Waarschijnlijkheid Massafunctie: 5 Voorbeelden


Discrete willekeurige variabele en wiskundige verwachting-II

Zoals we al bekend zijn met de Discrete willekeurige variabele, het is de willekeurige variabele die een telbaar aantal mogelijke waarden in een reeks aanneemt. De twee belangrijke concepten met betrekking tot de discrete willekeurige variabelen zijn de waarschijnlijkheid van de discrete willekeurige variabele en de verdelingsfunctie, we beperken de naam tot een dergelijke kans- en verdelingsfunctie als,

Kans Massafunctie (PMF)

                De Kansdichtheidsfunctie is de waarschijnlijkheid van de discrete willekeurige variabele, dus voor elke discrete willekeurige variabelen  x1, x2, x3, x4, ……, xk  de bijbehorende kansen P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) zijn de overeenkomstige waarschijnlijkheidsmassafuncties.

Specifiek, voor X = a, P (a) = P (X = a) is de pmf

We gebruiken hier vanaf kansmassafunctie voor discrete willekeurige variabelen waarschijnlijkheid. Alle waarschijnlijkheidskenmerken voor de waarschijnlijkheid zullen uiteraard van toepassing zijn op de waarschijnlijkheidsmassafunctie zoals positiviteit en de optelling van alle pmf zal één zijn, enz.

Cumulatieve distributiefunctie (cdf) / distributiefunctie

  De distributiefunctie gedefinieerd als

F (x) = P (X <= x)

voor discrete willekeurige variabele met kansmassa-functie is de cumulatieve verdelingsfunctie (cdf) van de willekeurige variabele.

en wiskundige verwachting voor zo'n willekeurige variabele we definieerden was

we zien nu enkele resultaten van wiskundige verwachtingen

  1. Als x1, x2, x3, x4,… .. zijn de discrete willekeurige variabelen met respectievelijke kansen P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ... de verwachting voor de werkelijk gewaardeerde functie g zal zijn

Voorbeeld: zoek voor de volgende kansmassafuncties de E (X3)

kansdichtheidsfunctie

Hier is de g (X) = X3

Dus,

E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3

EX3) = 0.1

Op dezelfde manier kunnen we voor elke zoveelste orde schrijven

Dat staat bekend als het n-de moment.

2. Als a en b constanten zijn, dan

E [aX + b] = aE [X] + b

Dit kunnen we gemakkelijk begrijpen als

= aE [X] + b

Variantie in termen van verwachting.

                Voor het gemiddelde aangegeven met μ zal de variantie van de discrete willekeurige variabele X aangegeven met var (X) of σ in termen van verwachting zijn

Var (X) = E [(X- μ)2]

en dit kunnen we verder vereenvoudigen als

Var (X) = E [(X- μ)2]

= E [X2] – 2μ2 +2

= E [X2] –2

dit betekent dat we de variantie kunnen schrijven als het verschil in de verwachting van willekeurige variabele kwadraat en kwadraat van verwachting van willekeurige variabele.

dwz Var (X) = E [X2] - (E [X])2

Voorbeeld:  bereken de variantie als een dobbelsteen wordt gegooid.

Oplossing:  hier weten we wanneer de dood geworpen de kansen voor elk gezicht zal zijn

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

daarom vinden we voor het berekenen van variantie de verwachting van een willekeurige variabele en het kwadraat ervan als

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

en we hebben zojuist de variantie verkregen als

Var (X) = E [X2] - (E [X])2

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

Een van de belangrijke identiteit voor variantie is

  1. Voor de willekeurige constanten a en b hebben we

Var (aX + b) = a2 Var (X)

Dit kunnen we gemakkelijk laten zien als

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= E [een2(X - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 Var (X)

Bernoulli Willekeurige variabele

      Een Zwitserse wiskundige James Bernoulli definieert de Bernoulli willekeurige variabele als een willekeurige variabele met succes of mislukking als slechts twee uitkomsten voor het willekeurige experiment.

dwz wanneer het resultaat succes is X = 1

Als het resultaat een mislukking is, X = 0

Dus de kansmassafunctie voor de willekeurige variabele van Bernoulli is

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

waarbij p de kans op succes is en 1-p de kans op mislukking.

Hier kunnen we 1-p = q ook nemen, waarbij q de faalkans is.

Aangezien dit type willekeurige variabele duidelijk discreet is, is dit een discrete willekeurige variabele.

Voorbeeld: Een munt gooien.

Binominale willekeurige variabele

Als voor een willekeurig experiment dat alleen een uitkomst heeft als succes of mislukking, we n proeven nemen, dus elke keer dat we succes of mislukking krijgen, dan staat de willekeurige variabele X die de uitkomst voor zo'n n willekeurig willekeurig experiment vertegenwoordigt bekend als Binominale willekeurige variabele.

                Met andere woorden, als p de waarschijnlijkheidsmassafunctie is voor het succes in de enkele Bernoulli-proef en q = 1-p de waarschijnlijkheid van de mislukking is, dan is de kans dat gebeurtenis 'x of i' keer plaatsvindt in n proeven

or

Voorbeeld: Als we zes keer twee munten gooien en het krijgen van kop is succes en de resterende gebeurtenissen mislukken, dan is de kans groot

op dezelfde manier kunnen we voor elk dergelijk experiment berekenen.

De Binominale willekeurige variabele heeft de naam Binominaal omdat het de uitbreiding van

Als we in plaats van n = 1 zetten, zou dit veranderen in de willekeurige variabele van Bernoulli.

Voorbeeld: Als er vijf munten zouden worden gegooid en de uitkomst wordt onafhankelijk genomen, wat is dan de waarschijnlijkheid van het aantal koppen.

Als we hier de willekeurige variabele X nemen als het aantal koppen, dan wordt de binominale willekeurige variabele met n = 5 en de kans op succes ½

Dus door de kansmassa-functie voor de binominale willekeurige variabele te volgen, krijgen we

Voorbeeld:

In een bepaald bedrijf is de kans op een defect 0.01 van de productie. Het bedrijf vervaardigt en verkoopt het product in een verpakking van 10 en biedt aan zijn klanten een geld-terug-garantie dat maximaal 1 van de 10 producten defect is, dus welk deel van de verkochte producten verpakt het bedrijf moet vervangen.

Hier Als X de willekeurige variabele is die de defecte producten vertegenwoordigt, dan is het van het binominale type met n = 10 en p = 0.01, dan is de kans dat het pakket terugkeert

Voorbeeld: (chuck-a-luck / rad van fortuin) In een specifiek fortuinspel in een hotel zet een speler in op een van de getallen van 1 tot 6, vervolgens worden er drie dobbelstenen gegooid en als het getal door de speler een keer, twee of drie keer wordt ingezet de speler die zoveel eenheden betekent als één keer verschijnt dan 1 eenheid als op twee dobbelstenen dan 2 eenheden en als op drie dobbelstenen dan 3 eenheden, controleer met behulp van de waarschijnlijkheid of het spel eerlijk is voor de speler of niet.

Als we aannemen dat er geen oneerlijke middelen zijn met de dobbelstenen en oplichtertechnieken, dan is de kans op succes voor elke dobbelsteen 1/6 door aan te nemen dat de uitkomst van de dobbelstenen onafhankelijk is en falen zal zijn

 1-1 / 6, dus dit wordt het voorbeeld van een binominale willekeurige variabele met n = 3

dus eerst zullen we de winstkansen berekenen door x toe te kennen als spelers winnen

Om het spel nu te berekenen is eerlijk voor de speler of niet, we zullen de verwachting van de willekeurige variabele berekenen

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Dit betekent dat de kans dat de speler het spel verliest als hij 216 keer speelt 17 is.

Conclusie:

   In dit artikel hebben we enkele van de basiseigenschappen van een discrete willekeurige variabele, kansmassa-functie en variantie besproken. Daarnaast hebben we enkele typen van een discrete willekeurige variabele gezien. Voordat we de continue willekeurige variabele starten, proberen we alle typen en eigenschappen van een discrete willekeurige variabele te behandelen, als je verder wilt lezen, ga dan door:

Schaum's contouren van waarschijnlijkheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Volg voor meer onderwerpen over wiskunde deze link

dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ik ben DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistent-professor in de wiskunde. Met 12 jaar ervaring in het lesgeven. Grote kennis hebben in zuivere wiskunde, precies op algebra. Het enorme vermogen hebben om problemen te ontwerpen en op te lossen. Kan kandidaten motiveren om hun prestaties te verbeteren. Ik draag graag bij aan Lambdageeks om wiskunde eenvoudig, interessant en zelfverklarend te maken voor zowel beginners als experts. Laten we verbinding maken via LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Recente Nieuws