15 voorbeelden van permutaties en combinaties

Illustratie van het concept permutaties en combinaties door de voorbeelden

In dit artikel hebben we enkele voorbeelden besproken die de basis van de studenten sterk zullen maken Permutaties en combinaties om inzicht te krijgen in het concept, is het zich er terdege van bewust dat de permutaties en combinaties beide het proces zijn om de mogelijkheden te berekenen, het verschil tussen hen is of volgorde ertoe doet of niet, dus hier door het aantal voorbeelden te doorlopen dat we zullen krijgen maak de verwarring duidelijk waar je welke moet gebruiken.

De methoden voor het rangschikken of selecteren van een klein of gelijk aantal mensen of items tegelijk uit een groep mensen of items, mits met de nodige aandacht te worden gerangschikt in volgorde van planning of selectie, worden genoemd permutaties.

Elke verschillende groep of selectie die kan worden gemaakt door enkele of alle items te nemen, ongeacht hoe ze zijn georganiseerd, wordt een combinatie van.

Basispermutatie (nPr-formule) Voorbeelden

            Hier maken we een groep van n verschillende objecten, r geselecteerd op een tijdstip dat overeenkomt met het vullen van r plaatsen uit n dingen.

Het aantal manieren van rangschikken = het aantal manieren om r plaatsen te vullen.

nPr = n. (n-1). (n-2)…(nr+1) = n/(nr)!

CodeCogsEqn 3

so nPr-formule we moeten gebruiken is

nPr = n!/(nr)!

Voorbeeld 1): Er is een trein waarvan de 7 stoelen leeg worden gehouden, op hoeveel manieren kunnen er dan drie passagiers zitten.

oplossing: hier n = 7, r = 3

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

7P3 = 7!/(7-3)! = 4!.5.6.7/4! = 210

Op 210 manieren kunnen 3 passagiers zitten.

Voorbeeld 2) Op hoeveel manieren kunnen 4 van de 10 vrouwen worden gekozen als teamleiders?

oplossing: hier n = 10, r = 4

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

10P4 = 10!/(10-4)! = 6!7.8.9.10/6! = 5040

Op 5040 manieren kunnen 4 vrouwen gekozen worden als teamleiders.

Voorbeeld 3) Hoeveel permutaties zijn er mogelijk uit 4 verschillende letters, geselecteerd uit de zesentwintig letters van het alfabet?

oplossing: hier n = 26, r = 4

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

26P4 = 26!/(26-4)! = 22!.23.24.25.26/22! = 358800

Op 358800 manieren zijn 4 verschillende letterpermutaties beschikbaar.

Voorbeeld 4) Hoeveel verschillende driecijferige permutaties zijn er beschikbaar, gekozen uit tien cijfers van 0 tot 9 gecombineerd? (Inclusief 0 en 9).

oplossing: hier n = 10, r = 3

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

10P3 = 10!/(10-3)! = 7!.8.9.10/7! = 720

Op 720 manieren zijn driecijferige permutaties beschikbaar.

Voorbeeld 5) Ontdek het aantal manieren waarop een jury een eerste, tweede en derde plaats kan toekennen in een wedstrijd met 18 deelnemers.

oplossing: hier n = 18, r = 3

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

18P3 = 18!/(18-3)! = 15!.16.17.18/15! = 4896

Onder de 18 deelnemers kan een jury op 4896 manieren een 1e, 2e en 3e plaats in een wedstrijd toekennen.

Voorbeeld

6) Zoek het aantal manieren waarop 7 mensen zichzelf op een rij kunnen organiseren.

oplossing: hier n = 7, r = 7

dus Vereist aantal manieren =

nPr = n!/(nr)!

7P7 = 7!/(7-7)! = 7!/0! = 5040

Op een aantal manieren van 5040 kunnen 7 mensen zich op een rij organiseren.

Voorbeelden op basis van combinatie (formule nCr / formule k n kiezen)

Het aantal combinaties (selecties of groepen) dat kan worden ingesteld uit n verschillende objecten r (0 <= r <= n) tegelijk is

gif

Dit is algemeen bekend als nCr of n kies k formule.

nCk = n!/k!(nk)!

