Dit is een sequentiële post met betrekking tot Geometrie coördineren, speciaal op Punten. We hebben al eerder in de post enkele onderwerpen besproken "Een complete gids voor het coördineren van geometrie". In dit bericht bespreken we de overige onderwerpen.

Basisformules voor punten in coördinatenmeetkunde in 2D:

Alle basisformules over punten in analytische meetkunde worden hier beschreven en voor eenvoudig en snel leren in één oogopslag over de formules a 'Formuletabel op punten' met grafische uitleg wordt hieronder weergegeven.

Tweepuntsafstandsformules | Analytische geometrie:

Afstand is een maatstaf om te bepalen hoe ver objecten, plaatsen etc. van elkaar verwijderd zijn. Het heeft een numerieke waarde met eenheden. In coördinatenmeetkunde of analytische meetkunde in 2D is er een formule die is afgeleid van de stelling van Pythagoras, om de afstand tussen twee punten te berekenen. we kunnen het schrijven als 'Afstand' d =√ [(x₂-x₁)²+ (ja₂-y₁)²] , Waar (x₁,y₁) en (x₂,y₂) zijn twee punten op het xy-vlak. Een korte grafische uitleg wordt gevolgd door: 'Formuletabel over Punten onderwerp nr. 1' hieronder.

Een afstand van een punt vanaf de oorsprong | Coördinaten Geometrie:

Als we onze reis beginnen met Oorsprong in het xy-vlak en eindigen met een willekeurig punt van dat vlak, kan de afstand tussen oorsprong en het punt ook worden gevonden met een formule, 'Afstand' OP=√ (x²+ y²), wat ook een gereduceerde vorm is van de “Twee punten afstandsformule” met één punt op (0,0). Een korte grafische uitleg wordt gevolgd door 'Formuletabel over Punten onderwerp nr. 2' hieronder.

Formules van puntensecties |Coördinatengeometrie:

Als een punt een lijnsegment verdeelt dat twee gegeven punten met een bepaalde verhouding verbindt, kunnen we sectieformules gebruiken om de coördinaten van dat punt te vinden, terwijl de verhouding waarbij het lijnsegment wordt gedeeld door, wordt gegeven en vice versa. Er is een mogelijkheid dat het lijnsegment intern of extern kan worden gedeeld door het punt. Wanneer het punt op het lijnsegment tussen de twee gegeven punten ligt, worden interne doorsnedeformules gebruikt, dwz

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

En wanneer het punt op het buitenste deel van het lijnsegment ligt dat de twee gegeven punten verbindt, worden externe sectieformules gebruikt, dwz

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Waarbij (x, y) de vereiste coördinaten van het punt zouden moeten zijn. Dit zijn zeer noodzakelijke formules om het zwaartepunt, de incenters, het omtrekcentrum van een driehoek te vinden, evenals het massamiddelpunt van systemen, evenwichtspunten enz. in de natuurkunde. Moet de korte weergave bekijken van verschillende soorten sectieformules met grafieken hieronder in de 'Formuletabel over Punten onderwerp nr. 3; geval-I en geval-II'.

Middelpunt Formule| coördinaat Geometrie:

Het is een eenvoudige formule die is afgeleid van de hierboven beschreven formules voor interne puntensecties. Terwijl we het middelpunt van een lijnsegment moeten vinden, dwz de coördinaat van het punt dat op gelijke afstand ligt van de twee gegeven punten op het lijnsegment, dat wil zeggen dat de verhouding 1:1 wordt, is deze formule vereist. De formule is in de vorm van

Als een punt een lijnsegment verdeelt dat twee gegeven punten met een bepaalde verhouding verbindt, kunnen we sectieformules gebruiken om de coördinaten van dat punt te vinden, terwijl de verhouding waarbij het lijnsegment wordt gedeeld door, wordt gegeven en vice versa. Er is een mogelijkheid dat het lijnsegment intern of extern kan worden gedeeld door het punt. Wanneer het punt op het lijnsegment tussen de twee gegeven punten ligt, worden interne doorsnedeformules gebruikt, dwz

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

Zie ook Projectonderwerpen voor civiele techniek die u moet kennen

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

En wanneer het punt op het buitenste deel van het lijnsegment ligt dat de twee gegeven punten verbindt, worden externe sectieformules gebruikt, dwz

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Middelpunt Formule| coördinaat Geometrie:

Het is een eenvoudige formule die is afgeleid van de hierboven beschreven formules voor interne puntensecties. Terwijl we het middelpunt van een lijnsegment moeten vinden, dwz de coördinaat van het punt dat op gelijke afstand ligt van de twee gegeven punten op het lijnsegment, dat wil zeggen dat de verhouding 1:1 wordt, is deze formule vereist. De formule is in de vorm van

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Ga door de “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 3- case-III' hieronder om het grafische idee hiervan te krijgen.

Oppervlakte van een driehoek in Coördinatenmeetkunde:

Een driehoek heeft drie zijden en drie hoekpunten op het vlak of in een tweedimensionaal veld. De oppervlakte van de driehoek is de interne ruimte omringd door deze drie zijden. De basisformule voor de oppervlakteberekening van een driehoek is (2/1 x basis x hoogte). Als in analytische meetkunde de coördinaten van alle drie de hoekpunten worden gegeven, kan het gebied van de driehoek eenvoudig worden berekend met de formule, Gebied van de Driehoek =|½[x₁ (y₂- y₃ )+x₂ (y₃- y₂)+x₃ (y₂-y ₁)]| In feite kan dit worden afgeleid uit de basisformule van de oppervlakte van een driehoek met behulp van de tweepuntsafstandsformule in coördinatengeometrie. Beide gevallen worden grafisch beschreven in de 'Formuletabel over Punten onderwerp 4' hieronder.

Collineariteit van punten ( Drie punten) | Coördinatengeometrie:

Collineair betekent 'op dezelfde lijn zijn'. Als in de meetkunde drie punten op één enkele lijn in het vlak liggen, kunnen ze nooit een driehoek vormen met een andere oppervlakte dan nul. Dat wil zeggen dat als de formule voor de oppervlakte van de driehoek wordt vervangen door de coördinaten van de drie collineaire punten, het resultaat voor de oppervlakte van de denkbeeldige driehoek gevormd door deze punten zal uiteindelijk alleen maar nul opleveren. Dus de formule wordt als ½[x₁ (y₂- y₃ )+x₂ (y₃- y₂)+x₃ (y₂-y ₁)] =0 Voor een duidelijker idee met grafische weergave, ga door de “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 5” hieronder.

Zwaartepunt van een driehoek| Formule :

De drie medianen* van een driehoek snijden elkaar altijd in een punt dat zich in het binnenste van de driehoek bevindt en verdeelt de mediaan in de verhouding 2:1 van een willekeurig hoekpunt tot het middelpunt van de tegenoverliggende zijde. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd. De formule om de coördinaten van het zwaartepunt te vinden is

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

In het “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 6” hieronder wordt het bovenstaande onderwerp grafisch beschreven voor een beter begrip en voor een snelle weergave.

Incenter van een driehoek|Formule:

Het is het middelpunt van de grootste incircle van de driehoek die binnen de driehoek past. Het is ook het snijpunt van de drie bissectrices van de binnenhoeken van de driehoek. De formule, die wordt gebruikt om het midden van een driehoek te vinden, is:

$x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}$

Zie ook Terminal Velocity: het ontrafelen van de fysica van vrije valsnelheden

$x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}$

In het “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 6” hieronder wordt het bovenstaande onderwerp grafisch beschreven voor een beter begrip en voor een snelle weergave.

Voor eenvoudige grafische uitleg het onderstaande: “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 7” nodig is om te zien.

Formule verschuiving van oorsprong| Coördinaten Geometrie:

We hebben het al geleerd in de vorige post "Een complete gids voor het coördineren van geometrie" dat de oorsprong ligt op het punt (0,0) dat het snijpunt is van de assen in het vlak. we kunnen de oorsprong in alle kwadranten van het vlak verplaatsen ten opzichte van de oorsprong, wat een nieuwe reeks assen zal geven.

Voor een punt in het bovengenoemde vlak zullen de coördinaten veranderen samen met de nieuwe oorsprong en assen en dat kan worden berekend met de formule, nieuwe coördinaten van een punt P (x₁,y₁) zijn x₁= x- een; j₁ = y- b waarbij de coördinaten van de nieuwe oorsprong (a,b) zijn. Voor een goed begrip van dit onderwerp verdient het de voorkeur om de onderstaande grafische weergave in de “Formuletabel over Punten onderwerp nr. 8” .

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`:

﹡Omtrek van een driehoek :

Het is het snijpunt van drie middelloodlijnen van de zijde van een driehoek. Het is ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek die alleen de hoekpunten van de driehoek raakt.

