofwel de discrete of continue de momentgenererende functie daarvoor, en de gezamenlijke momentgenererende functie verkregen met geschikte voorbeelden, als u meer wilt lezen, blader dan door onderstaande boeken.
Voor meer artikelen over wiskunde, zie onze Wiskunde pagina.
Een eerste kanscursus door Sheldon Ross
Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek
Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.