Voorbeelden:

1) Als je drie jurken hebt met verschillende kleuren in rood, geel en wit, kun je dan een andere combinatie vinden die je krijgt als je er twee moet kiezen?

Oplossing: hier is n = 3, r = 2 dit is 3 KIES 2 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

3C2 = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3

In 3 verschillende combinaties krijg je er twee.

2) Hoeveel verschillende combinaties zijn er mogelijk als je 4 verschillende items hebt en je moet er 2 kiezen?

Oplossing: hier is n = 4, r = 2 dit is 4 KIES 2 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

4C2 = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6

In 6 verschillende combinaties krijg je er twee.

3) Hoeveel verschillende combinaties kunnen er gemaakt worden als je maar 5 karakters hebt en je er 2 uit moet kiezen?

Oplossing: hier is n = 5, r = 2 dit is 5 KIES 2 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

5C2 = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10

In 10 verschillende combinaties krijg je er twee.

4) Zoek het aantal combinaties 6 kies 2.

Oplossing: hier is n = 6, r = 2 dit is 6 KIES 2 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

6C2 = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15

In 15 verschillende combinaties krijg je er twee.

5) Zoek het aantal manieren om 3 leden van 5 verschillende partners te kiezen.

Oplossing: hier is n = 5, r = 3 dit is 5 KIES 3 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

5C3 = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10

In 10 verschillende combinaties krijg je er drie.

6) Doos met kleurpotloden met rood, blauw, geel, oranje, groen en paars. Hoeveel verschillende manieren kun je gebruiken om slechts drie kleuren te tekenen?

Oplossing: hier is n = 6, r = 3 dit is 6 KIES 3 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

6C3 = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20

In 20 verschillende combinaties krijg je er drie.

7) Zoek het aantal combinaties voor 4 kies 3.

Oplossing: hier is n = 4, r = 3 dit is 4 KIES 3 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

4C3 = 4!/3!(4-3)! = 3!.4/ 3!.1! = 4

In 4 verschillende combinaties krijg je er drie.

8) Hoeveel verschillende commissies van vijf personen kunnen worden gekozen uit 10 personen?

Oplossing: hier is n = 10, r = 5 dit is 10 KIES 5 problemen

nCr = n!/r!(nr)!

10C5 = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!.5! = 5!.6.7.8.9.10/5!.5.4.3.2 = 7.4.9 =252

Er kunnen dus 252 verschillende commissies van 5 personen worden gekozen uit 10 personen.

9) Er zijn in totaal 12 volleyballers op de universiteit, die zal bestaan ​​uit een team van 9 spelers. Als de aanvoerder consistent blijft, kan het team op hoeveel manieren worden gevormd.

Oplossing: hier als de aanvoerder is al geselecteerd, dus nu uit 11 spelers moeten er 8 worden gekozen n = 11, r = 8 is dit 11 KIES 8 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

11C8 = 11!/8!(11-8)! = 11!/8!.3! = 8!.9.10.11/8!.3.2.1 = 3.5.11 = 165

Dus als de aanvoerder consistent blijft, kan het team op 165 manieren worden gevormd.

10) Zoek het aantal combinaties 10 kies 2.

Oplossing: hier is n = 10, r = 2 dit is 10 KIES 2 probleem

nCr = n!/r!(nr)!

10C2 = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9 = 45

In 45 verschillende combinaties krijg je er twee.

We moeten het verschil zien dat nCr het aantal manieren is waarop dingen kunnen worden geselecteerd op manieren r en nPr is het aantal manieren waarop dingen kunnen worden gesorteerd door middel van r. We moeten in gedachten houden dat in elk geval van een permutatiescenario de manier waarop de dingen zijn geregeld, heel erg belangrijk is. In combinatie betekent de bestelling echter niets.

Conclusie

In dit artikel vindt u een gedetailleerde beschrijving met voorbeelden van de permutaties en combinaties, met enkele voorbeelden uit de praktijk. In een reeks artikelen zullen we de verschillende uitkomsten en formules in detail bespreken met relevante voorbeelden als u geïnteresseerd bent in verder onderzoek. dit link.

Referentie

  1. SCHAUM'S SCHETS VAN THEORIE EN PROBLEMEN VAN DISCRETE WISKUNDE
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination