Functies voor het genereren van momenten: 13 belangrijke feiten


Moment genererende functie    

Momentgenererende functie is een zeer belangrijke functie die de momenten van willekeurige variabele genereert die betrekking hebben op gemiddelde, standaarddeviatie en variantie enz., Dus met behulp van alleen de momentgenererende functie kunnen we zowel basismomenten als hogere momenten vinden. In dit artikel zullen we zal momentgenererende functies zien voor de verschillende discrete en continue willekeurige variabelen. aangezien de Moment-genererende functie (MGF) wordt gedefinieerd met behulp van wiskundige verwachting aangeduid met M(t) als

[latex][/latex]

[latex]M(t)=E\links[e^{t X}\rechts][/latex]

en met behulp van de definitie van verwachting voor de discrete en continue willekeurige variabele deze functie wordt

[latex]M(t)=\left\{\begin{array}{ll}
\sum_{x} e^{tx} p(x) & \text { if } X \text { is discreet met massafunctie } p(x) \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix} f(x) dx & \text { if } X \text { is continu met dichtheid } f(x)
\end{array}\rechts.
[/latex]

die door de waarde van t als nul te vervangen, respectieve momenten genereert. Deze momenten moeten we verzamelen door deze momentgenererende functie te differentiëren, bijvoorbeeld voor het eerste moment of gemiddelde dat we kunnen verkrijgen door eenmaal te differentiëren als

[latex]\begin{uitgelijnd}
M^{\prime}(t) &=\frac{d}{dt} E\left[e^{t X}\right] \\
&=E\left[\frac{d}{dt}\left(e^{LX}\right)\right] \\
&=E\links[X e^{t X}\rechts]
\end{uitgelijnd}[/latex]

Dit geeft de hint dat differentiatie uitwisselbaar is onder de verwachting en we kunnen het schrijven als

[latex]\frac{d}{dt}\left[\sum_{x} e^{ix} p(x)\right]=\sum_{x} \frac{d}{dt}\left[e^ {\operatornaam{tr}} p(x)\right][/latex]

en

[latex]\frac{d}{dt}\left[\int e^{ix} f(x) dx\right]=\int \frac{d}{dt}\left[e^{tx} f( x)\rechts] dx[/latex]

als t=0 zijn de bovenstaande momenten

[latex]M^{\prime}(0)=E[X][/latex]

en

[latex]\begin{uitgelijnd}
M^{\priem \priem}(t) &=\frac{d}{dt} M^{\priem}(t) \\
&=\frac{d}{dt} E\left[X e^{t X}\right] \\
&=E\left[\frac{d}{dt}\left(X e^{t X}\right)\right] \\
&=E\left[X^{2} e^{LX}\right]\\
M^{\prime \prime}(0)&=E\left[X^{2}\right]
\end{uitgelijnd}[/latex]

In het algemeen kunnen we zeggen dat

[latex]M^{n}(t)=E\left[X^{n} e^{t X}\right] \quad n \geq 1[/latex]

Vandaar

[latex]M^{n}(0)=E\left[X^{n}\right] \quad n \geq 1[/latex]

Momentgenererende functie van binominale distributie||Binominale distributie momentgenererende functie||MGF van binominale distributie||Gemiddelde en variantie van binominale distributie met behulp van momentgenererende functie

De Moment-genererende functie voor de willekeurige variabele X die binomiale verdeling is, zal de waarschijnlijkheidsfunctie van binomiale verdeling volgen met de parameters n en p als

[latex]\begin{uitgelijnd}
M(t) &=E\links[e^{t X}\rechts] \\
&=\sum_{k=0}^{n} e^{tk}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{nk} \\
&=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)\left(pe^{t}\right)^{k}(1-p)^{nk} \\
&=\links(pe^{t}+1-p\rechts)^{n}
\end{uitgelijnd}[/latex]

wat het resultaat is van de binomiale stelling, nu differentiërend en de waarde van t=0 . zettend

[latex]M^{\prime}(t)=n\left(pe^{t}+1-p\right)^{n-1} pe^{t}\\
E[X]=M^{\prime}(0)=np[/latex]

wat het gemiddelde of het eerste moment van binomiale verdeling is, op dezelfde manier zal het tweede moment zijn

