Normale willekeurige variabele: 3 belangrijke feiten

Normale willekeurige variabele en normale verdeling

      Van de willekeurige variabele met een ontelbare reeks waarden is bekend dat deze continue willekeurige variabele is, en de kansdichtheidsfunctie met behulp van integratie als gebied onder de curve geeft de continue verdeling, nu zullen we ons concentreren op een van de meest gebruikte en frequente continue willekeurige variabelen namelijk normale willekeurige variabele die een andere naam heeft als Gaussische willekeurige variabele of Gaussische verdeling.

Normale willekeurige variabele

      Normale willekeurige variabele is de continue willekeurige variabele met kansdichtheidsfunctie

01

gemeen hebben μ en variantie σ2 als de statistische parameters en geometrisch heeft de kansdichtheidsfunctie de klokvormige curve die symmetrisch is rond de gemiddelde μ.

Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele

We weten dat de kansdichtheidsfunctie de totale kans als één heeft

02

door y = (x-μ) / σ te zetten

03
04
05
06
07

deze dubbele integratie kan worden opgelost door deze om te zetten in polaire vorm

08

wat de vereiste waarde is, zodat deze wordt geverifieerd voor de integraal I.

  • Als X normaal verdeeld is met parameter μ  en σ2 dan is Y = aX + b ook normaal verdeeld met de parameters aμ + b en a2μ2

Verwachting en variantie van normale willekeurige variabele

De verwachte waarde van de normale willekeurige variabele en de variantie die we krijgen met behulp van

09

waarbij X normaal verdeeld is met het gemiddelde van de parameters μ en standaarddeviatie σ.

10

aangezien het gemiddelde van Z nul is, hebben we de variantie als

11

door integratie door onderdelen te gebruiken

12 1

voor de variabele Z is de grafische interpretatie als volgt

Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele

en het gebied onder de curve voor deze variabele Z die bekend staat als standaard normale variabele, it wordt berekend voor de referentie (gegeven in de tabel), aangezien de curve symmetrisch is, dus voor negatieve waarden zal het gebied hetzelfde zijn als dat van positieve waarden

13
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

sinds we de vervanging hebben gebruikt

14

Houd er rekening mee dat Z standaard normaal variate is waarbij as continue willekeurige variabele X is normaal verdeeld normale willekeurige variabele met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ.

Dus om de verdelingsfunctie voor de willekeurige variabele te vinden, gebruiken we de conversie naar de standaard normaalvariaat als

16

voor elke waarde van a.

Voorbeeld: Zoek in de standaard normale curve het gebied tussen de punten 0 en 1.2.

Als we de tabel volgen, is de waarde van 1.2 onder de kolom 0 0.88493 en de waarde van 0 is 0.5000,

Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele
17

Voorbeeld: vind het gebied voor de standaard normale curve binnen -0.46 tot 2.21.

Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele

Vanuit het gearceerde gebied kunnen we dit gebied splitsen van -0.46 tot 0 en 0 tot 2.21 omdat de normale curve symmetrisch is rond de y-as, dus het gebied van -0.46 tot 0 is hetzelfde als het gebied van 0 tot 0.46, dus uit de tabel

18

en

19

dus we kunnen het schrijven als

Totale oppervlakte = (oppervlakte tussen z = -0.46 en z = 0) + (oppervlakte tussen z = 0 en z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Voorbeeld: Als X een normale willekeurige variabele is met gemiddelde 3 en variantie 9, zoek dan de volgende kansen

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Oplossing: sinds we hebben

20
21.PNG
22
Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele

dus opsplitsend in de intervallen -1/3 tot 0 en 0 tot 2/3 krijgen we de oplossing uit de tabelwaarden

23

or

24
25

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

en

26
Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele
27.PNG
Normaal Willekeurige variabele
Normaal Willekeurige variabele

Voorbeeld: Een waarnemer in het geval van vaderschap stelt dat de lengte (in dagen) van menselijke groei

wordt normaal verdeeld met de parameters gemiddelde 270 en variantie 100. In dit geval heeft de verdachte die de vader is van het kind het bewijs geleverd dat hij het land uit was gedurende een periode die 290 dagen vóór de geboorte van het kind begon en 240 dagen eerder eindigde de geboorte. Wat is de kans dat de moeder de zeer lange of zeer korte zwangerschap heeft gehad die door de getuige is aangegeven?

Laat X de normaal verdeelde willekeurige variabele voor dracht aangeven en beschouw de verdachte als de vader van het kind. In dat geval heeft de geboorte van het kind binnen de gestelde tijd de kans gehad

29

Relatie tussen normale willekeurige variabele en binominale willekeurige variabele

      In het geval van een binominale verdeling is het gemiddelde np en de variantie is npq, dus als we een dergelijke binominale willekeurige variabele met zo'n gemiddelde en standaarddeviatie met n erg groot en p of q erg klein zijn en dichter bij nul komen, dan is de standaard normaalvariabele Z met de hulp van deze gemiddelde en variantie is

30.PNG

hier in termen van Bernouli-beproevingen X beschouwt het aantal successen in n proeven. Naarmate n toeneemt en dichter bij oneindig komt, gaat deze normaalvariatie op dezelfde manier om standaard normaalvariatie te worden.

De relatie tussen binominale en standaard normaalvariaat kunnen we vinden met behulp van de volgende stelling.

DeMoivre Laplace limietstelling

If Sn geeft het aantal successen aan dat optreedt wanneer n  onafhankelijke onderzoeken, die elk resulteren in een succes met waarschijnlijkheid p , worden dan uitgevoerd voor elk a <b,

31.PNG
32

Voorbeeld: Zoek met behulp van een normale benadering van de binominale willekeurige variabele de kans op 20 keer de staart wanneer een eerlijke munt 40 keer wordt gegooid.

Oplossing: Stel dat de willekeurige variabele X het voorkomen van staart vertegenwoordigt, aangezien de binominale willekeurige variabele een discrete willekeurige variabele is en de normale willekeurige variabele continue willekeurige variabele is, dus om de discrete in de continue variabele om te zetten, schrijven we het als

33 1

en als we het gegeven voorbeeld oplossen met behulp van binominale distributie, krijgen we het als

34

Voorbeeld: Om de efficiëntie van een bepaalde voeding te bepalen bij het verminderen van de hoeveelheid cholesterol in de bloedsomloop, worden 100 mensen op de voeding geplaatst. Het cholesterolgehalte werd gedurende de gedefinieerde tijd na het verstrekken van de voeding waargenomen. Als uit dit monster 65 procent een laag cholesterolgehalte heeft, wordt voeding goedgekeurd. Hoe groot is de kans dat de voedingsdeskundige de nieuwe voeding goedkeurt als het eigenlijk geen gevolgen heeft voor het cholesterolgehalte?

oplossing:  Laat de willekeurige variabele het cholesterolgehalte uitdrukken als deze laag is door de voeding, zodat de kans op een dergelijke willekeurige variabele ½ voor elke persoon zal zijn, als X het lage aantal mensen aangeeft, dan is de kans dat het resultaat wordt goedgekeurd, zelfs als er geen effect is van voeding op het verlagen van het cholesterolgehalte is

35


36
37

Conclusie:

   In dit artikel wordt het concept van continue willekeurige variabele namelijk normaal willekeurige variabele en de verdeling met kansdichtheidsfunctie werden besproken en het statistische parametergemiddelde, variantie voor de normale willekeurige variabele wordt gegeven. De conversie van normaal verdeelde stochastische variabelen naar de nieuwe standaardnormaalvariatie en het gebied onder de curve voor een dergelijke standaardnormaalvariabele wordt gegeven in tabelvorm, een van de relatie met discrete willekeurige variabele wordt ook genoemd met voorbeeld Als je verder wilt lezen, ga dan door:

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Kijk voor meer onderwerpen over wiskunde deze pagina.