Permutaties en combinaties: 3 belangrijke feiten om te onthouden

by

  Na bespreking van de definities en basisconcepten zullen we alle resultaten en relaties van permutatie en combinatie, afhankelijk van al deze, zullen we meer vertrouwd raken met het concept van permutatie en combinatie door diverse voorbeelden op te lossen.

Punten om te onthouden (permutatie)

  1. Het aantal manieren om te bestellen = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. Het aantal rangschikkingen van n verschillende objecten tegelijk bij elkaar genomen is = nPn = n!
  3. nP0 = n! / n! = 1
  4. P = n. n-1Pr-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
  7. Het aantal manieren om r plaatsen op te vullen waar elke plaats kan worden gevuld door een van de n objecten, het aantal permutaties = het aantal manieren om r plaatsen op te vullen = (n)r   

Voorbeeld: Hoeveel nummers tussen 999 en 10000 kunnen worden gegenereerd met behulp van nummers 0, 2, 3,6,7,8 waarbij de cijfers niet mogen worden gedupliceerd?

Oplossing: De nummers tussen 999 en 10000 zijn allemaal van vier cijfers.

                   De viercijferige nummers opgebouwd uit cijfers 0, 2, 3,6,7,8 zijn

Permutatie
Permutatie: voorbeeld

  Maar hier zijn ook de getallen bij betrokken die vanaf 0 beginnen. We kunnen dus de getallen nemen die uit drie cijfers bestaan.

Door het eerste cijfer 0 te nemen, is het aantal manieren om 3 hangende plaatsen van vijf cijfers 2, 3,6,7,8 te rangschikken 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Dus de benodigde getallen = 360-60 = 300.

Voorbeeld: Hoeveel boeken kunnen achter elkaar worden geplaatst, zodat de twee genoemde boeken niet bij elkaar staan?

Oplossing: Totaal aantal bestellingen van n verschillende boeken = n !.                                                                                                                

           Als twee genoemde boeken altijd samen zijn, dan is het aantal wegen = (n-1)! X2

Voorbeeld: Hoeveel manieren zijn er gedeeld door 10 ballen tussen twee jongens, de ene krijgt er twee en de andere acht.

Oplossing: A krijgt 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A krijgt 8, B gets 2; 10!/(8!2!)=45

dat betekent 45 + 45 = 90 manieren waarop de bal wordt verdeeld.

Voorbeeld: Zoek het aantal rangschikkingen van de alfabetten van het woord "CALCUTTA".

Oplossing: Vereist aantal wegen = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Voorbeeld: Er zijn twintig mensen uitgenodigd voor het feest. Hoeveel verschillende manieren waarop zij en de gastheer aan een ronde tafel kunnen zitten, als de twee mensen aan weerszijden van de keeper moeten zitten.

Oplossing: Er zullen in totaal 20 + 1 = 21 personen zijn.

De twee genoemde personen en de gastheer worden als één geheel beschouwd zodat deze 21 - 3 + 1 = 19 personen blijven, in te delen in 18! manieren.

 Maar de twee personen aan weerszijden van de gastheer kunnen zelf in 2 worden gerangschikt! manieren.

  Daarom zijn er 2! * 18! manieren.

Voorbeeld : Op hoeveel manieren een slinger gemaakt kan worden van precies 10 bloemen.

Oplossing:  n bloemenslinger kan worden gemaakt in (n-1)! manieren.

Met 10 bloemen kan een slinger op 9!/2 verschillende manieren worden bereid.

Voorbeeld: Zoek het specifieke viercijferige nummer dat moet worden gevormd door 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, zodat elk nummer het nummer 1 heeft.

Oplossing: Na het vastzetten van 1 op de eerste positie van de 4 plaatsen kunnen er 3 door gevuld worden7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Maar sommige nummers waarvan het vierde cijfer nul is, dus zo'n soort manieren =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   Totaal wegen = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

Houd deze punten in gedachten voor combinatie

  • Het aantal combinaties van n objecten, waarvan p zijn identiek, genomen r tegelijk is

npCr+npCr-1+npCr-2+ …… .. +npC0 , als r<=p en  npCr+npCr-1+npCr-2+… .. +npCrp  , als r>p

  1. n kies 0 of n kies n is 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = n.
  2. nCr + nCr-1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = y of x + y = n
  4. n. n-1Cr-1 = (n-r + 1) nCr-1
  5. nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  9. Aantal combinaties van n ongelijke dingen die allemaal tegelijk worden genomen. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

In vervolg zullen we enkele voorbeelden oplossen  

Voorbeeld: If 15Cr=15Cr + 5 , wat is dan de waarde van r?

Oplossing: Hier zullen we het bovenstaande gebruiken

 nCr=nCnr aan de linkerkant van de vergelijking

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-r =15Cr + 5

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

dus de waarde van r is 5 impliceert het probleem van 15 KIES 5.

Voorbeeld: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 vind de waarde van r, zodat de waarde van nCr  wordt 15.

 Oplossing: Hier is de gegeven term de verhouding van 2n kies 3 en n kies 2 als

door de definitie van combinatie

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   Nu 6Cr=15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r = 2, 4

dus het probleem blijkt 6 te zijn, kies 2 of 6 kies 4

Voorbeeld:  If  nCr-1= 36 nCr= 84 en nCr + 1= 126, wat zou dan de waarde van r zijn?

 oplossing: Here nCr-1 / nCr = 36/84 en nCr /nCr + 1 =84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, en op dezelfde manier krijgen we het tweede rantsoen

4n-10r = 6

Bij het oplossen krijgen we n = 9, r = 3

dus het probleem bleek 9 kies 3, 9 kies 2 en 9 kies 4.

Voorbeeld: Iedereen in de kamer schudt iedereen de hand. Het totale aantal handenschudden is 66. Zoek het aantal personen in de kamer.

nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Oplossing: dus de waarde van n is 12, wat betekent dat het totale aantal mensen in de kamer 12 is en het probleem is 12, kies 2.

Voorbeeld: In een voetbaltoernooi werden 153 wedstrijden gespeeld. Alle teams speelden één wedstrijd. Vind het aantal groepen dat betrokken is bij het toernooi.

Oplossing:

hier nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

dus het totale aantal teams dat meedeed aan het toernooi was 18 en de combinatie van is 18 kies 2 .

Voorbeeld Tijdens de Deepawali-ceremonie stuurt elk clublid wenskaarten naar anderen. Als er 20 leden in de club zijn, wat is dan het totale aantal manieren waarop wenskaarten door de leden worden uitgewisseld?

Oplossing: Omdat twee leden elkaar op twee manieren kunnen uitwisselen, dus er zijn er 20, kies er twee twee keer

2 x 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, er zouden 380 manieren zijn om wenskaarten uit te wisselen.

Voorbeeld: Zes plus ‘+’ en vier min ‘-’ symbolen moeten zo rechtlijnig worden gerangschikt dat er geen twee ‘-’ symbolen samenkomen. Vind het totale aantal manieren.

 Oplossing: De volgorde kan worden gemaakt als -+-+-+-+-+-+- de (-) tekens kunnen op 7 lege (puntige) plaatsen worden geplaatst.

Vandaar het vereiste aantal wegen = 7C4 = 35.

Voorbeeld: If nC21 =nC6 , zoek dan nC15 =?

Oplossing: Gegeven nC21 =nC6

21+6=n => n=27

Vandaar 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

dat is de 27 kies 15.

Conclusie

Sommige voorbeelden worden genomen afhankelijk van de relaties en resultaten, als aantal voorbeelden kunnen we elk resultaat aannemen, maar het belangrijkste hier dat ik wil laten zien was hoe we elk resultaat kunnen gebruiken, afhankelijk van de situatie. Als je verder wilt lezen, dan kan dat de inhoud doornemen of als er persoonlijke hulp is, kunt u vrijblijvend contact met ons opnemen met een aantal van de gerelateerde inhoud die u kunt vinden op:

Kijk hier voor meer onderwerpen over wiskunde link.

SCHAUM'S SCHETS VAN THEORIE EN PROBLEMEN VAN DISCRETE WISKUNDE

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination