Permutatie en combinatie: 7 complete snelle feiten

Eigenschappen van permutatie en combinatie

  Bij het bespreken van permutatie en combinatie, aangezien we te maken hebben met selectie en rangschikking met of zonder ordeningsoverwegingen, zijn er afhankelijk van de situatie verschillende typen en eigenschappen voor de permutatie en combinatie, deze verschillen tussen permutaties en combinaties zullen we hier toelichten met gerechtvaardigde voorbeelden.

permutaties zonder herhaling

  Dit is de normale permutatie die n objecten gerangschikt r tegelijk, dwz nPr

n Pr= n! / (nr)!

aantal ordeningen van n verschillende objecten tegelijk genomen n Pn = n!

Bovendien hebben we

nP0 = n! / n! = 1

nPr = zn.n-1Pr-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 of (-r)! = ∞

permutaties met herhaling

 Aantal permutaties (arrangementen) voor verschillende items, genomen r tegelijk, waarbij elk item één, twee, drie keer kan voorkomen, ..... r-maal zoveel in een arrangement = aantal manieren om r gebieden te vullen waar elk item kan worden gevuld met een van de n items.

Afbeelding2 R plaatsnummer
Eigenschappen van Permutatie en combinatie: permutaties met herhaling

Het aantal permutaties = het aantal manieren van vullen r plaatsen = (n)r

Het aantal orders dat kan worden georganiseerd met behulp van n objecten waaruit p zijn gelijk (en van de ene soort) q zijn gelijk (en van een andere soort), r zijn gelijk (en van een andere soort) en de rest is verschillend is nPr = n! / (p! q! r!)

Voorbeeld:

Op hoeveel manieren kunnen er 5 appels over vier jongens worden verdeeld als elke jongen een of meer appels kan nemen.      

Oplossing: Dit is het voorbeeld van permutatie met herhaling zoals we weten dat we die in dergelijke gevallen hebben

Het aantal permutaties = het aantal manieren van vullen r plaatsen = nr

Het vereiste aantal manieren is 45 =10, omdat elke appel op 4 manieren kan worden verdeeld.

Voorbeeld: Zoek het aantal woorden dat kan worden georganiseerd met de letters van het woord WISKUNDE door ze te hergroeperen.

Oplossing: Hier kunnen we zien dat er 2 M's, 2 A's en 2T's zijn.Dit is het voorbeeld van permutatie met herhaling

= n! / (p! q! r!)

 Het vereiste aantal manieren is = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Voorbeeld: Hoeveel manieren waarop het aantal staarten gelijk is aan het aantal koppen als zes identieke munten op een rij zijn gerangschikt.

Oplossing: Hier kunnen we dat zien

Aantal hoofden = 3

Aantal staarten = 3

En aangezien munten identiek zijn, is dit het voorbeeld van permutatie met herhaling = n! / (P! Q! R!)

Vereist aantal wegen = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Circulaire permutatie:

Bij circulaire permutatie is het belangrijkst dat de ordening van het object respect voor de anderen is.

Dus bij circulaire permutatie passen we de positie van het ene object aan en rangschikken we de andere objecten in alle richtingen.

Circulaire permutatie is op twee manieren opgesplitst:

(i) Circulaire permutatie waarbij instellingen met de klok mee en tegen de klok in suggereren verschillende permutatie, bijv. arrangementen om mensen rond de tafel te laten zitten.

(ii) Circulaire permutatie waarbij de instellingen met de klok mee en tegen de klok in worden weergegeven dezelfde permutatie, bijvoorbeeld door bepaalde kralen te schikken om een ​​ketting te maken.

Met de klok mee en tegen de klok in

Als de volgorde en beweging linksom en rechtsom zijn niet anders bijvoorbeeld kraal arrangement in ketting, bloemstuk in krans etc, dan is het aantal circulaire permutaties van n verschillende items is (n-1)! / 2

  1. Het aantal circulaire permutaties voor n verschillende items, genomen r per keer, wanneer de orders voor rechtsom en linksom worden beschouwd als zijnde anders by nPr /r
  2. Het aantal circulaire permutaties voor n verschillende items, genomen r tegelijk, wanneer de volgorde met de klok mee en tegen de klok in is niet anders oppompen van nPr / 2r
  3. Het aantal circulaire permutaties van n verschillende objecten is (n-1)!
  4. Het aantal manieren waarop n verschillende jongens kunnen rond een ronde tafel zitten (n-1)!
  5. Het aantal manieren waarop n verschillende edelstenen kunnen worden opgezet om een ​​halsketting te vormen, is (n-1)! / 2

Voorbeeld:

Op hoeveel manieren kunnen er vijf sleutels in de ring worden geplaatst

Oplossing:

Omdat rechtsom en linksom hetzelfde zijn in het geval van een ring.

Als de volgorde en beweging tegen de klok in en met de klok mee zijn niet anders dan het aantal circulaire permutaties van n aparte items is

= (n-1)! / 2

Vereist aantal wegen = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Voorbeeld:

Wat zou het aantal afspraken zijn, als elf leden van een commissie aan een ronde tafel zitten zodat de voorzitter en secretaris altijd bij elkaar zitten.

Oplossing:

Door fundamentele eigenschap van circulaire permutatie

Het aantal cirkelvormige permutaties van n verschillende dingen is (n-1)!

Omdat twee posities vast zijn, hebben we dat ook

Vereist aantal manieren (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Voorbeeld: Wat zou het aantal manieren zijn waarop 6 mannen en 5 vrouwen aan een ronde tafel kunnen eten als er geen twee vrouwen bij elkaar kunnen zitten?

Oplossing: Door fundamentele eigenschap van circulaire permutatie.

Het aantal cirkelvormige permutaties van n verschillende dingen is (n-1)!

Aantal manieren waarop 6 man aan een ronde tafel kan worden opgesteld = (6 – 1)! =5!

Eigenschappen van permutatie en combinatie
Eigenschappen van permutatie en combinatie: voorbeeld

Nu kunnen vrouwen in 6 worden gerangschikt! wegen en totaal aantal wegen = 6! × 5!

Combinaties zonder herhaling

Dit is de gebruikelijke combinatie die is “Het aantal combinaties (selecties of groepen) waaruit kan worden gevormd n verschillende objecten tegelijk genomen is nCr = n! / (nr)! r!

ook    nCr =nCrr

              n Pr /R! =n!/(nr)! =nCr

Voorbeeld: Bereken het aantal mogelijkheden om 12 vacatures te vervullen als er 25 kandidaten zijn en vijf daarvan uit de geplande categorie vallen, op voorwaarde dat er 3 vacatures zijn gereserveerd voor de SC-kandidaten, terwijl de overige voor iedereen openstaan.

Oplossing: Aangezien er 3 vacante posities worden ingevuld vanuit 5 sollicitanten 5 C3  manieren (dwz 5 KIES 3) en nu zijn de resterende kandidaten 22 en de resterende stoelen zijn 9, dus het zou zijn 22C9 (22 KIES 9) De selectie kan worden gemaakt in 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

De selectie kan dus op 4974200 manieren worden gemaakt. 

Voorbeeld: Er zijn tien kandidaten en drie vacatures bij de verkiezing. op hoeveel manieren kan een kiezer zijn of haar stem uitbrengen?

Oplossing: Aangezien er slechts 3 vacatures zijn voor 10 kandidaten, is dit het probleem van 10 KIES 1, 10 KIES 2 en 10 KIES 3 Voorbeelden,

Een kiezer kan stemmen 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 De kiezer kan dus op 175 manieren stemmen.

Voorbeeld:Er zijn 9 stoelen in een kamer voor 4 personen, waarvan er één een eenpersoonsgast is met één specifieke stoel. Op hoeveel manieren kunnen ze zitten?

Oplossing: Aangezien er 3 stoelen in kunnen worden gekozen 8C3 en dan kunnen er 3 personen in 3 worden geregeld! manieren.

3 personen zitten op 8 stoelen 8C3 (dwz 8 KIES 3) arrangement

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

Op 336 manieren kunnen ze zitten.

Voorbeeld: Voor vijf mannen en vier vrouwen wordt een groep van zes gevormd. Op hoeveel manieren kan dit worden gedaan zodat de groep meer mannen heeft.

Oplossing: hier omvat het probleem verschillende combinaties zoals 5 KIES 5, 5 KIES 4, 5 KIES 3 voor mannen en voor vrouwen het omvat 4 KIES 1, 4 KIES 2 en 4 KIES 3 zoals aangegeven in de volgende

1 vrouw en 5 mannen =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 vrouwen en 4 mannen =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 vrouwen en 3 mannen =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Vandaar totale wegen = 4 + 30 + 40 = 74.

Voorbeeld: Het aantal manieren waarop 12 jongens in drie auto's kunnen reizen zodat er 4 jongens in elke auto zitten, ervan uitgaande dat drie jongens niet in dezelfde auto zullen gaan.

Oplossing: Laat eerst drie bepaalde jongens weg, de resterende 9 jongens kunnen er 3 in elke auto zijn. Dit kan gedaan worden in 9 CHOOSE 3 ie 9C3 manieren,

De drie jongens kunnen op drie manieren in elke auto worden geplaatst. Daarom is het totale aantal wegen = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

dus op 252 manieren kunnen ze worden geplaatst.

Voorbeeld: Op hoeveel manieren kwamen er 2 groene en 2 zwarte ballen uit een zak met 7 groene en 8 zwarte ballen?

Oplossing: Hier bevat de zak 7 groen waaruit we er 2 moeten kiezen, dus het is 7 KIES 2 probleem en 8 zwarte ballen waaruit we er 2 moeten kiezen, dus het is 8 KIES 2 probleem.

Vandaar het vereiste aantal = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

dus op 588 manieren kunnen we 2 groene en 2 zwarte uit die tas selecteren.

Voorbeeld: Er zijn twaalf verschillende karakters van Engelse woorden beschikbaar. Uit deze letters worden 2 alfabetische namen gevormd. Hoeveel woorden kunnen er ontstaan ​​als minstens één letter wordt herhaald?

Oplossing: hier moeten we 2 letterwoorden kiezen uit 12 letters, dus het is 12 KIES 2 probleem.

Aantal woorden van 2 letters waarin letters altijd zijn herhaald = 122

        Maar nee. van woorden over het hebben van twee verschillende letters van de 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Vereist aantal woorden = 122-66 = 144-66 = 78.

Voorbeeld: Er zijn 12 punten op het vlak waarvan er zes collineair zijn, hoeveel lijnen kunnen worden getekend door deze punten samen te voegen.

Oplossing: Voor 12 punten in een vlak om een ​​lijn te maken, hebben we 2 dezelfde punten nodig voor zes collineaire punten, dus dit is 12 KIES 2 en 6 KIES 2 probleem.

Het aantal regels is = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Er kunnen dus op 52 manieren lijnen worden getekend.

Voorbeeld: Zoek het aantal manieren waarop een 6-delige kast kan worden opgezet vanaf 8 heren en 4 dames zodat de kast uit minimaal 3 dames bestaat.

Oplossing: Voor het vormen van de commissie kunnen we kiezen uit 3 mannen en vrouwen en 2 mannen en 4 vrouwen, dus het probleem omvat 8 KIES 3, 4 KIES 3, 8 KIES 2 en 4 KIES 4.

Er kunnen twee soorten kasten worden gevormd

        (i) 3 mannen en 3 dames hebben

        (ii) 2 mannen en 4 dames hebben

        Mogelijk nee. van manieren = (8C3 X 4C38C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Dus op 252 manieren kunnen we zo'n kast vormen.

       Dit zijn enkele voorbeelden waar we de situatie van kunnen vergelijken nPr vs nCr in het geval van permutatie is de manier waarop dingen zijn georganiseerd belangrijk. In combinatie betekent de bestelling echter niets.

Conclusie

Een korte beschrijving van permutatie en combinatie bij herhaald en niet-herhaald met de basisformule en belangrijke resultaten worden gegeven in de vorm van echte voorbeelden, gaan we in deze serie artikelen uitgebreid in op de verschillende uitkomsten en formules met relevante voorbeelden, mocht je verder willen lezen:

SCHAUM'S SCHETS VAN THEORIE EN PROBLEMEN VAN DISCRETE WISKUNDE

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Volg dit voor meer artikel over wiskunde Link