Puntsecties of verhoudingsformules: 41 kritische oplossingen


Basisvoorbeelden van de formules "Puntsecties of verhouding"

Geval-I

Opgave 21: Vind de coördinaten van het punt P(x, y) dat het lijnstuk dat de twee punten (1,1) en (4,1) verbindt in de verhouding 1:2 intern verdeelt.

Oplossing:   Weten we al,

Als een punt P(x, y) verdeelt het lijnstuk AB inwendig in de verhouding m:n,waar coördinaten van A en B zijn (x1,y1) en (x2,y2) respectievelijk. Dan zijn de coördinaten van P 

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]

en

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]

(Zie formules grafiek)

Met behulp van deze formule kunnen we zeggen: (x1,y1) ≌(1,1) dwz   x1= 1, y1=1 ;

(x2,y2)≌(4,1) dwz   x2= 4, y2=1   

en

m: n  ≌ 1:2 dwz   m=1,n=2

Grafische weergave

daarom       

x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 1\times x2\right )+\left ( 2\times x1 \right )}{1+2}}[/latex] ( waarden van m & n in [latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n zetten }\textbf{x}_{1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex] )

Of, x =[latex]\mathbf{\textbf{}\tfrac{1×4+2×1}{3}}[/latex] ( waarden van . zetten x1 &  x2 te )

Of, x = [latex]\mathbf{\tfrac{4+2}{3}}[/latex]

Of, x = [latex]\mathbf{\textbf{}\tfrac{6}{3}}[/latex]

 Or, x = 2

Op dezelfde manier krijgen we,  

y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 1\times y2 \right )+\left ( 2\times y1 \right )}{1+2}}[/latex] ( waarden van m & n in zetten     y =[latex]\mathbf{\frac{my2+ny1}{m+n}}[/latex])

Of, y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 1\times 1 \right )+\left ( 2\times 1 \right )}{3}}[/latex] ( waarden van . zetten y1 &  y2 te )

Of, y = [latex] \mathbf{\frac{\left ( 1\times 1+2 \right )}{3}}[/latex]

Of, y =  [latex]\mathbf{\frac{3}{3}}[/latex]

Of, y = 1

 daarom x=2 en y=1 zijn de coördinaten van het punt P ie (2,1).   (Antwoord)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de procedure beschreven in probleem 21 hierboven: -

Probleem 22: Zoek de coördinaten van het punt dat het lijnstuk dat de twee punten (0,5) en (0,0) verbindt in de verhouding 2:3 intern verdeelt.

                     antw. (0,2)

Probleem 23: Zoek het punt dat het lijnsegment intern verdeelt dat de punten (1,1) en (4,1) verbindt in de verhouding 2:1.

antw. (3,1)

Probleem 24: Zoek het punt dat op het lijnsegment ligt dat de twee punten (3,5,) en (3,-5,) verbindt en verdeel het in de verhouding 1:1

antw. (3,0)

Probleem 25: Zoek de coördinaten van het punt dat het lijnstuk dat de twee punten (-4,1) en (4,1) verbindt intern verdeelt in de verhouding 3:5

Ans. (-1,1)

Probleem 26: Zoek het punt dat het lijnsegment intern verdeelt dat de twee punten (-10,2) en (10,2) in de verhouding verbindt 1.5 : 2.5.

_____________________________

Geval II

problemen 27:   Zoek de coördinaten van het punt Q(x,y) dat extern het lijnsegment verdeelt dat de twee punten (2,1) en (6,1) in de verhouding 3:1 verbindt.

Oplossing:  Weten we al,

Als een punt V(x,y) verdeelt het lijnstuk AB uitwendig in de verhouding m:n,WAAR coördinaten of A en B zijn (x1,y1) en (x2,y2) respectievelijk, dan zijn de coördinaten van het punt P 

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]

en

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]

(Zie formules grafiek)

Met behulp van deze formule kunnen we zeggen:  (x1,y1) ≌(2,1) dwz  x1= 2, y1=1 ;

                                                    (x2,y2)≌(6,1) dwz   x2= 6, y2=1 en   

                                                    m: n  ≌ 3:1 dwz    m=3,n=1   

Punt secties
Grafische weergave

daarom 

x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times x2 \right )-\left ( 1\times x1 \right )}{3-1}}[/latex] ( waarden van m & n in zetten     x  =[latex]\mathbf{\frac{mx2-nx1}{mn}}[/latex])

Of, x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times 6 \right )-\left ( 1\times 2 \right )}{2}}[/latex] ( waarden van . zetten x1 &  x2 te )

Of, x[latex] \mathbf{\frac{18-2}{2}}[/latex]

Of, x  =  [latex]\mathbf{\frac{16}{2}}[/latex]

Of, x = 8

Op dezelfde manier krijgen we,  

y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times y2 \right )-\left ( 1\times y1 \right )}{3-1}}[/latex] ( waarden van m & n in zetten     y =[latex]\mathbf{\frac{my2-ny1}{mn}}[/latex])

Of, y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times 1 \right )-\left ( 1\times 1 \right )}{2}}[/latex] ( waarden van . zetten y1 &  y2 te )

Of, y = [latex] \mathbf{\frac{3-1}{2}}[/latex]

Of, y =  [latex]\mathbf{\frac{2}{2}}[/latex]

Of, y = 1

 daarom x=8 en y=1 zijn de coördinaten van het punt Q ie (8,1).   (Antwoord)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de procedure beschreven in probleem 27 hierboven: -

Probleem 28: Vind het punt dat extern het lijnsegment verdeelt dat de twee punten (2,2) en (4,2) in de verhouding verbindt 3 : 1.

antw. (5,2)

Probleem 29: Vind het punt dat extern het lijnsegment verdeelt dat de twee punten (0,2) en (0,5) in de verhouding verbindt 5:2.

antw. (0,7)

Probleem 30: Zoek het punt dat op het verlengde deel van het lijnsegment ligt dat de twee punten (-3,-2) en (3,-2) in de verhouding verbindt 2 : 1.

antw. (9,-2)

________________________________

Geval III

problemen 31:  Zoek de coördinaten van het middelpunt van het lijnsegment dat de twee punten (-1,2) en (1,2) verbindt.

Oplossing:   Weten we al,

Als een punt R(x,y) het middelpunt zijn van het lijnsegment dat samenkomt Bijl1,y1) en B(x2,y2).Dan coördinaten van R zijn

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{x}_{1}\textbf{+}\textbf{x}_{2}}{\textbf{2} }[/latex]

en

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{y}_{1}\textbf{+}\textbf{y}_{2}}{\textbf{2} }[/latex]

(Zie formules grafiek)

Case-III is de vorm van case-I terwijl m=1 en n=1

Met behulp van deze formule kunnen we zeggen:  (x1,y1) ≌(-1,2) dwz  x1=-1, y1=2 en

                                                    (x2,y2)≌(1,2) dwz   x2= 1, y2=2

Grafische weergave

daarom

x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( -1 \right )+1}{2}}[/latex] ( waarden van . zetten x1 &  x2  in x =[latex]\mathbf{\frac{x1+x2}{2}}[/latex])

Of, x  =  [latex]\mathbf{\frac{0}{2}}[/latex]

Of, x = 0

Op dezelfde manier krijgen we, 

y =[latex]\mathbf{\frac{2+2}{2}}[/latex] ( waarden van . zetten y1 &  y2  in y =[latex]\mathbf{\frac{x1+x2}{2}}[/latex])

Of, y [latex]\mathbf{\frac{4}{2}}[/latex]

Of, y = 2

daarom x=0 en y=2 zijn de coördinaten van het middelpunt R ie (0,2).   (Antwoord)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven om verder te oefenen met behulp van de procedure beschreven in probleem 31 hierboven: -

Probleem 32: Zoek de coördinaten van het middelpunt van de lijn die de twee punten (-1,-3) en (1,-4) verbindt.

antw. (0,3.5)

Probleem 33: Zoek de coördinaten van het middelpunt dat het lijnstuk verdeelt dat de twee punten (-5,-7) en (5,7) verbindt.

antw. (0,0)

Probleem 34: Zoek de coördinaten van het middelpunt dat het lijnstuk verdeelt dat de twee punten (10,-5) en (-7,2) verbindt.

antw. (1.5, -1.5)

Probleem 35: Zoek de coördinaten van het middelpunt dat het lijnstuk verdeelt dat de twee punten (3,√2) en (1,3 . verbindt)2).

antw. (2,2√2)

Probleem 36: Zoek de coördinaten van het middelpunt dat het lijnstuk verdeelt dat de twee punten (2+3i,5) en (2-3i,-5) verbindt.

antw. (2,0)

Opmerking: hoe te controleren of een punt een lijn (lengte = d-eenheden) intern of extern verdeelt door de verhouding m:n

Als ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , dan intern delen en

Als ( m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , dan extern delen

____________________________________________________________________________

Basisvoorbeelden van de formules "Gebied van een driehoek"

Geval-I 

problemen 37: Wat is de oppervlakte van de driehoek met twee hoekpunten EEN(1,2) en Vrijetijdsrijders B finale (5,3) en hoogte ten opzichte van AB be 3 eenheden in het coördinatenvlak?

 Oplossing:   Weten we al,

If "H" wees de hoogte en "B" de basis van Driehoek zijn, dan  Oppervlakte van de driehoek is = ½ × b × h

(Zie formules grafiek)

Grafische weergave

Met behulp van deze formule kunnen we zeggen: 

 h = 3 eenheden en b = √ [(x2-x1)2+ (ja2-y1)2 ] dwz  √ [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    Of, b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    Of, b = √ [(16+1 ]

                    Of,  b = √ 17 eenheden

Daarom is de vereiste oppervlakte van de driehoek   = ½ × b × h dwz

= ½ × (√ 17 ) × 3 eenheden

= 3⁄2 × (√ 17 ) eenheden (Ant.)

______________________________________________________________________________________

Geval II

problemen 38:Wat is de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten A(1,2), B(5,3) en C(3,5) in het coördinatenvlak?

 Oplossing:   Weten we al,

If  Bijl1,y1) B(x2,y2) en C(x3,y3) de hoekpunten van een driehoek zijn,

De oppervlakte van de driehoek is  =|½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2- y1)]|

(Zie formules grafiek)

Met behulp van deze formule hebben we, 

                                              (x1,y1) ≌(1,2) dwz   x1= 1, y1=2 ;

                                              (x2,y2) ≌(5,3) dwz   x2= 5, y2=3 en

                                              (x3,y3) ≌(3,5) dwz    x3= 3, y3=5

Grafische weergave

Daarom is de oppervlakte van de driehoek = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| d.w.z 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  vierkante eenheden 

= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]|    vierkante eenheden

= |½[-2 + 10 + 3]|    vierkante eenheden

= x 11|     vierkante eenheden

= 11     vierkante eenheden

= 5.5      vierkante eenheden         (Ant.)

Meer beantwoorde problemen worden hieronder gegeven voor verdere oefening met behulp van de procedure beschreven in bovenstaande problemen: -

Probleem 39: Zoek het gebied van de driehoek waarvan de hoekpunten (1,1), (-1,2) en (3,2) zijn.

antw. 2 vierkante eenheden

Probleem 40: Zoek het gebied van de driehoek waarvan de hoekpunten (3,0), (0,6) en (6,9) zijn.

antw. 22.5 vierkante eenheden

Probleem 41: Zoek het gebied van de driehoek waarvan de hoekpunten (-1,-2), (0,4) en (1,-3) zijn.

antw. 6.5 vierkante eenheden

Probleem 42: Zoek de oppervlakte van de driehoek waarvan de hoekpunten (-5,0,), (0,5) en (0,-5) zijn.                                 antw. 25 vierkante eenheden

 _______________________________________________________________________________________

Voor meer berichten over wiskunde, volg onze Wiskunde pagina.

NASRINA PARVIN

Ik ben Nasrina Parvin, met 10 jaar ervaring in het ministerie van communicatie en informatietechnologie van India. Ik heb mijn eindexamen wiskunde gedaan. In mijn vrije tijd vind ik het heerlijk om les te geven, wiskundige problemen op te lossen. Van jongs af aan is wiskunde het enige vak dat mij het meest boeit.

Recente Nieuws