﹡Medianen:

Mediaan is het lijnsegment dat het hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt of het punt, dat de andere kant van het hoekpunt in tweeën deelt. Elke driehoek heeft drie medianen die elkaar altijd snijden in het zwaartepunt van dezelfde driehoek.

Opgeloste problemen op punten in coördinatengeometrie in 2D.

Om punten in 2D beter te leren kennen, wordt hier stap voor stap een basisvoorbeeld opgelost en om zelf te oefenen zijn er meer problemen met antwoorden op elke formule. Er moeten uitdagende problemen zijn met de oplossing in de volgende artikelen, net nadat u een eenvoudig en duidelijk idee heeft gekregen over het onderwerp punten in coördinaatgeometrie 2D.

Basisvoorbeelden van de formules "De afstand tussen twee punten"

problemen 1: Bereken de afstand tussen de twee gegeven punten (1,2) en (6,-3).

Oplossing: We kennen al de formule van de afstand tussen twee punten (x₁,y₁) en (x₂,y₂) is d =√ [(x₂-x₁)²+ (ja₂-y₁)²] …(1)

(Zie de tabel met formules hierboven) Hier kunnen we aannemen dat (x₁,y₁) (1,2) en (x₂,y₂) ≌ (6,-3) dwz x₁=1, ja₁=2 en x₂=6, ja₂ =-3. Als we al deze waarden in de vergelijking (1) plaatsen, krijgen we de vereiste afstand.

Daarom is de afstand tussen de twee punten (1,2) en (6,-3)

=√ [(6-1)²+(-3-2)²] eenheden

= √ [(5)²+(-5)²] eenheden

=√ [25+25] eenheden

=√ [50] eenheden

=√ [2×5²] eenheden

= 5√2 eenheden (Ant.)

Opmerking: Afstand wordt altijd gevolgd door enkele eenheden.

Meer beantwoorde problemen (Basic) worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de hierboven beschreven procedure Probleem 1:-

Opgave 2: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,8) en (5,10).

antw. √13 eenheden

Opgave 3: Zoek de afstand tussen de twee punten (-3,-7) en (1,-10).

Ans. 5 eenheden

Opgave 4: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,0) en (-3,4).

antw. √41 eenheden

Opgave 5: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,-4) en (0,0).

Ans. 2√5 eenheden

Zie ook Piekhoogtesnelheid: het ontrafelen van de wetenschap van de groei van adolescenten

Opgave 6: Zoek de afstand tussen de twee punten (10,100) en (-10,100,).

Ans. 20 eenheden

Opgave 7: Zoek de afstand tussen de twee punten (√5,1) en (2√5,1).

antw. √5 eenheden

Opgave 8: Zoek de afstand tussen de twee punten (2√7,2) en (3√7,-1).

antw. 4 eenheden

Opgave 9: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+-10, 0) en (2--10, 0).

antw. 2√10 eenheden

Opgave 10: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+3i, 0) en (2-3i, 10). { ik=√-1 }

Ans. 8 eenheden

Opgave 11: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+i, -5) en (2-i, -7). { ik=√-1 }

antw. 0 eenheden

Opgave 12: Zoek de afstand tussen de twee punten (7+4i,2i) en (7-4i, 2i). { ik=√-1 }

antw. 8i eenheden

Opgave 13: Zoek de afstand tussen de twee punten (-3+i, 3) en (2-3+i, 5). { ik=√-1 }

antw. √7 eenheden

Opgave 14: Zoek de afstand tussen de twee punten (5+√2, 3+i) en (2+√2, 7+2i). { ik=√-1 }

antw. 2√(6+2i) eenheden

Basisvoorbeelden van de formules "De afstand van een punt vanaf de oorsprong"

Opgaven 15: Vind de afstand van een punt (3,4) tot de oorsprong.

Oplossing:

We hebben de formule van de afstand van een punt tot de oorsprong, OP=√ (x²+ y²) (Zie de tabel met formules hierboven) Dus hier kunnen we aannemen (x,y) ≌ (3,4) dwz x=3 en y=4

Daarom, als we deze waarden van x en y in de bovenstaande vergelijking plaatsen, krijgen we de vereiste afstand

=√ (3²+ 4²) eenheden

=√ (9+ 16) eenheden

=√ (25) eenheden

= 5 eenheden

Opmerking: Afstand wordt altijd gevolgd door enkele eenheden.

Opmerking: Afstand van een punt vanaf de oorsprong is eigenlijk de afstand tussen het punt en het punt van oorsprong, dwz (0,0)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de hierboven beschreven procedure

probleem 15:-

Opgave 16: Vind de afstand van een punt (1,8) vanaf de oorsprong.

antw. √65 eenheden

Opgave 17: Vind de afstand van een punt (0,7) vanaf de oorsprong.

antw. 7 eenheden

Opgave 18: Vind de afstand van een punt (-3,-4) vanaf de oorsprong.

antw. 5 eenheden

Opgave 19: Vind de afstand van een punt (10,0) vanaf de oorsprong.

antw. 10 eenheden

Opgave 20: Vind de afstand van een punt (0,0) vanaf de oorsprong.

antw. 0 eenheden

___________________________________________________________

Basisvoorbeelden van andere formules van punten bovenbeschreven en enkele uitdagende vragen over dit onderwerp in coördinaat Geometrie, worden gevolgd door volgende berichten.

NASRINA PARVIN

Hallo….Ik ben Nasrina Parvin. Ik ben afgestudeerd in wiskunde en heb 10 jaar ervaring bij het ministerie van communicatie en informatietechnologie van India. In mijn vrije tijd houd ik ervan om les te geven en wiskundeproblemen op te lossen. Vanaf mijn kindertijd is wiskunde het enige vak dat mij het meest fascineerde.

Basisformules voor punten in coördinatenmeetkunde in 2D:

Tweepuntsafstandsformules | Analytische geometrie:

Een afstand van een punt vanaf de oorsprong | Coördinaten Geometrie:

Formules van puntensecties |Coördinatengeometrie:

Middelpunt Formule| coördinaat Geometrie:

Middelpunt Formule| coördinaat Geometrie:

Oppervlakte van een driehoek in Coördinatenmeetkunde:

Collineariteit van punten ( Drie punten) | Coördinatengeometrie:

Zwaartepunt van een driehoek| Formule :

Incenter van een driehoek|Formule:

Formule verschuiving van oorsprong| Coördinaten Geometrie:

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

﹡Omtrek van een driehoek :

﹡Medianen:

Opgeloste problemen op punten in coördinatengeometrie in 2D.

Basisvoorbeelden van de formules "De afstand tussen twee punten"

problemen 1: Bereken de afstand tussen de twee gegeven punten (1,2) en (6,-3).

Meer beantwoorde problemen (Basic) worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de hierboven beschreven procedure Probleem 1:-

Opgave 2: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,8) en (5,10).

Opgave 3: Zoek de afstand tussen de twee punten (-3,-7) en (1,-10).

Opgave 4: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,0) en (-3,4).

Opgave 5: Zoek de afstand tussen de twee punten (2,-4) en (0,0).

Opgave 6: Zoek de afstand tussen de twee punten (10,100) en (-10,100,).

Opgave 7: Zoek de afstand tussen de twee punten (√5,1) en (2√5,1).

Opgave 8: Zoek de afstand tussen de twee punten (2√7,2) en (3√7,-1).

Opgave 9: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+-10, 0) en (2--10, 0).

Opgave 10: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+3i, 0) en (2-3i, 10). { ik=√-1 }

Opgave 11: Zoek de afstand tussen de twee punten (2+i, -5) en (2-i, -7). { ik=√-1 }

Opgave 12: Zoek de afstand tussen de twee punten (7+4i,2i) en (7-4i, 2i). { ik=√-1 }

Opgave 13: Zoek de afstand tussen de twee punten (-3+i, 3) en (2-3+i, 5). { ik=√-1 }

Opgave 14: Zoek de afstand tussen de twee punten (5+√2, 3+i) en (2+√2, 7+2i). { ik=√-1 }

Basisvoorbeelden van de formules "De afstand van een punt vanaf de oorsprong"

Opgaven 15: Vind de afstand van een punt (3,4) tot de oorsprong.

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de hierboven beschreven procedure

probleem 15:-

Opgave 16: Vind de afstand van een punt (1,8) vanaf de oorsprong.

Opgave 17: Vind de afstand van een punt (0,7) vanaf de oorsprong.

Opgave 18: Vind de afstand van een punt (-3,-4) vanaf de oorsprong.

Opgave 19: Vind de afstand van een punt (10,0) vanaf de oorsprong.

Opgave 20: Vind de afstand van een punt (0,0) vanaf de oorsprong.

Basisvoorbeelden van andere formules van punten bovenbeschreven en enkele uitdagende vragen over dit onderwerp in coördinaat Geometrie, worden gevolgd door volgende berichten.

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`: