Permutaties en combinaties
Permutaties en combinatiesbespreekt dit artikel het concept van het bepalen, naast de directe berekening, van het aantal mogelijke uitkomsten van een bepaalde gebeurtenis of het aantal setitems, permutaties en combinaties die de primaire berekeningsmethode zijn in combinatorische analyse.
Veelgemaakte fouten bij het leren van permutaties en combinaties
Er is altijd verwarring onder de student tussen: permutaties en combinaties omdat beide gerelateerd zijn aan het nummer van de rangschikking van verschillende objecten en het nummer van de mogelijke uitkomst van een bepaalde gebeurtenis of het aantal manieren om een element uit een verzameling te halen. Het onderwerp permutatie & combinatie met voorbeelden en het verschil tussen hen met rechtvaardiging zal hier worden besproken.
Een eenvoudige en handige techniek om het verschil tussen de permutaties en combinaties is: een permutatie is gerelateerd aan de volgorde betekent dat de positie belangrijk is in permutatie terwijl de combinatie niet gerelateerd is aan de volgorde betekent dat de positie niet belangrijk is in combinatie.
Voordat we permutaties en combinaties bespreken, hebben we enkele voorwaarden nodig, die vaak worden gebruikt.
Wat is Factorial
Factorieel is het product van de positieve gehele getallen van 1 tot n (waarbij 1 en n worden geteld) aangeduid met n! en gelezen als n faculteit wordt hieronder beschreven
n! = 1.2.3.4... (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!
Let op 0! = 1
0! = 1
1! = 1
n n(nl)!
bv 3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4! = 5.24 = 120
Telmethoden (principe van vermenigvuldigen en optellen)
Principe van toevoeging: Als er geen twee gebeurtenissen tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, kan een van de gebeurtenissen plaatsvinden in
n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・ .wegen
Principe van vermenigvuldiging: Gezien het feit dat als de gebeurtenissen zich na elkaar voordoen, alle gebeurtenissen kunnen plaatsvinden in de volgorde die is aangegeven in:
n1.n2.n3...manieren
Voorbeeld: Als een instituut 7 verschillende kunstcursussen, 3 verschillende technische cursussen en 4 verschillende fysieke cursussen geeft.
Als een student een van elk type cursus wil inschrijven, dan is het aantal manieren
m = 7.3.4 = 84
Als een student slechts één van de cursussen wil inschrijven, dan is het aantal manieren
n = 7 + 3 + 4 = 14
Wat is permutatie
De verschillende positionering van de objecten wordt genoemd Permutaties, waar de volgorde van de regeling ertoe doet. Elke positionering van een set n verschillende objecten in een bepaalde volgorde wordt een genoemd permutatie van het object.
Beschouw dan eens een voorbeeld van de reeks letters {P, Q, R, S}
Enkele van de permutaties van de vier alfabetten die in één oogopslag worden genomen, zijn QSRP, SRQP en PRSQ
Elke ordening van een r <= n van deze specifieke objecten in een specifieke volgorde wordt een “r” genoemd-permutatie"Of"een permutatie van de Neebjects genomen r tegelijkertijd.
In wezen houden we van dat aantal van dergelijke permutaties zonder ze op te schrijven.
Voorbeeld van permutatieformule
Het aantal permutaties van n verschillende objecten die r tegelijk worden genomen, wordt aangegeven met
nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(N-r)!
In de wiskunde wordt dit op verschillende manieren aangegeven, waarvan enkele hieronder worden genoemd:
P (n, r), nPr, Pn, r of (n) r
VOORBEELD: Bereken het aantal m van permutaties van zes objecten, zeg maar A, B, C, D, E, F genomen drie in één oogopslag.
Oplossing: Hier n=6, r=3, m=?
nPr = n!/(nr)!
m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120
Dus m = 120
VOORBEELD: Hoeveel woorden kunnen worden gegenereerd door 2 letters van het woord "MATHS" te gebruiken?
Oplossing: hier n = 5, r = 2, m =?
nPr = n!/(nr)!
m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20
dus het vereiste aantal woorden is 20.
Wat versta je onder een combinatie?
A combinatie van For n verschillende elementen r tegelijk genomen is elke selectie van r-de elementen waarbij orders niet in aanmerking worden genomen. Een dergelijke selectie heet een r-combinatie. In het kort, a Combinatie (combination) is een selectie waarbij de volgorde van de geselecteerde objecten niet belangrijk is.
De Combinatie (combination) geeft het aantal manieren waarop een bepaalde set kan worden gerangschikt, waarbij de volgorde van de opstelling er niet toe doet.
Beschouw het voorbeeld om de situatie van Combinatie te begrijpen
Twintig mensen komen in een hal en iedereen schudt alle anderen de hand. Hoe kunnen we het aantal handdrukken krijgen? "A" handen schudden met B en B met A zullen geen twee verschillende handdrukken zijn. Hier is de volgorde van handdruk niet belangrijk. Het aantal handdrukken is de combinatie van 20 verschillende dingen die 2 tegelijk worden genomen.
Combinatieformule met een eenvoudig voorbeeld
Het aantal van dergelijke combinaties wordt aangeduid met
Soms wordt het ook aangegeven met C(n,r), nCr , Cn, r of Crn
Voorbeeld: Een klas bevat 10 studenten met 6 mannen en 4 vrouwen. Zoek het nummer n manieren om uit die studenten een commissie van vier leden te kiezen.
Dit heeft te maken met combinaties, niet met permutaties, aangezien orde geen belangrijke factor is in een commissie. Er zijn "10 kiezen 4" van dergelijke commissies. Dat is:
hier n = 10, r = 4
dus op 210 manieren kunnen we zo'n vierkoppige commissie kiezen.
Voorbeeld: Een bakje heeft 6 blauwe ballen en 8 rode ballen. Identificeer het aantal manieren waarop twee ballen van een van de kleuren uit de container kunnen worden getrokken.
Hier mogelijk “14 kies 2” manieren om 2 van de 14 ballen te selecteren. Dus:
Hier n = 14, r = 2
dus op 91 manieren kunnen twee ballen van elke kleur worden getrokken.
Verschil tussen permutatie en combinatie
Het verschil tussen permutatie versus combinatie wordt hier kort gegeven
| Permutatie | Combinatie (combination) |
| Bestelling is belangrijk | Bestelling is niet belangrijk |
| Bestelling telt | Bestelling telt niet |
| Wordt gebruikt voor regelingen zoals het kiezen van een president, vice-president en penningmeester | Gebruikt voor selectie zoals het selecteren van teams en commissie zonder posities |
| Voor het kiezen van een eerste, tweede en derde specifieke positie | Voor het selecteren van drie willekeurige |
| Voor het rangschikken van de kaarten of ballen met positie en kleur | Voor het selecteren van elke kleur en positie |
Waar permutaties en combinaties toe te passen
Dit is de belangrijke stap die in gedachten moet worden gehouden dat wanneer de situatie is voor ordening, ordening en uniekheid, we moeten gebruiken Permutatie en wanneer de situatie is voor selectie, kiezen, picken en combineren zonder de zorg voor de volgorde die we moeten gebruiken Combinatie. Als als u deze basisprincipes in gedachten houdt, zal er geen verwarring ontstaan "wat te gebruiken en wat niet" wanneer er zich een vraag voordoet.
Gebruik van permutaties en combinaties in het echte leven met voorbeelden
In het echte leven wordt permutatie en de combinatie bijna overal gebruikt, omdat we weten dat er in het echte leven een situatie zou zijn waarin volgorde belangrijk is en ergens volgorde niet belangrijk, in die situaties moeten we de overeenkomstige methode gebruiken.
Bij voorbeeld
Zoek het nummer N van teams van 11 met een bepaalde aanvoerder die kan worden geselecteerd uit 26 spelers.
Veelgestelde vragen - veelgestelde vragen
Wat is faculteit?
Het product van de positieve gehele getallen van 1 tot n (inclusief 1 en n)
n! = 1.2.3... (n-2). (n-1). n
Wat is een permutatie?
De verschillende ordening van de objecten wordt genoemd Permutaties
Wat is een combinatie?
De Combinatie (combination) biedt het aantal manieren waarop een specifieke set kan worden uiteengezet, waarbij de volgorde van de opstelling er niet toe doet.
Toepassing van permutaties en combinaties in het praktische leven
Een permutatie wordt gebruikt voor het rangschikken of selecteren van lijsten waarbij de volgorde belangrijk is, en Combinatie wordt gebruikt voor selectie of keuze waarbij de volgorde niet belangrijk is.
Permutatie formule
nPr = n!/(nr)!
Combinatie formule
Is er een verband tussen permutaties en combinaties?
Ja,
nCr = nPr/r!
Kunnen we permutaties en combinaties in het echte leven gebruiken?
Ja,
Bij de rangschikking van woorden, alfabetten, cijfers, posities en kleuren enz. Waar de volgorde belangrijk is, zal permutatie worden gebruikt
Bij de selectie van commissie, teams, menu en onderwerpen etc. waar de volgorde niet belangrijk is, wordt er een combinatie gebruikt.
De korte informatie over permutaties en combinaties met basisformule wordt gegeven tweemaal of driemaal gelezen totdat u het idee over het concept krijgt, in opeenvolgende artikelen zullen we in detail de verschillende resultaten en formules bespreken met geschikte voorbeelden van permutaties en combinaties. Als je verder onderzoek wilt, ga dan door:
Volg dit voor meer onderwerpen over wiskunde link.
Referenties:
1. SCHAUM'S SCHETS VAN DE THEORIE EN PROBLEMEN VAN DISCRETE WISKUNDE
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
5. https://www.cs.bgu.ac.il/
Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ik heb mijn Ph.D. in Wiskunde en werkzaam als assistent-professor in de Wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Een uitgebreide kennis hebben van zuivere wiskunde, precies van algebra. Het hebben van een enorm vermogen om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren.
Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en vanzelfsprekend te maken voor zowel beginners als experts.
Hallo medelezer,
We zijn een klein team bij Techiescience, dat hard werkt tussen de grote spelers. Als je het leuk vindt wat je ziet, deel dan onze inhoud op sociale media. Uw steun maakt een groot verschil. Bedankt!