[latex]M^{\prime}(t)=n(n-1)\left(pe^{t}+1-p\right)^{n-2}\left(pe^{t}\right )^{2}+n\left(pe^{t}+1-p\right)^{n-1} pe^{t}\\
E\left[X^{2}\right]=M^{\prime \prime}(0)=n(n-1) p^{2}+np[/latex]

dus de variantie van de binominale verdeling zal zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
\operatornaam{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\
&=n(n-1) p^{2}+n pn^{2} p^{2} \\
&=np(1-p)
\end{uitgelijnd}[/latex]

wat het standaardgemiddelde en de variantie is van de binomiale verdeling, net als de hogere momenten die we ook kunnen vinden met behulp van deze momentgenererende functie.

Momentgenererende functie van Vis distributie||Vis distributiemoment genererende functie||MGF van Vis distributie||Gemiddelde en variantie van Poisson-verdeling met behulp van de momentgenererende functie

 Als we de willekeurige variabele X hebben die Poisson is, verdeeld met parameter Lambda, dan is de momentgenererende functie voor deze verdeling:

[latex]\begin{uitgelijnd}
M(t) &=E\links[e^{\ell X}\rechts] \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{in} e^{-\lambda} \lambda^{n}}{n !} \\
&=e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda e^{t}\right)^{n}}{n !}\\
&=e^{-\lambda} e\\
&=e^ {\left\{\lambda\left(e^{t}-1\right)\right\}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

nu differentiëren dit zal geven

[latex]\begin{uitgelijnd}
M^{\prime}(t) &=\lambda e^{t} e^{\left\{\lambda\left(e^{t}-1\right)\right\} }\\
M^{\prime \prime}(t) &=\left(\lambda e^{t}\right)^{2} e^{\left\{\lambda\left(e^{t}-1\ rechts)\right\}}+\lambda e^{t} e^{ \left\{\lambda\left(e^{t}-1\right)\right\}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

dit geeft

[latex]\begin{uitgelijnd}
E[X] &=M^{\prime}(0)=\lambda \\
E\left[X^{2}\right] &=M^{\prime \prime}(0)=\lambda^{2}+\lambda \\
\operatornaam{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\
&=\lambda
\end{uitgelijnd}[/latex]

wat het gemiddelde en de variantie voor de Poisson-verdeling geeft, hetzelfde wat waar is

Momentgenererende functie van exponentiële verdeling||Exponentiële distributiemoment genererende functie||MGF van Exponentiële distributie||Gemiddelde en variantie van Exponentiële distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten

                De Moment-genererende functie voor de exponentiële willekeurige variabele X door de definitie te volgen is

[latex]\begin{uitgelijnd}
M(t) &=E\links[e^{t X}\rechts] \\
&=\int_{0}^{\infty} e^{\lfloor x} \lambda e^{-\lambda x} dx \\
&=\lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t) x} dx \\
&=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad \text { for } t<\lambda
\end{uitgelijnd}[/latex]

hier is de waarde van t kleiner dan de parameter lambda, nu differentiëren hiervan geeft

[latex]M^{\prime}(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}} \quad M^{\prime \prime}(t)=\frac{2 \ lambda}{(\lambda-t)^{3}}[/latex]

die zorgt voor de momenten

[latex]E[X]=M^{\prime}(0)=\frac{1}{\lambda} \quad E\left[X^{2}\right]=M^{\prime \prime} (0)=\frac{2}{\lambda^{2}}[/latex]

duidelijk

[latex]\begin{uitgelijnd}
\operatornaam{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\
&=\frac{1}{\lambda^{2}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

Wat zijn het gemiddelde en de variantie van exponentiële verdeling.

Momentgenererende functie van Normale verdeling||Normal distributiemoment genererende functie||MGF van Normal distributie||Gemiddelde en variantie van Normaal distributie met behulp van de functie voor het genereren van momenten

  De momentgenererende functie voor de continue verdelingen is ook hetzelfde als de discrete, dus de momentgenererende functie voor de normale verdeling met standaard kansdichtheidsfunctie zal zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
M_{Z}(t) &=E\links[e^{t Z}\rechts] \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} e^{-x^{2} / 2} dx
\end{uitgelijnd}[/latex]

deze integratie kunnen we oplossen door aanpassing als:

[latex]\begin{array}{l}
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left\{-\frac{\left(x^{2}-2 tx\ rechts)}{2}\right\} }dx \\
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left\{-\frac{(xt)^{2}}{2}+ \frac{t^{2}}{2}\right\}} dx \\
=e^{t^{2} / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(xt)^{2} / 2} dx \\
=e^{t^{2} / 2}
\end{array}[/latex]

omdat de waarde van integratie 1 is. Dus de momentgenererende functie voor de standaard normale variatie zal zijn

[latex]M_{Z}(t)=e^{t^{2} / 2}[/latex]

hieruit kunnen we voor elke algemene normale willekeurige variabele de momentgenererende functie vinden met behulp van de relatie

[latex]X=\mu+\sigma Z[/latex]

dus

[latex]\begin{uitgelijnd}
M_{X}(t) &=E\links[e^{t X}\rechts] \\
&=E\links[e^{t(\mu+\sigma Z)}\rechts] \\
&=E\links[e^{t \mu} e^{b \sigma Z}\right] \\
&=e^{t \mu} E\links[e^{k \sigma Z}\right] \\
&=e^{t \mu} M_{Z}(t \sigma) \\
&=e^{t \mu} e^{(t \sigma)^{2} / 2} \\
&=e^{\left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\right\}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

dus differentiatie geeft ons

[latex]\begin{array}{l}
M_{X}^{\prime}(t)=\left(\mu+t \sigma^{2}\right) \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}} {2}+\mu t\right\} \\
M_{X}^{\prime \prime}(t)=\left(\mu+t \sigma^{2}\right)^{2} \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\right\}+\sigma^{2} \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\ mu t\right\}
\end{array}[/latex]

dus

[latex]\begin{uitgelijnd}
E[X] &=M^{\prime}(0)=\mu \\
E\left[X^{2}\right] &=M^{\prime \prime}(0)=\mu^{2}+\sigma^{2}
\end{uitgelijnd}[/latex]

dus de variantie zal zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
\operatornaam{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-E([X])^{2} \\
&=\sigma^{2}
\end{uitgelijnd}[/latex]

Momentgenererende functie van Som van willekeurige variabelen

De Moment genererende functie van de som van willekeurige variabelen geeft een belangrijke eigenschap dat het gelijk is aan het product van de momentgenererende functie van de respectieve onafhankelijke willekeurige variabelen die voor onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y is, dan is de momentgenererende functie voor de som van de willekeurige variabele X+Y is

Moment genererende functie
MGF VAN SUM

hier momentgenererende functies van elke X en Y zijn onafhankelijk door de eigenschap van wiskundige verwachting. In de opeenvolging vinden we de som van momentgenererende functies van verschillende distributies.

Som van binominale willekeurige variabelen

Als de willekeurige variabelen X en Y worden verdeeld door binomiale verdeling met respectievelijk de parameters (n,p) en (m,p), dan is de momentgenererende functie van hun som X+Y

[latex]\begin{uitgelijnd}
M_{X+Y}(t)=M_{X}(t) M_{Y}(t) &=\left(pe^{t}+1-p\right)^{n}\left(pe^ {t}+1-p\right)^{m} \\
&=\links(pe^{t}+1-p\rechts)^{m+n}
\end{uitgelijnd}[/latex]

waarbij de parameters voor de som (n+m,p) zijn.

Som van willekeurige Poisson-variabelen

De verdeling voor de som van onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y met respectieve gemiddelden die worden verdeeld door Poisson-verdeling kunnen we vinden als

[latex]\begin{uitgelijnd}
M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\
&=\exp \left\{\lambda_{1}\left(e^{t}-1\right)\right\} \exp \left\{\lambda_{2}\left(e^{t}- 1\rechts)\rechts\} \\
&=\exp \left\{\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\left(e^{t}-1\right)\right\}
\end{uitgelijnd}[/latex]

Waar

[latex]\lambda_{1}+\lambda_{2}[/latex]

is het gemiddelde van de willekeurige variabele X+Y van Poisson.

Som van normale willekeurige variabelen

     Overweeg de onafhankelijke normale willekeurige variabelen X en Y met de parameters

[latex]left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \ en \ \left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)[/latex ]

dan voor de som van willekeurige variabelen X+Y met parameters

[latex]\mu_{1}+\mu_{2} \ en \ \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}[/latex]

dus de momentgenererende functie zal zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\
&=e^{\left\{\frac{\sigma_{1}^{2} t^{2}}{2}+\mu_{1} t\right\} \exp \left\{\frac{ \sigma_{2}^{2} t^{2}}{2}+\mu_{2} t\right\}} \\
&=e^{\left\{\frac{\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) t^{2}}{2}+\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) t\right\}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

dat is een momentgenererende functie met additief gemiddelde en variantie.

Som van willekeurig aantal willekeurige variabelen

Om de momentgenererende functie van de som van het willekeurige aantal willekeurige variabelen te vinden, gaan we uit van de willekeurige variabele

[latex]Y=\sum_{i=1}^{N} X_{i[/latex]

waar de willekeurige variabelen X1,X2, ... zijn reeksen willekeurige variabelen van elk type, die onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, dan zal de momentgenererende functie zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
E\left[\exp \left\{t \sum_{1}^{N} X_{i}\right\} \mid N=n\right] &=E\left[\exp \left\{t \ sum_{1}^{n} X_{i}\right\} \mid N=n\right] \\
&=E\left[\exp \left\{t \sum_{1}^{n} X_{i}\right\}\right] \\
&=\links[M_{X}(t)\rechts]^{n}
\end{uitgelijnd}[/latex]

[latex]\text{where }MX(t)=E\left[e^{t X_{i}}\right]\\ \text{Thus } E\left[e^{t Y} \mid N\ rechts]=\left(M_{X}(t)\right)^{N}\\ M_{Y}(t)=E\left[\left(M_{X}(t)\right)^{N }\rechts][/latex]

Dat geeft de momentgenererende functie van Y bij differentiatie als

[latex]M_{Y}^{\prime}(t)=E\left[N\left(M_{X}(t)\right)^{N-1} M_{X}^{\prime}( t)\right][/latex]

Vandaar

[latex]\begin{uitgelijnd}
E[Y] &=M_{Y}^{\prime}(0) \\
&=E\left[N\left(M_{X}(0)\right)^{N-1} M_{X}^{\prime}(0)\right] \\
&=E[NEX] \\
&=E[N] E[X]
\end{uitgelijnd}[/latex]

op dezelfde manier zal de differentiatie twee keer geven

[latex]M_{Y}^{\prime \prime}(t)=E\left[N(N-1)\left(M_{X}(t)\right)^{N-2}\left( M_{X}^{\prime}(t)\right)^{2}+N\left(M_{X}(t)\right)^{N-1} M_{X}^{\prime \prime }(t)\right][/latex]

die geven

[latex]\begin{uitgelijnd}
E\left[Y^{2}\right] &=M_{Y}^{\prime \prime}(0) \\
&=E\left[N(N-1)(E[X])^{2}+NE\left[X^{2}\right]\right] \\
&=(E[X])^{2}\left(E\left[N^{2}\right]-E[N]\right)+E[N] E\left[X^{2}\ Rechtsaf] \\
&=E[N]\left(E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}\right)+(E[X])^{2} E\left[ N^{2}\rechts] \\
&=E[N] \operatornaam{Var}(X)+(E[X])^{2} E\left[N^{2}\right]
\end{uitgelijnd}[/latex]

dus de variantie zal zijn

[latex]\begin{uitgelijnd}
\operatornaam{Var}(Y) &=E[N] \operatornaam{Var}(X)+(E[X])^{2}\left(E\left[N^{2}\right]-( E[N])^{2}\rechts) \\
&=E[N] \operatornaam{Var}(X)+(E[X])^{2} \operatornaam{Var}(N)
\end{uitgelijnd}[/latex]

Voorbeeld van een willekeurige chikwadraatvariabele

Bereken de momentgenererende functie van de Chi-kwadraat willekeurige variabele met n-vrijheidsgraad.

Oplossing: beschouw de Chi-kwadraat stochastische variabele met de n-vrijheidsgraad voor

[latex]Z_{1}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2}[/latex]

de reeks van standaard normale variabelen, dan is de momentgenererende functie

[latex]M(t)=\left(E\left[e^{t Z^{2}}\right]\right)^{n}[/latex]

dus het geeft

[latex]\begin{uitgelijnd}
E\left[e^{t Z^{2}}\right] &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx^ {2}} e^{-x^{2} / 2} dx \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \quad \ tekst { waar } \sigma^{2}=(1-2 t)^{-1} \\
&=\sigma \\
&=(1-2 t)^{-1 / 2}
\end{uitgelijnd}[/latex]

de normale dichtheid met gemiddelde 0 en variantie σ2 integreert tot 1

[latex]M(t)=(1-2 t)^{-n / 2}[/latex]

dat is de vereiste momentgenererende functie van n vrijheidsgraad.

Voorbeeld van uniforme willekeurige variabele

Vind de momentgenererende functie van willekeurige variabele X die binomiaal is verdeeld met parameters n en p gegeven de voorwaardelijk willekeurige variabele Y=p op het interval (0,1)

Oplossing: om de momentgenererende functie van willekeurige variabele X te vinden, gegeven Y

[latex]E\left[e^{XX} \mid Y=p\right]=\left(pe^{t}+1-p\right)^{n}[/latex]

met behulp van de binominale verdeling is sin Y de uniforme willekeurige variabele op het interval (0,1)

[latex]
\begin{array}{l}
E\left[e^{t X}\right]=\int_{0}^{1}\left(pe^{t}+1-p\right)^{n} dp
\\=\frac{1}{e^{t}-1} \int_{1}^{e^{t}} y^{n} dy\\
=\frac{1}{n+1} \frac{e^{t(n+1)}-1}{e^{t}-1} \\
=\frac{1}{n+1}\left(1+e^{t}+e^{2 t}+\cdots+e^{nt}\right)
\end{array}
\\\text{door }\left.y=pe^{t}+1-p\right te vervangen)
[/latex]

Gezamenlijke momentgenererende functie

De gezamenlijke momentgenererende functie voor het n aantal willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn

[latex]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=E\left[e^{t_{1} X_{1}+\cdots+t_{n} X_{n} }\rechts][/latex]

waar t1,t2,……tn zijn de reële getallen, van de gezamenlijke momentgenererende functie kunnen we de individuele momentgenererende functie vinden als find

[latex]M_{X_{i}}(t)=E\left[e^{t X_{i}}\right]=M(0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)[ /latex]

Stelling: De willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn onafhankelijk dan en slechts dan als de gezamenlijke geheugengenererende functie

[latex]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\left(t_{1}\right) \cdots M X_{n}\left(t_{ n}\rechts)[/latex]

Bewijs: Laten we aannemen dat de gegeven willekeurige variabelen X1,X2,…,Xn zijn dan onafhankelijk

[latex]\begin{uitgelijnd}
M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) &=E\left[e^{\left(t_{1} X_{1}+\cdots+t_{n} X_{n }\rechts)}\rechts] \\
&=E\left[e^{t_{1} X_{1}} \ldots e^{t_{n} X_{n}}\right] \\
&=E\left[e^{t_{1} X_{1}}\right] \cdots E\left[e^{t_{n} X_{n}}\right] \quad \text { by onafhankelijkheid } \\
&=M_{X_{1}}\left(t_{1}\right) \cdots M_{X_{n}}\left(t_{n}\right)
\end{uitgelijnd}[/latex]

Neem nu aan dat de gezamenlijke momentgenererende functie voldoet aan de vergelijking

[latex]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\left(t_{1}\right) \cdots M X_{n}\left(t_{ n}\rechts)[/latex]

  • om de willekeurige variabelen X . te bewijzen1,X2,…,Xn onafhankelijk zijn, hebben we het resultaat dat de gezamenlijke momentgenererende functie op unieke wijze de gezamenlijke verdeling geeft (dit is een ander belangrijk resultaat dat bewijs vereist), dus we moeten een gezamenlijke verdeling hebben die laat zien dat de willekeurige variabelen onafhankelijk zijn, vandaar dat de noodzakelijke en voldoende voorwaarde is bewezen.

Voorbeeld van een functie voor het genereren van gezamenlijke momenten:

1. Bereken de gezamenlijke momentgenererende functie van de willekeurige variabele X+Y en XY

Oplossing : Aangezien de som van de willekeurige variabelen X+Y en het aftrekken van de willekeurige variabelen XY onafhankelijk zijn zoals voor de onafhankelijke willekeurige variabelen X en Y, is de gezamenlijke momentgenererende functie hiervoor

[latex]\begin{uitgelijnd}
E\left[e^{n(X+Y)+s(XY)}\right] &=E\left[e^{(t+s) X+(ts) Y}\right] \\
&=E\left[e^{(t+s) X}\right] E\left[e^{(ts) Y}\right] \\
&=e^{\mu(t+s)+\sigma^{2}(t+s)^{2} / 2} e^{\mu(ts)+\sigma^{2}(ts)^ {2} / 2} \\
&=e^{2 \mu t+\sigma^{2} t^{2}} e^{\sigma^{2} s^{2}}
\end{uitgelijnd}[/latex]

aangezien deze momentgenererende functie de gezamenlijke verdeling bepaalt, kunnen we daaruit concluderen dat X+Y en XY onafhankelijke willekeurige variabelen zijn.

2. Beschouw voor het experiment het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen verdeeld door poissonverdeling met kans p en het gemiddelde λ, laat zien dat het aantal getelde en ongetelde gebeurtenissen onafhankelijk is met respectievelijke gemiddelden λp en λ(1-p).

Oplossing: we beschouwen X als het aantal gebeurtenissen en Xc het aantal getelde gebeurtenissen, dus het aantal niet-getelde gebeurtenissen is XXc, zal de gezamenlijke momentgenererende functie moment genereren;

[latex]\begin{uitgelijnd}
E\left[e^{\kappa X_{\varepsilon}+t\left(X-X_{c}\right)} \mid X=n\right] &=e^{\ln } E\left[e ^{(st) X_{c}} \mid X=n\right] \\
&=e^{in}\left(pe^{st}+1-p\right)^{n} \\
&=\links(pe^{s}+(1-p) e^{t}\rechts)^{n}
\end{uitgelijnd}[/latex]

en op het moment dat de functie van binominale distributie wordt gegenereerd

[latex]E\left[e^{s X_{\varepsilon}+t\left(X-X_{\varepsilon}\right)} \mid X\right]=\left(pe^{s}+(1 -p) e^{t}\right)^{X}[/latex]

en het wegnemen van de verwachting van deze zal geven

[latex]E\left[e^{\sum X_{c}+t\left(X-X_{c}\right)}\right]=E\left[\left(pe^{s}+(1 -p) e^{t}\rechts)^{X}\rechts]\\
\begin{uitgelijnd}
E\left[e^{s X_{c}+t\left(X-X_{c}\right)}\right] &=e^{\lambda\left(pe^{\prime}+(1- p) e^{t}-1\right)} \\
&=e^{\lambda p\left(e^{c-1}\right)} e^{\lambda(1-p)\left(e^{t}-1\right)}
\end{uitgelijnd}[/latex]

Conclusie:

Door de standaarddefinitie van de momentgenererende functie te gebruiken, werden de momenten voor de verschillende distributies zoals binomiaal, poisson, normaal enz. besproken en de som van deze willekeurige variabelen, ofwel de discrete of continue de momentgenererende functie voor die en de gezamenlijke momentgenererende functie, werd verkregen met geschikte voorbeelden, als u meer wilt lezen, kunt u onderstaande boeken doornemen.

Voor meer artikelen over wiskunde, zie onze Wiskunde pagina.

Een eerste kanscursus door Sheldon Ross

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

Een inleiding tot kansrekening en statistiek door ROHATGI en SALEH

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistent-professor in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Grote kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en zelfverklarend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws